<<
>>

8.2. КВАДРАТИЧНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

Наряду с биномиальным методом для определения стоимости американских опционов используется так называемая квадратичная аппроксимация (предложенная в работах Macmillan/ Barone-Adesi и Whaley).
Это приближенные аналитические соотношения, которые получаются при некотором упрощении исходной задачи. Соответствующие формулы приведены в приложении Б.

Кривые, полученные этим методом, показаны на тех же рис. 8.1, 8.2. При этом для опциона колл результаты биномиального метода и квадратичной аппроксимации практически совпадают. Для опциона пут аппроксимация на некотором участке значительно отклоняется вниз от точного графика и лежит даже ниже внутренней стоимости опциона. Очевидно, что для улучшения результата на этом участке следует вместо аппроксимации брать внутреннюю стоимость.

Пример 8.1. Рассмотрим более подробно европейский и американский опционы колл на фьючерс с уплатой премии на страйке 5000 с экспирацией через 3 месяца в одной точке - при фьючерсной цене 5000 (по-прежнему 3-х месячная ставка R=100%, волатильность о=20%).

Формула Блэка в этом случае дает для европейского опциона C фес = 168.3. Для стоимости американского опциона квадратичная аппроксимация равна Cфас = 179.86, а критическая точка U = 5570.

В таблице 8.1 приведены стоимости европейского и американского опционов, полученные биномиальным методом. Параметр n обозначает количество шагов, на которое разбивается срок действия опциона при построении решетки. n 10 20 30 40 50 100 200 C фес 173.3 170.6 169.8 169.4 169.2 168.7 168.5 C фас 181.7 179.5 178.7 178.4 178.2 177.8 177.6 Таблица 8.1. Стоимости опционов, рассчитанные биномиальным методом

Строка таблицы для C в сопоставлении с точным значением C подтверждает, что биномиальный метод в пределе дает такой же результат, как и соответствующая модификация формулы Блэка-Шоулса. Последняя строка показывает, что точное предельное значение стоимости американского опциона находится в районе 177.4, то есть ошибка квадратичной аппроксимации составляет 1.5%.

Рассчитанное биномиальным методом при n=200 значение

C фас в критической точке квадратичной аппроксимации 5570 равно 575 (вместо 570 - ошибка около 1%), а точная критическая точка 5650.

Практически, однако, погрешностями порядка нескольких процентов можно пренебречь, поскольку такой или большей является разность цен спроса и предложения. Считается, что в биномиальном методе достаточно разбить срок действия оцениваемого опциона на 20 - 30 шагов для получения удовлетворительного результата. ¦

8.3. АМЕРИКАНСКИЙ ОПЦИОН НА ДИВИДЕНДНУЮ АКЦИЮ

Отдельно следует остановиться на особенностях американских опционов на дивидендную акцию. Биномиальный метод позволяет рассчитывать стоимость опционов и в этом случае. Простейший вариант исходных условий состоит в том, что заранее известен день выплаты дивидендов, после которого цена акции скачкообразно уменьшается на заранее известную величину. При этом возникает сложность формального характера, связанная с тем, что в отличие от упрощенного примера 5.1 в точном методе узлы решетки расположены неравномерно по цене (см. (5.7)), и одинаковый сдвиг в определенный момент во всех узлах приводит к рассогласованию решетки и резкому нарастанию количества узлов в последующем. Один из путей возможного решения проблемы состоит в том, чтобы несколько модифицировать решетку и с этой целью представить цену акции в любой момент существования опциона как сумму двух компонентов: регулярной составляющей, отражающей приведенные к текущему моменту будущие дивиденды за время существования опциона, и остальной части цены акции (ср. с (4.2)). Предполагается, что изменение только этой остальной части носит случайный характер и описывается биномиальной моделью. Так, если до экспирации опциона остается T = тт (т - шаг решетки по времени) и за этот период предполагается выплата одного дивиденда размера d в момент t, причем кт < t < (к + 1)т, то значения цены акции в узлах решетки определяются по правилу:

— г(t—т) т j л.Л-j , J- г(t _iт) .

в моменты iт< t: [S0 — de г( 1I)]vJw1 ' + de~

• в моменты 1т> t: [ S 0 — d ] V]w' ' , где' = 0,1,..., i; v = e т, w = e а .

Для приближенного аналитического расчета стоимости опциона колл применяются также следующие рассуждения: предполагается, что если и целесообразно проводить досрочное исполнение опциона, то только непосредственно перед выплатой дивидендов. Исходя из этого достаточно сравнить стоимость европейского опциона с исполнением в дату экспирации со стоимостями европейских опционов колл, сроки действия которых истекают непосредственно перед датами выплаты дивидендов, и выбрать наибольшую из получившихся величин в качестве стоимости американского опциона.

Еще один вариант анализа стоимости опциона состоит в том, чтобы изменить исходную посылку: считать, что вместо величины дивидендов заданы ставки дивидендов, то есть отношения размера дивиденда к цене акции на момент выплаты дивиденда. В этом случае после выплаты дивиденда узлы пропорционально смещаются вниз без нарушения решетки в последующем.

Для стоимости американского опциона колл на акцию, по которой за время существования опциона предполагается выплата одного дивиденда, в [10] приведено точное, хотя и довольно громоздкое, аналитическое выражение.

Американский опцион пут с точки зрения досрочного исполнения обладает свойством, которое не присуще опциону колл. Предположим, что имеется длинная позиция по опциону пут на акцию с экспирацией через 6 месяцев, страйк равен 5000, процентная ставка r=24%. Если к этому моменту цена акции упала, скажем, до 500, то исполнить такой опцион досрочно заведомо выгоднее, чем ожидать дня экспирации. Купив акцию по 500, потребовав исполнения опциона и поставив ее по цене 5000, можно разместить полученную прибыль под проценты с результатом ко дню экспирации

4500e = 4500e = 5074 , что больше максимально возможных 5000 на день экспирации. Естественно, не обязательно исполнять опцион, если есть основания предполагать, что цена акции снизится еще сильнее, - необходимо выбрать момент, когда выражение ( E — S )erT окажется максимальным (T- время, оставшееся до экспирации).

<< | >>
Источник: А.Н. Балабушкин. ОПЦИОНЫ и ФЬЮЧЕРСЫ. 2004

Еще по теме 8.2. КВАДРАТИЧНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ:

  1. 3.1 Разработка тарифной политики для смешанных портфелей услуг коммерческого банка
  2. 2.6.2.4 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ АКТИВАМИ
  3. 1.3. ОЦЕНКА КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТИ ОБЪЕКТОВ РЫНКА
  4. Приближенный подход
  5. Идея асимптотического метода
  6. 6.6. Ряды с квадратичным трендом.
  7. 4.3 Технология решения оптимизационных задач
  8. 11.2. «Интеллектуальная» криволинейная аппроксимация
  9. 2.3.2. Квадратичная функция полезности и ожидаемая полезность
  10. МЕТОДЫ, ИСПОГЬЗУЮЩИЕ ФИЛЬТРАЦИЮ И МАТЕМАТИЧЕСКУЮ АППРОКСИМАЦИЮ