5.1. «ВЕРОЯТНОСТНЫЙ» ПОДХОД

ожидаемое среднее цены акции в день исполнения Se /Т .

оказывается равно SerT . Рассмотрим первый - «вероятностный» - подход применительно к опционам. Как и ранее, будем считать, что модель движения цены базисного актива описывается уравнением (3.3) с известными параметрами.

Рассмотрим европейский опцион колл на акцию. Предположим, что купив опцион и уплатив премию, покупатель не собирается предпринимать никаких других операций с опционами или базисным активом вплоть до даты экспирации опциона, а затем исполнить или не исполнять опцион в зависимости от цены акции. Пусть текущая цена акции равна S0 = S и ожидаемая динамика цены акции описывается уравнением (3.3) с заменой F на S. Если параметры / и а модели известны, то можно определить ожидаемое вероятностное распределение цены акции в любой будущий момент, в том числе в день экспирации, а значит, и распределение финальной стоимости опциона CT (см. (2.1)).

Предположим, что сделка по опциону заключается многократно, затем случайным образом реализуется одна из траекторий цены акции и в результате становится известной величина CT . Если усреднить эти величины и допустить, что по условиям контракта покупатель обязан уплатить продавцу фиксированную премию не в день заключения контракта, а в день экспирации, то рассчитанное вероятностным способом среднее является «естественной» справедливой ценой опциона, поскольку шансы покупателя и продавца получить прибыль или понести убытки в этом случае равны.

Обозначим эту среднюю величину Cаес (T), где T - момент экспирации опциона.

Cаес (T) = S (T)N(d1) — EN (d2), (5.1)

где E - страйк, S (T ) = Se /T ,( оТТГЛ

SJt)

v E у

+ 0.5а T In

— 0.5а T

In

S (T )

= v E У

d = ь I d =

d1 = o4T ' d 2 = o4T

N(x) - функция стандартного нормального распределения:

x y2

1 f —~

N (x) = ^J2r\ e 2 dy • (5.2)

— от

Формула для Pаес (T) получается аналогично усреднением возможных исходов. При этом оказывается, что

паес/гт\ /^аес/^\

P (T) и C (T) связаны следующим соотношением:

Cаес (T) — Pаес (T) = S (T ) — E .

Для того чтобы пересчитать Cаес (T), Pаес (T) к моменту заключения контракта, необходимо использовать дисконтирующий множитель (3.2). Например, для опциона колл окончательный результат имеет вид:

Cаес = e~ rTCаес (T) = e~rT [S(T)N (d1) — EN (d2)]. (5.3)

Как следствие получаем, что стоимости опционов колл и пут на одном страйке удовлетворяют тождеству:

Cаес — p аес = e-rT [Se/T — E ].(5.4)

Связь между стоимостями этих же опционов можно получить другим, более простым способом. Предположим, что в момент t = 0 имеются два портфеля. Первый содержит длинную позицию по опциону колл на страйке E и сумму денег Ee rT , второй - длинную позицию по опциону пут на том же страйке E и акцию. В момент экспирации опциона стоимость первого портфеля равна max[E, ST ], где ST - стоимость акции при t = T . Действительно, первоначальная сумма денег с учетом процентов оказывается равна E, а опцион дает CT = max[ ST - E ,0], что в сумме составляет указанное выражение. Стоимость второго портфеля к этому моменту также оказывается равна этой величине, поскольку если ST > E, то портфель состоит из акции, а если ST < E, то опцион пут исполняется и акция продается за E.

Так как на момент экспирации стоимости порфелей одинаковы, то и в начальный момент они должны быть равны, иначе возможен арбитраж. Например, если первый портфель дороже второго, то необходимо

(начиная с «нуля») продать опцион колл и занять сумму Ee rT . По предположению, полученной премии и занятой суммы будет с избытком хватать на покупку второго портфеля.

> Рассмотреть возможные исходы и убедиться, что на дату экспирации опционов итогом операции оказывается прибыль в размере разности начальных стоимостей портфелей. <

К выводу о равенстве начальной стоимости портфелей можно прийти и другим путем: если из двух портфелей, стоимость которых в будущем обязательно сравняется, один дешевле, то спрос будет сосредоточен на этом портфеле, пока их стоимости не выровняются.

Таким образом, в момент t = 0 стоимости портфелей должны совпадать, то есть

Cаес + Ee -rT = P аес + S. (5.5)

Это соотношение называется пут-колл паритетом (put-call parity).

Перепишем пут-колл паритет в виде

С аес тлаес - rT г с* rT т-'Л

- P = e [Se - E]. (5.6)

Расхождение между (5.4) и (5.6) показывает, что одна из формул неверна. Так как вторая из них основана на простых арбитражных рассуждениях и не вызывает сомнений, то первый способ получения формулы стоимости опционов следует признать ошибочным.

Метод Блэка-Шоулса, рассматриваемый ниже, исходя из той же модели движения цены (3.3), дает результаты для стоимости опционов, совместимые с пут-колл паритетом. В отличие от «статичной» стратегии покупки (продажи) опциона и пассивного ожидания даты экспирациии, подход Блэка-Шоулса предполагает проведение операций с базисным активом на протяжении всего периода существования опциона и как бы заменяет один «большой» спор непрерывной серией «маленьких» - относительно величины локального, скажем, однодневного изменения цены базисного актива. При этом окончательный результат оказывается инвариантным к конкретной траектории цены базисного актива и зависит лишь от одной обобщенной характеристики траектории - волатильности. Можно сказать, что подход Блэка-Шоулса уменьшает неопределенность, насколько это возможно, и максимально приближает «вероятностную» стратегию к «арбитражной».

Тем не менее статичные опционные стратегии также применяются, и для них соотношения (5.1), (5.3), (5.4) имеют смысл с тем замечанием, что использование в (5.3) для дисконтирования безрисковой процентной ставки r неправильно, поскольку результат операции носит неопределенный характер.

Cаес (T), то есть чем выше неопределенность в исходе, тем выше для покупателя должна быть ожидаемая средняя доходность операции - на уровне других инвестиций с тем же риском. Исходя из этой доходности в (5.3) и должен выбираться дисконтирующий множитель. Продажу опциона можно интерпретировать как получение кредита под процент, который становится известен только в момент T. Соответственно, для компенсации этого риска цена продажи должна быть выше (5.3). Расхождение цен покупки и продажи не исключает возможностей для сделок, поскольку индивидуальные оценки параметров а, а также ставки привлечения и размещения различны.

Функция N (x) (5.2) будет постоянно встречаться в дальнейшем. Она является одной из встроенных функций Excel. Для тех, кто пользуется другими программными средствами, ниже приведена одна из ее возможных аппроксимаций в виде функции языка C, определяющей N( х) с точностью до 7 знака после запятой.

double N(double х) { double ax, t, d, p;

if (x>10) return(1);

if(x<-10) return(0); ax=fabs(x);

t=1/(1+0.2316419*ax); d=0.3989423*exp(-0.5*x*x);

p=d*t*((((1.330274*t-1.821256)*t+L781478)*t--0.3565638)*t+0.3193815);

p=(x>0) ? 1-p : p;

return(p);

}