4.3. СОПОСТАВЛЕНИЕ СТОИМОСТИ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ С УПЛАТОЙ И БЕЗ УПЛАТЫ ПРЕМИИ
уплаты премии обозначим Cфес, Cфеб, их финальную стоимость - CT (она одинакова у обоих опционов).
Предполагая, что первоначально покупается Me rT опционов без уплаты премии, а затем повторяется процедура ежедневного наращивания позиции аналогично тому, как это делалось для фьючерсного контракта, получаем, что прибыли/убытки по опциону без уплаты премии также не будут зависеть от
траектории котировки и по итогам дня экспирации составят M[CT - Cфеб ].
Предположим, что цена опциона с уплатой премии Cфес превышает e rTCфеб . Продав M опционов с уплатой премии и немедленно получив MCфес, к дню экспирации с учетом процентов на эту сумму имеем MerTCфес, а выплаты по короткой опционной позиции составят MCT . Складывая прибыли/убытки по опциону с уплатой премии с прибылями/убытками по опциону без уплаты премии, получаем в итоге
MerTC фес - MC T + M [CT - C феб ] = MerT [C фес - e - rT C феб ] > 0.
Таким образом, в этом случае возможно получение арбитражной прибыли. Если Cфес < e rTCфеб, то арбитражная операция заключается в продаже опционов без уплаты премии (и последующем наращивании позиции) и одновременной покупке опционов с уплатой премии на привлеченные под процент r средства.
Окончательный результат сводится к тому, что для устранения возможностей арбитража должно выполняться соотношение
C феб = erTC фес . (4.4)
Далее будет показано, что формула для Cфес содержит перед всем выражением дисконтирующий множитель e rT . Наличие в правой части (4.4) компенсирующего множителя приводит к тому, что Cфеб не зависит от процентной ставки. Еще одно объяснение этому, менее строгое и формальное по сравнению с данными алгебраическими выкладками, будет приведено в разделе 9.2.
4.4. ПРИМЕРЫ
Рассмотрим примеры арбитражных стратегий, описанных в разделе 4.1.
Пример 4.1. На рисунке 4.1 показаны графики цены последней сделки по акции РАО «ЕЭС России» на торгах ММВБ и расчетной цены июньского фьючерса на эти акции в FORTS за период 17.12.01-17.06.02. Будем считать, что непосредственно перед окончанием торговой сессии можно одновременно провести сделки по акциям и фьючерсам по указанным ценам. В качестве цены акции в последний день торгов фьючерсом (14.06.02) возьмем средневзвешенную цену, то есть цену, по которой происходит исполнение фьючерсного контракта. Рассмотрим следующую операцию:
17.12.01 - покупка 1000 акций по цене 4485 за пакет и продажа одного фьючерса по цене 4695;
14.06.02 - продажа акций по средневзвешенной цене 4135 с потерями в размере 4485-4135=350 рублей;
17.06.02 - исполнение фьючерсного контракта по цене 4135 с получением суммарной вариационной маржи 4695-4135=560 рублей.
Таким образом, вначале инвестировано 4485 рубля - стоимость пакета акций, а результат составил 4135+560=4695 рублей - цену фьючерса. Поскольку начальная и конечная стоимости портфеля фиксированы, то операция эквивалентна покупке бескупонной облигации с исполнением 17.06.02. Полученной комбинации можно дать условное название синтетической облигации (СО). F=S (1 +RT)=F v(S)
вариационная маржа 4 ?
г
s
т базис Рис. 4.1. Формирование синтетической облигации
На рисунке схематично показано также, как меняется стоимость СО в промежуточные моменты (пунктирная линия). Разность между фьючерсной ценой и ценой базисного актива на спот-рынке называется базисом. По мере уменьшения базиса цена синтетической облигации, то есть
цена СО = текущая цена пакета акций + суммарная вар. маржа, приближается к начальной цене фьючерса (target price).
> Показать, что цена синтетической облигации, сформированной в некоторый начальный день, в любой из последующих дней равна начальной цене фьючерса за вычетом текущего базиса. <
Для того чтобы спланировать досрочное завершение операции, то есть продажу пакета акций и закрытие фьючерсной позиции в один из дней до 14.06.02, необходимо спрогнозировать базис на этот день.
