8.6. НИЖНЯЯ ГРАНИЦА ПРЕМИИ ЕВРОПЕЙСКОГО И АМЕРИКАНСКОГО ОПЦИОНОВ ПУТ
Второй портфель состоит из суммы денег равной дисконтированной стоимости цены исполнения (хе Она инвестируется под
ставку г на период времени Т .
Если к моменту истечения контракта FT < X, в первом портфеле опцион пут исполняется, и инвестор получает выигрыш в размере:
X - FГ.
Подлинной фьючерсной позиции получен результат:
f — f
ГТ Г()'
Сумма денег (F0e~rT) к моменту истечения опциона доросла до величины Fy) Поэтому стоимость первого портфеля эквивалентна цене исполнения'
Во втором портфеле сумма денег Хе гТ доросла до величины X. Таким образом, стоимости портфелей равны.
Если к моменту истечения контрактов F, > X опцион пут в первом портфеле не исполняется. Сумма денег [F0e~rT) к моменту истечения опциона доросла до величины F0. По длинной фьючерсной позиции получен результат:
F -F.
1 Г 1 О"
Поэтому стоимость портфеля равна котировочной фьючерсной цене:
р _ р + F = Р
1 Г 1 U ^ 1 <Л 1 7" ¦
Стоимость второго портфеля доросла до величины X . Таким образом, стоимость первого портфеля больше или равна стоимости второго портфеля. Данное соотношение должно выдерживаться и в начале периода Т, иначе можно получить арбитражную прибыль. Поэтому:
А +Р0+Г0е~гТ >Хе~гТ ИЛИ
р,>Хе'т-Ъ-Г0е-т. (8.6)
В момент заключения фьючерсного контракта его стоимость равна нулю, т.е. Р0 = 0, поэтому формула (8.6) принимает вид:
Ре ^ ХегТ гТ (8.7)
или
р^>(Х-Р0)е-т, (8.8) или для простого процента
Р? ^
1 + г{т1база)'
Таким образом, премия европейского опциона пут не должна быть меньше дисконтированной стоимости разности меэду ценой исполнения и текущей фьючерсной ценой.
В противном случае можно совершить арбитражную операцию.Пример.
Фьючерсная цена 90 руб., цена исполнения трехмесячного опциона на фьючерсный контракт 100 руб., ставка без риска для трех месяцев 10% годовых. Определить нижнюю границу премии опциона.
Решение.
100-90 л ^ = 9,156 руб.
1+0,1(3/12)
Предположим, что в примере фактическая цена опциона меньше нижней границы и равна 9 руб. Тогда можно совершить арбитражную операцию. Алгоритм действий арбитражера определим на основе неравенства (8.7). В случае возможности совершения арбитражной операции оно принимает вид:
ре < Хегт - .
Левая часть неравенства это первый портфель, правая часть неравенства - второй портфель. Первый портфель дешевле второго, поэтому его следует купить, второй продать. Продажу второго портфеля запишем как:
- (Хе~гТ - Р,егТ) = -Хе'1 + Р,е'.
Поэтому арбитражер покупает фьючерс по 90 руб., занимает 9 руб. и покупает опцион. В конце периода он должен вернуть по кредиту сумму:
9[1+ 0,1(3 /12)] = 9,225руб.
Если к моменту истечения срока действия контракта Г, < X , арбитражер исполняет опцион, т.е. продает фьючерс по 100 руб. и получает вариационную маржу в размере:
100-Р,.
У него открылась короткая фьючерсная позиция. Она является офсетной относительно купленного им фьючерса. По длинной позиции он получает вариационную маржу:
Р1 -90.
Общий результат равен:
100-Р) + Г, -90 = 10.
Из этой суммы арбитражер возвращает кредит. Прибыль равна:
10 - 9,225 = 0,775 руб.
Мы рассмотрели вопрос определения нижней границы премии для опциона на фьючерсный контракт с одним допущением: не учитывали возможное перечисление вариационной маржи в ходе действия фьючерсного контракта, т.е. фактически рассматривали его как форвардный контракт. С учетом начисления процента на положительную маржу и финансирования под процент отрицательной маржи финансовый результат на практике может несколько отличаться от полученного, т.е. арбитраж с использованием фьючерсных контрактов не является абсолютно безрисковым.
В то же время, как было показано в приложении 1 к главе 3, если процентная ставка постоянна и одинакова для всех периодов времени, то результаты по форвардному и фьючерсному контрактам будут аналогичными.Американский опцион пут можно исполнить в любой момент действия контракта. Поэтому его цена не должна быть меньше внутренней стоимости опциона, т.е.:
Ра-Х- Р. (8.9)
В противном случае можно совершить арбитражную операцию.
Призер.
Фьючерсная цена 90 руб., цена исполнения трехмесячного опциона пут на фьючерсный контракт 100 руб. Опцион стоит 9,9 руб. Указанное выше условие нарушено. Арбитражер покупает опцион, покупает фьючерс и исполняет контракт. Его прибыль равна:
-9,9 +(100-90) = 0,1 руб.
Согласно формулам (8.8) и (8.9) нижняя граница премии американского опциона пут больше премии европейского. Поэтому американский опцион должен стоить больше европейского.
В главе 6 мы отметили, что европейский опцион пут на фьючерсный контракт может иметь отрицательную временную стоимость. Покажем это аналитически, используя условие для нижней границы опциона.
Допустим, премия опциона пут равна ее нижней границе, т. е.:
Внутренняя стоимость составляет: а временная стоимость равна:
рАх-?\
Отсюда:
{х-?)г ,г-(х-р)<0 , ТАК КАК .