Форвардная и фьючерсная цены для случая, когда ставка без риска постоянна и одинакова для любых периодов времени

7 При доказательстве данного положения мы спедуем рассуждениям как они представлены в M.Capinski, T.Zastawniak, Mathematics for Finance. An Introduction to Financial Engineering, Springer, N.Y., 2005, p, 136-138.

г. Сделаем допущение о том, что фьючерсный контракт можно дробить. Клиринг по контракту происходит в конце каждого периода.

Инвестор заключает форвардный контракт на покупку акции, истекающий в момент Т, по форвардной цене Гт и размещает на

депозите сумму Рте ,т. В конце периода Т она вырастает до суммы РГ, и уплачивается по контракту в обмен на акцию. Таким образом, по завершении периода Т инвестор располагает акцией, цена спот которой равна ,

Получим аналогичный финансовый результат с помощью фьючерсного контракта, В конце нулевого дня котировка фьючерса, истекающего в момент Т, равна . Инвестор покупает его по котировочной цене в количестве В качестве начальной маржи он вносит сумму Г^е '', т.е. она инвестируется под ставку г на время Т. В конце данного периода по депозиту он получит сумму:

,, г?1 г! >1 г?!

Ч г е е = Г

1 # (] С- С- I (| .

\

В момент /, фьючерсная котировка равна Р]'. В результате

клиринга по счету инвестора происходит перечисление вариационной маржи в размере:

е'^-р;)

В зависимости от конъюнктуры данная величина может быть отрицательной или положительной. Если она отрицательная, инвестор финансирует ее, заняв средства под ставку г на период Т если

положительная, размещает эти средства под данный процент на этот период. Соответственно по окончании действия контракта в первом случае инвестор выплатит, а во втором получит сумму:

По котировочной цене в момент он докупает фьючерсный кон-

тракт до величины е .

В момент /2 по контракту перечисляется вариационная маржа в размере:

Ат 1л )( г^Т Т7Т\

* " V 2 }

Если она отрицательная, инвестор финансирует ее, заняв средства на период Т -t2, положительная - размещает под данный процент

на этот период. Соответственно по окончании действия контракта в первом случае он выплатит, а во втором получит сумму:

По котировочной цене в момент t2 инвестор докупает фьючерс до

одного целого контракта.

По истечении контракта по нему перечисляется вариационная маржа в размере S, - F] , поскольку котировочная фьючерсная

цена равна спотовой. Если она отрицательная, эта сумма списывается, если положительная, начисляется на счет инвестора. В этот момент он погашает заимствованные средства и получает деньги по размещенным депозитам. Финансовый итог операции равен:

F0T + F? -FJ +F] -FtT +Sr-F27

Таким образом, стоимость позиции инвестора в конце периода Т по фьючерсному контракту равна позиции по форвардному. Следовательно они должны быть одинаковыми и в начале периода:

FTerT =FjerT. (П.3.1)

(Напомним, именно эти средства были инвестированы в начале периода по каждой операции). Поскольку процентная ставка и период времени одинаковые, то в равенстве (П.3.1) Fl = Fl, т.е. форвардная цена равна фьючерсной. Если для разных периодов времени процентные ставки не одинаковые, но известны заранее, то равенство цен также сохранится.