В первом приближении базис убывает линейно с течением времени, однако поскольку заранее эта величина точно не известна, возникает неопределенность - остаточный риск, который называется риском базиса. Обычно этот риск существенно меньше риска изменения стоимости пакета акций как такового, без фьючерсов, что наглядно демонстрирует рис. 4.2, построенный по ценам акции РАО «ЕЭС России» и фьючерса с исполнением 17.06.02. Использование производных инструментов для уменьшения риска называется хеджированием - об этом подробнее в гл. 12. Рис. 4.3. Доходности спот-фьючерс и ГКО
Рис. 4.2. Формирование синтетической облигации
Доходность операции при сохранении позиций до исполнения фьючерсов, названная выше доходность спот-фьючерс, равна
RF =f4695 -ll*365*100% = 9.5%. F ^4485 ) 180
Реально доходность будет ниже, поскольку под продажу фьючерсных позиций необходимо внести гарантийное обеспечение, а также предусмотреть средства на возможную выплату отрицательной вариационной маржи в случае роста фьючерсной цены.
На рис. 4.3 показана доходность RF в случае, если бы операция начиналась в другие дни, в сопоставлении с доходностью ГКО со сроком погашения, близким к дате исполнения фьючерса. Хотя на приведенном графике доходность RF всего лишь в один из дней превышает доходность ГКО, подобные ситуации не редкость (особенно в периоды подъема на рынке акций). В общем случае при таком соотношении доходностей:
если можно заимствовать средства по ставке не выше RF , то формирование СО позволит получить арбитражную прибыль;
если уже имеются денежные средства и планируется их размещение в безрисковые инструменты, то СО будет более выгодным вложением, чем ГКО;
если есть пакет акций и ожидается относительно кратковременное падение цены акции, то вместо продажи пакета и покупки ГКО на этот срок достаточно продать фьючерсы; это выгодно и с точки зрения минимизации комиссионных расходов.
Реально доходность СО в рассматриваемый период была ниже доходности ГКО.
Рассмотрим, как фьючерсы могут быть использованы в такой ситуации для повышения эффективности размещения средств. Изложенную выше процедуру формирования СО символически можно записать как«синтетическая облигация» = «акция» - «фьючерс».
В определенном смысле справедливо и другое соотношение:
«синтетическая акция» = «ГКО» + «фьючерс».
Предположим, что исходной позицией является пакет ГКО. Пусть ввиду прогноза роста цен акций принимается решение об инвестировании этих средств в акции РАО «ЕЭС России». Прямой вариант действий состоит в продаже ГКО и покупке акции. В синтетическом способе ГКО сохраняются в портфеле и к ним добавляются длинные фьючерсные позиции.
Рис. 4.4. Синтетическая покупка акций
Результат иллюстрируется рисунком 4.4. Так как по предположению F < S(1 + RT) , то сумма вариационной маржи по фьючерсу ST - F и результата размещения начальной суммы под фиксированный процент S (1 + RT) превысит доход от акции Sj S .
Рассмотренные операции как для случая переоцененности, так и недооценности фьючерса называются квазиарбитражем. В них благодаря синтетическим схемам достигается большая доходность по сравнению с альтернативными вариантами, в которых фьючерсы не используются. Теоретически, на эффективном рынке такие дисбалансы цен и процентных ставок должны быстро устраняться. Реально, однако, цены фьючерсов в значительной степени формируются со спекулятивной точки зрения - как прогноз будущей цены базисного актива. Именно поэтому недо- или переоцененность фьючерсов может иметь столь сильно выраженный и длительный по времени характер, как на последней диаграмме.
