9.4. ПАРИТЕТ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ КОЛЯ И ПУТ
Между премиями европейских опционов колл и пут на одни и те же акции с одинаковой ценой исполнения и сроком истечения контрактов можно установить равенство, получившее название паритета опционов колл и пут.
Оно имеет следующий вид:с- +Хё~гТ = я+5 (9.1)
при использовании непрерывно начисляемого процента и
с | Х +5
1 +г{Т!база)
для случая простого процента. Равенство (9.1) можно получить следующим образом.
Сравним два портфеля. В первый входит длинный опцион колл (с^) и сумма денег равная дисконтированной стоимости цены исполнения {хе~г1). Данная сумма инвестируется под ставку без риска г на период до окончания срока действия опционов (г). Второй портфель состоит из длинного опциона пут (ри акции (з).
Если к моменту окончания действия контрактов курс акции (57)
больше X, то в первом портфеле исполняется опцион колл. Сумма
денег выросла до величины X и уплачивается в рамках
опциона за акцию. Таким образом, первый портфель состоит из акции. Во второй портфель также входит акция, так как опцион пут истек не исполненным. Поэтому стоимости портфелей равны.
Если курс акции меньше X, то опцион колл не исполняется, и стоимость первого портфеля равна X. Во втором портфеле испол-няется опцион пут, т. е. акция продается по цене X . Таким образом, и в этом случае стоимости портфелей равны.
Если курс акции равен цене исполнения, то оба опциона не ис-полняются и стоимости портфелей вновь одинаковы, так как X — . Стоимости портфелей равны в конце периода Т. Следователь-но, они должны быть одинаковыми и в момент заключения опцион-ных контрактов. В противном случае последует арбитраж.
Как видно из формулы (9.1), зная величину премии опциона колл, можно определить стоимость опциона пут, и наоборот.
Пример.
Цена исполнения европейских опционов колл и пут на акции равна 100 руб.
Цена опциона колл 3 руб. Срок действия контрактов три месяца. Цена спот акции 100 руб. Ставка без риска 10% годовых. Определить величину премии опциона пут.Решение.
А" ^ ^ 100 1ЛЛ ^
Л = + 1-й (т,* \ " ^ = 3 + 1 I п 1^/17^ " 100 =
] + г{Т / база) 1 + 0,1(3/12)
а) Допустим, что цена опциона пут завышена и равна 1 руб. Тогда арбитражер покупает опцион колл, продает опцион пут и акцию, заняв ее у брокера. В результате он получает сумму:
1—3 + 100 = 9% руб.
Размещает ее на депозите на три месяца под 10% годовых и получает по истечении данного периода сумму:
98[1 + 0,1(3/12)] = 100,45руб.
Если к моменту окончания срока действия контрактов цена спот акции больше 100 руб., арбитражер исполняет опцион колл, т. е. покупает акцию за 100 руб. и возвращает ее брокеру. Его прибыль равна:
100,45 -100 = 0,45 руб.
Если курс акции ниже 100 руб., то контрагент исполняет опцион пут. В этом случае арбитражер также покупает акцию за 100 руб., возвращает ее брокеру. Его прибыль вновь равна 0,45 руб.
б) Допустим, что цена опциона пут занижена и составляет 0,5 руб. Тогда арбитражер продает опцион колл и покупает опцион пут и акцию. Для этого он занимает на три месяца под 10% годовых сумму в размере:
3 - 0,5 -100 = -97,5 руб.
(Знак минус означает, что арбитражер занимает эту сумму.) К моменту истечения срока действия контрактов он должен вернуть кредитору:
97,5[1 + 0Л(3/12)] = 99,94руб.
Если в это время цена спот акции меньше 100 руб., арбитражер исполняет опцион пут и его прибыль равна:
100 - 99,94 = 0,06руб.
Если курс акции выше 100 руб., контрагент исполняет опцион колл. Арбитражер продает акцию по цене исполнения, и его прибыль вновь равна 0,06 руб.
Рассмотрим алгоритм действий арбитражера в примере в общем виде. Если опцион пут стоит дороже, чем предполагается условиями паритета, то равенство (9.1) превращается в неравенство:
се + Хе'7 <ре + Я
или
с -р^Б<-ХегТ. (9.2)
В этом случае можно получить арбитражную прибыль.
Представим левую часть неравенства (9.2) как первый портфель, правую часть - как второй.
Так как первый портфель дешевле второго, его следует купить, второй - продать. Покупка первого портфеля означает, что арбитражер покупает опцион колл, продает опцион пут и осуществляет короткую продажу акции. Полученные от операции средства он размещает на депозите до момента истечения опционов. В этом состоит суть операции продажи второго портфеля.Если опцион пут стоит дешевле равновесной цены, то возникает следующее неравенство:
се + Хе~гТ > ре + 8
или
с -Б>-Хе~гГ. (9.3)
В этом случае первый портфель следует продать, так как он стоит дороже второго портфеля. Соответственно второй портфель надо купить. Продажу первого портфеля представим как:
-(с = +5 ,
т. е. инвестор продает опцион колл, покупает опцион пут и акцию. Для этого он занимает деньги. В этом состоит суть операции покупки второго портфеля.
Паритет опционов показывает, что если 51 = X , то опцион колл должен стоить больше опциона пут. Чтобы увидеть это, перепишем формулу (9.1) следующим образом:
с. ~Р> ^Б-Хег\ (9.4)
Если Б = Х, правая часть уравнения (9.4) будет положительной величиной. Это говорит о том, что се > ре.
