<<
>>

Формула Блэка-Шоулза

Формула Блэка-Шоулза (3.17)

c(t) = S(t)$(dі) - Ке-г{т-1Ч((і2),

рисковый портфель. Он состоит из —1 единицы производной бумаги и df/dS актива. Таким образом, владелец этого портфеля продает на 1 доллар производную бумагу и покупает акции на сумму df/dS.

Тогда цена П портфеля равна

П = ~/+§Й' (42) Изменения цены портфеля за время At равно

АП = -А/ + (4.3)

Подставляя (2.2) и (4.1) в (4.3), получим, что

Так как построенный портфель безрисковый и арбитраж на рынке отсутствует, то цена П портфеля изменяется как цена любой безрисковой ценной бумаги по формуле

АП = гПА1

Стоимость П дана в формуле (4.2). Тогда из (4.4)

df 1 d2f 2 Л ( df \

Итак, установлено, что цена произвольного производного финансового инструмента удовлетворяет уравнению

dt +rbds + 2a ь ds2 (4'5)

Уравнение (4.5) называют уравнением Блэка-Шоулза.

Оказывается, что уравнение (4.5) имеет бесконечное множество решений. Единственность решения будет иметь место, если определить чему равна функция / при t = Т и любых S. Возможно добиться единственности решения уравнения (4.5) и иными способами, однако в рассматриваемом приложении к опционам естественно задавать именно это условие.

В силу определения колл опциона его цена удовлетворяет условию

f(S(T),T) = max{S(T)-K,0}, (4.6)

а цена пут опциона —

f(S(T),T)=max{K-S(T),0}, (4.7)

Случайные величины (ДА-М ДА)2 И (RB — М RB)2 В данном случае являются константами 0.052 и 0.152 соответственно. Поэтому

а\ = M(Ra -М Да)2 = 0.0025, а2в = 0.0225.

Из таблицы двумерного распределения видно, что случайная величина ДАДВ принимает значения 0 и 0.03 с вероятностью 0.5 каждое. Следовательно, М(ДАДв) = 0.015, СоV(Ra,Rb) = M(RaRB) - М ДА М RB = 0.0075. Риск портфеля по формуле (1.7) равен 0.1.

Пример 2. Среди портфелей, которые состоят из двух рискованных активов А(0.1, 0.1) и В(0.2,0.3) и безрискового актива F(0,0.09), найдите портфель, имеющий наименьший риск при ожидаемой доходности Г* = 0.15.

Коэффициент корреляции РАВ = 0.5. Решение. Задача нахождения портфеля с минимальным риском а при заданной доходности г* записывается в виде

2

а2 = У ' i/ji/jpij(Ji min 2

Щ + Viri = г* ¦

і=1

Её решение вычисляется по формуле (1.3). Ковариация Cov(A, В) = РАВНАЯ в = 0.01. Матрица ковариаций V = ^q ^ ' Обратная

матрица V= g^y ^ q^ ' где ^etV^ = 0.9999. Далее,

У - го7 = (0.01, 0,21)т и

V-1 (У _ rot) = ^ f°'0089l с '0 JJ 0.9999 ^0 2009)'

Следовательно,

(У _ r0T)TV-H? - rot) = 0^99(0-01,0.21) . = 0.042.

Тогда = (0.0127,0.2861).

Пример 3. Нарисуйте кривые безразличия инвестора, имеющего функцию полезности U(a,r) = 0.6г — г2 — а2.

Решение. Уравнение U(a,r) = С = const определяет окружности — (г — 0.3)2 — а2 = С — 0.09. Кривые безразличия инвестора — дуги

окружностей, изображённые на рисунке 21). Стрелка на рисунке показывает направление, в котором возрастает функция полезности.

Пример 4. На рынке ценных бумаг существуют только два актива А(0.1,0.1) и В(0.2,0.3). Коэффициент корреляции их доходностей РАВ =0.5. Найдите оптимальный портфель для инвестора, функция полезности которого равна U(a,r) = 0.6г — г2 — а2.

