3.4. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ВОЛАТИЛЬНОСТИ EWMA, GARCH
2 2 2 _2 U, + U 2 + ... + um
S = 2 ^ , (3.9)
m
2
то отличие результатов, как правило, пренебрежимо мало.
Отдельные наблюдения U i в (3.9) суммируются с одинаковыми весами. Обобщением этого выражения являетсяm
S2 = yV + ^a1u? , (3.10)
ii
i=1
где
Y + ^at = 1, (3.11)
i=1
а величина V имеет смысл долговременного среднего для величины S2 и вводится для учета тенденции возврата волатильности к среднему. Для того чтобы точнее отслеживать динамику волатильности, недавним наблюдениям U 2 обычно придается больший вес, чем отстоящим дальше по времени от текущего момента.
Одним из наиболее часто упоминаемых и используемых в настоящее время способов оценки волатильности является GARCH (generalized aUtoregressive conditional heteroscedasticity), в котором используется рекуррентный вариант соотношения (3.10). Предположим, что с течением времени в каждый
дискретный момент tk вычисляется своя оценка волатильности Sk . В наиболее распространенном методе
GARCH(1,1) по оценке Sk2_j и последнему наблюдению U k новая оценка Sk вычисляется следующим образом
S k = yV + aS J + PUI , (3.12)
где а, в, у - постоянные положительные коэффициенты, а < 1 . Если предположить, что имеется бесконечная предыстория наблюдений u i , то эта рекуррентная формула может быть последовательно преобразована в выражение:
5 k2 = YV (1 + а + а 2 + ...) + в (u2 + au2k — l + а 2u 2 — 2 + ...).
Нетрудно видеть, что (3.11) в данном случае эквивалентно тому, что а + в + Y = 1 .
Обобщением GARCH(1,1), называемым GARCH(p,q), является выражение вида (3.12), куда входят
5k—1, 5
k — 2 , 5k—p и u k , u k -1 , u k + 1- q , однако такие в^1раженИЯ используются реже. Частным случаем GARCH(1,1) является метод EWMA (exponentially weighted moving average), в котором Y = 0 , то есть не учитывается возврат к среднему.
В системе оценки рыночного риска RiskMetrics, разработанной J.P.Morgan, волатильности вычисляются методом EWMA с а = 0.94, в = 0.06. Эти параметры были выбраны как наилучшие в среднем для всех рынков.До сих пор речь шла о вычислении оценки волатильности для текущего момента. Для того чтобы сделать прогноз волатильности на l шагов вперед, в модели GARCH(1,1) следует использовать выражение
5 2+1 = V + (а + в )l (5 k2 — V ) .
Так как а + в < 1, то по мере увеличения глубины прогноза оценка сходится к V .В EWMA а + в = 1, поэтому наилучший прогноз просто совпадает с текущей оценкой волатильности.
Пример 3.1. Проиллюстрируем метод EWMA на примере цены акции РАО «ЕЭС России» на торгах в РТС в «послекризисный» период 01.10.98 - 20.06.02 (рис. 3.2).
Рис. 3.2. Динамика цены акции РАО «ЕЭС России» на торгах в РТС Рис. 3.3. Историческая волатильность и прогноз методом EWMA
На рис. 3.3 каждая точка графика «волатильность» означает историческую волатильность, рассчитанную по предшествующему 60-дневному периоду. График «EWMA 0.99» построен методом EWMA с а = 0 .99 , при этом каждая точка графика отнесена не к тому моменту, в который она могла бы быть реально рассчитана, а сдвинута вправо (в будущее) на 60 точек. Тем самым для каждого момента изображена истинная волатильность в предшествующий 60-дневный период и ее прогноз методом EWMA.
Если построить график, подобный рис. 3.3, для а = 0.94 , то окажется, что в этом случае EWMA чрезмерно сильно реагирует на последние по времени движения цены и ошибочно прогнозирует их вперед. При а = 0 .99 прогноз оказывается лучше, например, по критерию среднего квадрата отклонений прогноза от исторической волатильности.
Относительно скорости тренда / на основании рис. 3.2 можно сделать лишь тот вывод, что после начального периода роста цены наступил период бокового тренда, то есть в первом приближении можно считать, что /Л = 0 . Если бы рассматривался курс рубля к доллару, то долговременный тренд прослеживался бы более четко.