4.2. ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ

исходя из однодневного процента. Пусть цена покупки фьючерсного контракта равна Fф, последовательные котировки вплоть до последнего дня торговли контрактом равны Fj ,..., F m , а цена базисного актива на следующий день - день исполнения контракта - равна ST . Предположим, что контракт расчетный. Тогда суммы, которые ежедневно начисляются/ списываются по открытой позиции, составляют F — Fф, F2 — F1,..., ST — Fm. Обозначим т однодневный период, тогда T = mт. Результирующая сумма по фьючерсной позиции, полученная с учетом ежедневных начислений процентов на остатки на счетах, равна

{[(F1 — F ф )er) + F2 — Fx]erT + ...}erT + ST — Fm = [ F1 — F ф ]emrT + [ F2 — F1]e(m—1} rT +... + ST — Fm.

Это выражение зависит от всей неизвестной заранее траектории изменения фьючерсных расчетных цен, поэтому описанные выше арбитражные стратегии для форвардных контрактов не приводят к такому же гарантированному результату в случае фьючерсных контрактов. Графики прибылей/убытков по форвардному контракту в зависимости от ST (рис. 1.1, 1.2) для фьючерсных контрактов, строго говоря, теряют смысл. В случае фьючерсного контракта можно говорить лишь о локальных однодневных ожидаемых прибылях/убытках в зависимости от расчетной цены следующего дня, при этом график каждый день должен пересекать горизонтальную ось в новой точке - последней расчетной цене контракта.

Тем не менее арбитражные стратегии, на которых может быть основана оценка теоретической стоимости фьючерсных контрактов, существуют. Остановимся на этом вопросе подробно, поскольку аналогичные рассуждения применяются и для опционов без уплаты премии. Пусть вначале открывается длинная фьючерсная позиция на M контрактов, в конце дня позиция наращивается до MerT (по расчетной цене этого дня), в конце следующего дня - до Me2гт и т.д. Тогда результирующая сумма оказывается равна

M {[(F1 — F ф )erT + (F2 — F1)exp(rT)]erT + ...}er) + M (ST — Fm )exp(mr) = M (ST — F ф )erT.

В первой строке умножение на erT обозначает увеличение остатка на счете из-за процентов, а умножение на ту же величину, но записанную в форме exp(r), соответствует увеличению количества контрактов. Результат же зависит только от цены покупки первых M контрактов и цены базисного актива на день исполнения. Предположим, что одновременно с покупкой фьючерсных контрактов покупаются форвардные

контракты в количестве MerT по цене Fфор и с той же датой исполнения. Тогда в день исполнения контрактов прибыли/убытки по форвардным контрактам составят M[ST — Fфор ]erT . Сравнение с результатом операции по фьючерсам показывает, что если цены форвардного и фьючерсного контрактов в начальный момент не совпадают, то возможно получение арбитражной прибыли. Например, если фьючерсный контракт дешевле форвардного, то необходимо продать Me rT форвардных контрактов и одновременно купить М фьючерсных контрактов, наращивая впоследствии позицию до MerT. Результат этой операции будет равен M[Fфор — Fф ]erT >0.

Таким образом, теоретические стоимости фьючерсных контрактов должны определяться теми же выражениями, что и стоимости форвардных контрактов. Еще одним выводом из приведенных рассуждений является то, что для получения одинакового результата количество фьючерсных контрактов в

rT

начале операции должно быть меньше, чем форвардных, в e раз.