Решение. Согласно (1.1) и (1.2), допустимые портфели П = tA+ (1 — t)B имеют ожидаемую доходность

гп = trA + (1 - t)rB = 0.3 - 0.2t

и риск

ап = ф2а\ + (1 - t)2a% + 2t{\ - t)Q.baAaB =

= \/0№t2 — 0.06t + 0.04.

Оптимальный портфель П* находится в точке касания линии уровня функции U(а, г) и множества допустимых портфелей. Ожидаемую доходность Гц можно рассматривать как функцию от риска ап, заданную параметрически. Тогда касательная к множеству допустимых портфелей в точке П = tA + (1 — t)B имеет наклон

dru dru dan 2 а

dan dt dt 0.3 — 0.3t

Линии уровня функции U(a, г) = 0.6г — г2 — а2 определяются соотношением —(г — 0.3)2 — а2 = С — 0.09. Чтобы найти наклон dr/da касательной к линии уровня, продифференцируем почленно по а полученное соотношение:

dv

2(г- 0.3)— +2ст = 0.

da

Значит, dr/da = и/(0.3 — г). Приравнивая вычисленный наклон к полученному ранее наклону к касательной к множеству допустимых портфелей, имеем

а _ 2ст 0.3 - г ~ 0.3 - ОМ'

центная ставка г постоянна, начисляется непрерывно и равна 7% годовых.

Проверьте, что числа р' и q', определённые формулой (3.11) удовлетворяют соотношению р' + q' = 1.

Цена S(t) некоторого актива равна в текущий момент времени t равна 40, а его волатильность а = 20% годовых. Составьте ше- стипериодную модель (с At = 1 месяц) ценообразования опционов и вычислите текущую цену шестимесячного опциона пут на рассматриваемый актив. Цена исполнения опциона К = 41, постоянная процентная ставка г, начисляемая непрерывно, равна 9% годовых. 16*. Банк предлагает следующий производный финансовый инструмент. Инвестор вкладывает деньги в банк в долларах или рублях под г% годовых, начисляемых непрерывно. Валюту, в которой хранятся деньги (и по которой начисляется процентная ставка), определяет инвестор в момент получения денег. Пусть, например, текущий курс: $1 = 30 рублей, а в момент получения денег — $1 = 29 рублей. Тогда инвестор потребует, чтобы вклад считался рублёвым. Вычислите справедливую процентную ставку г. Постоянная долларовая процентная ставка, начисяемая непрерывно, равна г\, а рублёвая — т'2. Предположите, что банковское обязательство по доллару является безрисковым активом, цена рубля в долларах меняется в соответствии с n-периодной биномиальной моделью, а волатильность рубля относительно доллара равна а.

<< | >>
Источник: Шаповал А. Б.. Математические методы финансового анализа: Портфельный анализ, модели ценообразования, производные финансовые инструменты. — М.: Финансовая академия при Правительстве РФ, кафедра "Математика и финансовые приложения",2005. - 47 с.. 2005

Еще по теме Формула Блэка-Шоулза:

  1. Нейтральность к риску
  2. Формула Блэка-Шоулза
  3. Модель Блэка-Шоулза
  4. 2.1. Постановка задачи
  5. 6.6. Опционы — инструмент спекуляций и хеджирования
  6. Практический пример расчета теоретической цены опциона
  7. 6. Модель Блэка-Шоулза
  8. Торговля опционами и фьючерсные сделки
  9. 14.8. Формулы Блэка-Шоулза-Мертона
  10. 15.1.2. Опционы, зависящие от одного или нескольких значений цены базисного актива
  11. 10.1.6. Биномиальная модель для акций, по которым выплачиваются дивиденды
  12. 10.2. МОДЕЛЬ БЛЭКА-ШОУЛЗА
  13. Ф.Блэк и М.Шоулз