3.2. МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНЫ БАЗИСНОГО АКТИВА
1
Т = .
252
Дискретная модель движения цены описывается уравнением
F _ f
* к-1 = [т+ о>[Т?к, (3.3)
Fk _1
где слева стоит относительное изменение цены, а справа:
[I - средняя скорость тренда цены, выраженная как простой годовой процент;
О - волатильность (volatility);
^ 2 , ..., m - последовательность гауссовских независимых случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией.
Первое слагаемое справа при отсутствии второго и достаточно малом интервале т задает экспоненциальный рост или снижение цены по формуле
F (tk) = Fk = Fe [к, (3.4)
где tk = кт, что имеет аналогию с выражениями предыдущего раздела при замене r на [. Второе слагаемое описывает случайные колебания цены относительно траектории ее среднего роста или снижения. Разброс случайных возмущений стандартизован и определяется единичной дисперсией, а влияние их на цену регулируется параметром О. Таким образом, модель (3.3) содержит как прогнозируемую составляющую изменения цены, так и ее непредсказуемые колебания, а волатильность является характеристикой размаха этих колебаний.
Волатильность обычно указывается в процентах. Типичными значениями О на товарных и фондовых рынках являются 15 - 30% и более.Модель (3.3) при т ^ 0 переходит в модель непрерывного изменения цены, которая в некотором отношении проще, так как дает более компактные результаты. Если использовать эту модель для прогноза цены в определенный будущий момент t , то F(t) имеет так называемое логнормальное распределение со средним
F ( t ) = Fe [ , (3.5)
а разброс цены относительно среднего F (t) _ F (t) характеризуется среднеквадратическим отклонением (СКО)
Of (t) = F (t )V e °21 _ 1 = F (t )o4t . (3.6)
Последняя аппроксимация тем точнее, чем меньше o4t по сравнению с F (t). Логнормальное распределение, в отличие от нормального, несимметрично и целиком лежит в положительной области. Чем меньше o4t по сравнению с F (t), тем ближе логнормальное распределение к нормальному со средним
F (t) и СКО C>F(t )• Поэтому в первом приближении вероятность того, что F (t) окажется в определенном
интервале с центром F (t), может быть определена на основании хорошо известных свойств гауссовского распределения.
Интервал относительно F (t) Вероятность
± В разделе 3.1 и в данном временные интервалы T измеряются по-разному. В предыдущем разделе, где речь шла о процентных ставках, для определения T необходимо было взять полное количество дней и отнести его к 365, а в данной необходимо количество рабочих дней делить на 252. Небольшое различие, которое при этом возникает, часто игнорируется, однако для уточнения приводимых в дальнейшем формул теоретической стоимости опционов рекомендуется использовать первый способ в выражениях rT и второй способ в выражениях /т, <4т.