9.4.2. Паритет европейских опционов на акции, по которым выплачиваются дивиденды. Взаимосвязь между премиями американских опционов
Если в течение действия контрактов на акции выплачиваются ди-виденды, то паритет европейских опционов колл и пут имеет сле-дующий вид:
^ + = + 5 , (9.5)
где О - дисконтированная стоимость дивиденда, выплачиваемого по акциям. Дивиденд дисконтируется под ставку без риска г к началу периода Т .
Паритет существует только для европейских опционов пут и колл. Для американских опционов можно установить только определенную взаимосвязь. Для опционов на акции, по которым не выплачиваются и выплачиваются дивиденды, она соответственно имеет вид:
Б-Х<са~ри <Б-Хе~гТ
и
Б-Х-В<с -р < Б - Хе~гТ.
а г а
9.4.3. Паритет европейских опционов на фьючерсные контракты
Сравним два портфеля. В первый входит европейский опцион колл и сумма денег равная дисконтированной стоимости цены исполнения [Хе~гГ).
Она инвестируется под ставку г на период времени Т. Во второй - европейский опцион пут длинный фьючерсный контракт (р0) и сумма денег, равная дисконтированной стоимости текущей фьючерсной цены (/уТ"7). Она инвестируется под ставку г на период времени Т ,Если к моменту истечения контрактов котировочная фьючерсная цена (/7) больше цены исполнения, то в первом портфеле опцион
колл исполняется, и инвестор получает выигрыш в размере:
Сумма денег (Хе гТ) к моменту истечения опциона доросла до величины X. Поэтому стоимость первого портфеля эквивалентна котировочной фьючерсной цене:
Р7-Х + Х = РТ. При Рт > X опцион пут во втором портфеле не исполняется. Сумма денег (Р{)е~гТ) к моменту истечения опциона доросла до величины Р0. По длинной фьючерсной позиции получен результат:
Гг-Ъ-
Поэтому стоимость второго портфеля также эквивалентна котировочной фьючерсной цене:
Р7-Р{) + Р«=РТ.
Таким образом, стоимости портфелей равны.
Если Рт < X, опцион колл в первом портфеле не исполняется и
его стоимость равна X.
Во втором портфеле опцион пут исполняется, и инвестор получает выигрыш в размере:
Х~РТ.
По длинной фьючерсной позиции получен результат:
р — Р
гт гош
Сумма денег к моменту истечения опциона доросла до ве
личины . Поэтому стоимость второго портфеля эквивалентна цене исполнения:
Таким образом, стоимости портфелей равны.
Если Рт = X , опцион колл в первом портфеле не исполняется
и стоимость портфеля равна X. Во втором портфеле опцион пут также не исполняется. По длинной фьючерсной позиции инвестор получает результат:
Сумма денег (/г0е"гГ) к моменту истечения опциона доросла до величины . Поэтому стоимость второго портфеля составляет:
Таким образом, и в этом случае стоимости портфелей равны. Поскольку они равны в конце периода Т, они должны быть одинаковыми и в начале этого периода, чтобы исключить возможность арбитража. Поэтому можно записать:
с. + Хе" + (9.6)
момент заключения фьючерсного контракта его стоимость равна нулю, т. е. поэтому формула (9.6) принимает вид:
или
с.-РМЪ-ХУ"-
9.4.4. Паритет европейских опционов на валюту
Имеется два портфеля, В первый входит длинный опцион колл (се) на покупку единицы иностранной валюты и сумма денег равная
дисконтированной стоимости цены исполнения (хег7). Данная
сумма инвестируется под ставку без риска г на период до окончания срока действия опционов (г). Второй портфель состоит из длинного
опциона пут (д) на продажу единицы иностранной валюты и суммы денег равной дисконтированной стоимости единицы иностранной валюты (йГ^), где ? - обменный спот курс в прямой котировке,
гг- ставка без риска по иностранной валюте. Сумма $ечТ конвертируется в иностранную валюту по курсу ? и инвестируется под ставку Гу на период Т.
Если к моменту окончания действия контрактов валютный курс больше А', то в первом портфеле исполняется опцион колл.
Сумма денег (хе'гТ) выросла до величины X и уплачивается в рамках опциона за единицу иностранной валюты. Таким образом, первый портфель состоит теперь из единицы иностранной валюты. Опцион Пут во втором портфеле истек не исполненным. Дисконтированная стоимость единицы иностранной валюты доросла до единицы иностранной валюты. Поэтому во второй портфель также входит единица иностранной валюты. В результате стоимости портфелей равны.
Если валютный курс меньше X, то опцион колл не исполняется, и стоимость первого портфеля равна X, Во втором портфеле исполняется опцион пут, т. е. единица иностранной валюты в рамках опциона обменивается на сумму X . Таким образом, и в этом случае стоимости портфелей равны.
Если валютный курс равен цене исполнения, то оба опциона не исполняются и стоимости портфелей вновь одинаковы, так как X — .
Стоимости портфелей равны в конце периода Т. Следовательно, они должны быть одинаковыми и в момент заключения опционных контрактов. В противном случае последует арбитраж. Поэтому можно записать:
с +Хе " г/?.
Данное равенство представляет собой паритет европейских опционов на валюту.