3.1. НЕПРЕРЫВНО НАЧИСЛЯЕМАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
ставки для некоторого набора периодов T < 1 (время в долях года), выраженные в виде простого процента,
то существует единая величина r такая, что
erTi = 1 + RtT, (3.1)
для всех i. Из этого следует, в частности, что если для некоторого периода T задана процентная ставка R = R ( T ), то для любого кратного периода Tn = nT процентная ставка Rn = R ( Tn ) однозначно определяется по правилу сложных процентов:
enrT = (erT)n = (i + RT )n = 1 + Rjn = erTn
Можно также сказать, что при расчете эффективной годовой процентной ставки Ref по формуле сложных процентов на основании заданных простых процентных ставок Ri = R (Ti) всегда получается одинаковый
результат: Ref = er — 1. Это предположение, с одной стороны, не лишено оснований и по крайней мере приближенно часто выполняется; с другой, позволяет отвлечься от вопросов, связанных с «короткими» и «длинными» деньгами, поскольку специфические вопросы, связанные с опционами, сами по себе достаточно сложны.
Геометрический смысл параметра r, который называется непрерывно начисляемой процентной ставкой (continuously compounded interest rate), показан на рис. 3.1. Здесь для наглядности параметр r рассчитывается для 6-месячной процентной ставки R = 200% и оказывается равен r = 140%. Экспонента ert подобрана так, чтобы пройти через точку A на прямой 1 + Rt, а прямая 1 + rt - касательная к этой экспоненте в нуле. Смысл непрерывно начисляемой процентной ставки сводится к тому, что для малых T (на практике для одного дня, а в пределе для бесконечно малых T) величина r дает простой годовой процент, а для больших периодов по предположению рост денежных средств удовлетворяет формуле сложных процентов, то есть происходит непрерывная капитализация дохода.
Экспоненциальная форма представления сложных процентов удобна с математической точки зрения и широко используется в теоретических выкладках при определении стоимости опциона. Также записываются и окончательные результаты. Интересно, однако, что эти выражения (по крайней мере те из них, которые будут встречаться ниже) всегда содержат параметр r в готовых комбинациях erT и e rT, которые при расчетах можно просто заменить соответственно на правую часть (3.1) и
—
Непрерывно начисляемый процент
Рис. 3.1. Непрерывно начисляемый процент для 6-месячной ставки R=200%
Время в долях года
Еще одно предположение, используемое при выводе формулы стоимости опциона, состоит в том, что за время существования опциона процентная ставка r будет постоянной. Принципиально рассуждения не меняются, если считать, что будущая динамика процентной ставки r в этот период заранее известна.
Вообще говоря, непрерывно начисляемый процент применяется и в тех случаях, когда предположение (3.1) о временной структуре процентных ставок не выполняется. Тогда необходимо указывать, для какого периода T задан процент r , представляющий собой просто другую форму записи процента R . Процентные ставки r для различных периодов T легко сравнивать, поскольку большему r соответствует большая годовая эффективная процентная ставка.