<<
>>

3.4. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ВОЛАТИЛЬНОСТИ EWMA, GARCH

Если в (3.7) положить U = 0 и использовать упрощенный вариант этой формулы:

2 2 2 _2 U, + U 2 + ... + um

S = 2 ^ , (3.9)

m

2

то отличие результатов, как правило, пренебрежимо мало.

Отдельные наблюдения U i в (3.9) суммируются с одинаковыми весами. Обобщением этого выражения является

m

S2 = yV + ^a1u? , (3.10)

ii

i=1

где

Y + ^at = 1, (3.11)

i=1

а величина V имеет смысл долговременного среднего для величины S2 и вводится для учета тенденции возврата волатильности к среднему. Для того чтобы точнее отслеживать динамику волатильности, недавним наблюдениям U 2 обычно придается больший вес, чем отстоящим дальше по времени от текущего момента.

Одним из наиболее часто упоминаемых и используемых в настоящее время способов оценки волатильности является GARCH (generalized aUtoregressive conditional heteroscedasticity), в котором используется рекуррентный вариант соотношения (3.10). Предположим, что с течением времени в каждый

дискретный момент tk вычисляется своя оценка волатильности Sk . В наиболее распространенном методе

GARCH(1,1) по оценке Sk2_j и последнему наблюдению U k новая оценка Sk вычисляется следующим образом

S k = yV + aS J + PUI , (3.12)

где а, в, у - постоянные положительные коэффициенты, а < 1 . Если предположить, что имеется бесконечная предыстория наблюдений u i , то эта рекуррентная формула может быть последовательно преобразована в выражение:

5 k2 = YV (1 + а + а 2 + ...) + в (u2 + au2k — l + а 2u 2 — 2 + ...).

Нетрудно видеть, что (3.11) в данном случае эквивалентно тому, что а + в + Y = 1 .

Обобщением GARCH(1,1), называемым GARCH(p,q), является выражение вида (3.12), куда входят

5k—1, 5

k — 2 , 5k—p и u k , u k -1 , u k + 1- q , однако такие в^1раженИЯ используются реже. Частным случаем GARCH(1,1) является метод EWMA (exponentially weighted moving average), в котором Y = 0 , то есть не учитывается возврат к среднему.

В системе оценки рыночного риска RiskMetrics, разработанной J.P.Morgan, волатильности вычисляются методом EWMA с а = 0.94, в = 0.06. Эти параметры были выбраны как наилучшие в среднем для всех рынков.

До сих пор речь шла о вычислении оценки волатильности для текущего момента. Для того чтобы сделать прогноз волатильности на l шагов вперед, в модели GARCH(1,1) следует использовать выражение

5 2+1 = V + (а + в )l (5 k2 — V ) .

Так как а + в < 1, то по мере увеличения глубины прогноза оценка сходится к V .В EWMA а + в = 1, поэтому наилучший прогноз просто совпадает с текущей оценкой волатильности.

Пример 3.1. Проиллюстрируем метод EWMA на примере цены акции РАО «ЕЭС России» на торгах в РТС в «послекризисный» период 01.10.98 - 20.06.02 (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Динамика цены акции РАО «ЕЭС России» на торгах в РТС Рис. 3.3. Историческая волатильность и прогноз методом EWMA

На рис. 3.3 каждая точка графика «волатильность» означает историческую волатильность, рассчитанную по предшествующему 60-дневному периоду. График «EWMA 0.99» построен методом EWMA с а = 0 .99 , при этом каждая точка графика отнесена не к тому моменту, в который она могла бы быть реально рассчитана, а сдвинута вправо (в будущее) на 60 точек. Тем самым для каждого момента изображена истинная волатильность в предшествующий 60-дневный период и ее прогноз методом EWMA.

Если построить график, подобный рис. 3.3, для а = 0.94 , то окажется, что в этом случае EWMA чрезмерно сильно реагирует на последние по времени движения цены и ошибочно прогнозирует их вперед. При а = 0 .99 прогноз оказывается лучше, например, по критерию среднего квадрата отклонений прогноза от исторической волатильности.

Относительно скорости тренда / на основании рис. 3.2 можно сделать лишь тот вывод, что после начального периода роста цены наступил период бокового тренда, то есть в первом приближении можно считать, что /Л = 0 . Если бы рассматривался курс рубля к доллару, то долговременный тренд прослеживался бы более четко.

<< | >>
Источник: А.Н. Балабушкин. ОПЦИОНЫ и ФЬЮЧЕРСЫ. 2004

Еще по теме 3.4. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ВОЛАТИЛЬНОСТИ EWMA, GARCH:

  1. 1. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ ПРИ РАЗМЕЩЕНИИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
  2. 31. Методы оценки при затратном подходе
  3. Метод оценки лизинга, основанный на принципе дисконтирования
  4. 49. Методы оценки конкурентоспособности
  5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КРЕДИТНОГО РИСКА
  6. 6.1. Традиционные методы оценки инвестиций
  7. 8.2. Методы оценки-бизнеса
  8. Как выбранный метод оценки запасов может влиятьна индикаторы оборачиваемости и другие показателиэффективности работы фирмы?
  9. Методы оценки риска
  10. Методы оценки риска
  11. Методы оценки риска