Пример 4.2. Следующий пример демонстрирует краткосрочные арбитражные операции между рынком спот и фьючерсным. На рис. 4.5 показаны графики цены акции РАО «ЕЭС России» и фьючерса с исполнением 15.03.02, взятые с 10-минутным интервалом. Непосредственно видно, что, как и на рис. 4.2, цены движутся практически параллельно, а значит, спекулятивные операции только на фьючерсах или только на акциях будут давать приблизительно одинаковые результаты. Отличие состоит в том, что спекуляции на фьючерсах технически проще и выгоднее по следующим причинам:
в то время как занятие короткой позиции по акциям (продажа без покрытия, short selling) требует заимствования акций, покупка и продажа фьючерса - симметричные и одинаково простые операции;
маржинальная торговля акциями сопряжена для клиента брокерской фирмы с выплатой процентов по суммам, на которые брокер кредитует клиента, тогда как при покупке или продаже фьючерса
клиенту достаточно внести начальную маржу порядка 15% от стоимости контракта, и никаких дополнительных средств не требуется. Кроме того, с течением времени цены фьючерса и акции имеют тенденцию сближаться, то есть базис - превышение цены фьючерса над ценой спот рынка - уменьшается. По этой причине на падающем рынке движение цены фьючерса, как правило, будет несколько большим, чем цены акции. 5500 -
Рис. 4.5. Цена пакета 1000 акций РАО «ЕЭС России» и мартовского фьючерса
4300
17.12.01
05.01.02
24.01.02
12.02.02
Как было показано выше, теоретическая стоимость фьючерсного контракта равна F0 = S0 (1 + RT), соответственно, теоретическое значение базиса на момент начала операции равно F0 — S0 = S0RT.
Рис. 4.7. Доходность «спот-фьючерс»
Рис. 4.6. Возможности краткосрочных арбитражных операций «спот-фьючерс»
Из рис. 4.6 следует, что колебания фактического базиса являются достаточно существенными для того, чтобы представлять интерес для арбитражеров, поскольку спрэды в ценах покупки и продажи акций и фьючерсов, а также комиссионные сборы в сумме не превышают нескольких рублей. При этом теоретический базис действительно может служить ориентиром для оценки того, является ли реальный базис завышенным или заниженным. В случае завышенного базиса следует занимать короткую позицию по фьючерсу и длинную по акциям, а в случае заниженного - противоположные позиции.
Пример 4.3. Рассмотрим доходность операции конвертации рублей в доллары США по курсу S, покупки валютной облигации с простой годовой доходностью доходностью Re и сроком погашения T, и
одновременно продажи фьючерсов на доллар США по цене F с тем же сроком исполнения. Если начальная рублевая сумма равна V , то количество рублей в результате операции равно
V (1 + RT )F = V (1 + ReT )(1 + RfT ),
где RF - доходность спот-фьючерс. Рублевая доходность всей цепочки составляет
R = Re + RF + Re RFT . (4.5)
В терминах непрерывно начисляемых процентных ставок это соотношение записывается особенно просто:
r = Гв + rF .
Теоретически, эта доходность должна быть равна доходности рублевой облигации с тем же сроком погашения.
В качестве примера сопоставим указанные доходности для каждого из дней в период 3.08.98 - 14.08.98, непосредственно предшествовавший замораживанию ГКО-ОФЗ и девальвации рубля. На рисунке 4.7 показаны следующие величины:
ВВЗ - простая годовая доходность облигации внутреннего валютного займа третьего транша с датой погашения 14.05.99;
«спот-фьючерс» - доходность, рассчитанная по соотношению курса доллара и цены фьючерса с исполнением 17.05.99;
ГКО - полусумма простых годовых доходностей выпусков ГКО 21116 и 21117 с датами погашения 12.05.99 и 19.05.99 соответственно;
Рис. 4.7. Доходности «спот-фьючерс» и ГКО
Рис. 4.7. Доходности «спот-фьючерс» и ГКО
Рассматриваемый период характеризовался активным и порою лихорадочным сбросом российских облигаций, как рублевых, так и валютных, поэтому в данной динамичной и неравновесной ситуации трудно ожидать точного выполнения соотношения (4.5). Тем не менее кривые 3 и 4 достаточно близки и изменяются синхронно.
«спот-ВВЗ-фьючерс» - простая годовая доходность цепочки операций, описанных выше.