Биномиальная n-периодная модель
Алгоритм, позволяющий вычислить цену опциона в двухпериодной модели естественным образом продолжается для n-периодной модели. В результате получается формула, обобщающая (3.9):
c=e-nrAt
Е CnP'cln^j max [ujdn-jS{t) - К, 0} ] .
(3.10)<3=0
Формула (3.10) может быть упрощена. Пусть jo — наименьшее целое положительное число такое, что S(t) > К. Это опре
деление эквивалентно тому, что jo — наименьшее положительное число, которое больше, чем \п(К/S(t)dn)/ln(u/d). Следовательно, для всех j < jo максимум max {v?dn~iS(t) — К, О} = 0, а для всех j > jo
max {v?(Г1'0S{t) - K, 0} = иЧ^S(t) - K. Значит, формула (3.10) для цены опциона с записывается в виде
с = e-nrAt ^^ C3np^qn~j (Ujdn-jS(t) - К)^ . Разбивая правую часть на два слагаемых, получим, что С = ( Е Ci(puy(qd)n-ie-nrAt j - Ke-nrAt ( ]Г C>npiqn-*
\3=3o J \3=30
Число СпР'?™-"' равно вероятности b(^jo,n,p) по крайней
мере jo успехов в схеме Бернулли из п испытаний с вероятностью успеха р в каждом испытании. Аналогично, обозначим
p'=pme~rAt, q = qde~rAt (3.11)
Рис. 4. Примеры процессов Y(t) при а = 0.1, b = 0.15.
Шаг разбиения горизонтальной оси At = 0.01.так как математическое ожидание приращений винеровского процесса Aw равно нулю. Значит, МУ(Ді) = aAt + У(0), MY(2At) = аДі + М Y(At) = a2At + Y(0) и так далее. Окончательно имеем, что
M(Y(T)) =аТ+ Y(0). (2.4)
Дисперсия случайной величины AY, напротив, задаётся слагаемым ЪАш:
Б(АУ) = Ъ2 D(Aw) = Ъ2At.
Последовательное применение полученного равенства аналогично выводу (2.4) приводит к формуле дисперсии Y(T):
D (Y(T)) = b2T. (2.5)
Заметим, что из нормальности случайной величины Aw следует нормальность случайных величин AY и Y(t) при любых t > 0. Из приведенных рассуждений следует, что случайный процесс Y(t), удовлетворяющий соотношению (2.3), является при каждом фик-сированном t области определения нормально распределённой случайной величиной, имеющей математическое ожидание У(0) + at и дисперсию b2t.