Формирование синтетической облигации

также предполагать, что за время существования фьючерсного контракта база индекса не меняется и по акциям не выплачиваются дивиденды.

Стоимость такого пакета повторяет динамику индекса, то есть если индекс вырос на 10%, то и стоимость пакета выросла на 10%. Обозначим

V0 - начальную сумму, инвестируемую в пакет акций;

10 - значение индекса в день покупки пакета акций;

IT - значение индекса в день T ,

тогда стоимость пакета акций в день T будет равна

IT

VT = V0 f". I0

Для образования пропорционального пакета распределение инвестируемой суммы V0 по акциям из базы расчета осуществляется в соответствии с формулой

Ур Q

m = Qi,

Z QiP

i=1

где mi - количество акций i - того вида в пакете.

Рассмотрим процедуру формирования синтетической облигации, дата условного «погашения» которой совпадает с датой исполнения фьючерсов на индекс. Вначале необходимо купить пропорциональный пакет акций на сумму V0 и одновременно с этим продать фьючерсы в количестве

V0

n = —V (12.2)

IL

0

В день исполнения фьючерсов T окончательный расчет происходит по значению индекса в этот день

F = I

1 final 1 T ¦

Суммарная вариационная маржа по n коротким позициям составит

n(F — Ffinal) L = VF (F0 — IT ) = V0 Fl _ V0 If..

* 0 * 0 * 0

Последний член здесь есть не что иное, как стоимость пакета акций к этому моменту. Следовательно, сумма вариационной маржи и стоимости пакета не зависит от значения индекса I T и всегда равняется

F0

V' = V —

T0I I0

Тем самым хедж действительно обеспечивает фиксированную доходность размещения средств, определяемую соотношением между значением индекса и фьючерсной ценой.

Из полученной формулы следует, что теоретическая цена фьючерса на индекс определяется выражением

F0 = 10(1 + RT) = I0erT , (12.3)

где R , r - простая и непрерывно начисляемая безрисковые процентные ставки для периода T.

Пример 12.2. Значение индекса S&P/RUIX 16.01.02 было равно 210.37, в этот же день фьючерс на индекс с исполнением 15.03.02 торговался по 214.36. Доходность спот-фьючерс, определяемая по этим значениям, равна

r ( 21436 —*365*Ш0% = 11.94%.

F ^ 210.27 ) 58

Пусть предполагается разместить в акции $100000. В таблице 12.2 приведен состав индекса на рассматриваемый момент. Количество покупаемых акций для формирования пакета, пропорционального базе расчета, указано в последнем столбце. На практике в силу того, что акции торгуются лотами по 100 акций, полученные значения будут округлены. После приобретения пакета акций продаем фьючерсы в количестве

$100000

n = = 238.

$2*210.37 N Эмитент Количество Цена Покупаемые акций в базе акции акции, расчета 16.01.02, п/ индекса $ 1 РАО «ЕЭС России» 41041753984 0.16842 87394 2 Лукойл 850563255 13.7605 1811 3 Мосэнерго 28267726000 0.04564 60193 4 Ростелеком 728696320 1.00064 1552 5 Сургутнефтегаз 35725994705 0.33002 76075 6 Татнефть 2178690700 0.562 4639 7 Юкос 2236991750 5.95051 4763 Таблица 12.2. Формирование пропорционального пакета

Окончательное исполнение фьючерса осуществляется по значению индекса на 14.03.02, 18:00, равному 235.67. Соответственно, вариационная маржа по коротким позициям составит

238 * (214.36 — 235.67) * $2 = —$10143.56

Цена пакета акций к этому времени вырастет до

$100000* :— = $112026.43

210.27

C учетом вариационной маржи общая сумма составит 101882.87, что по отношению к инвестированным средствам дает доходность 12.06%. Эта величина лишь незначительно отличается от доходности, рассчитанной вначале. ¦

> Чем вызвано отличие фактической доходности от планируемой? <

Данный пример показателен также в том смысле, что демонстрирует обратную сторону хеджирования: страхуя от падения стоимости портфеля акций, эта операция одновременно устраняет и возможности получения большей доходности в случае благоприятной динамики цен.

Синтетическая покупка акций

Аналогично формированию синтетической облигации осуществляется другая квазиарбитражная операция - синтетическая покупка пропорционального пакета акций. Предполагается, что имеется некоторая сумма V0, инвестированная, например, в ГКО с погашением через время T и доходностью к погашению R . К моменту погашения ГКО их стоимость составит

VT = Vo(1 + RT).

Вместо продажи пакета ГКО и покупки пакета акций достаточно, сохраняя пакет ГКО, купить фьючерсы в количестве, определяемом формулой (12.2). В итоге вариационная маржа по фьючерсам будет равна

I F

n(Ffinal - F0)L = n(IT - F0)L = V0 f - V0 F.

10 10

Вместе с суммой VT , полученной от размещения с фиксированной доходностью, итог составит

IF VT= V0 f + V0(1 + RT) - V0-f . (12.4)

I0 I0

Первое слагаемое равно результату прямого размещения суммы V0 в пропорциональный пакет акций. Доходность синтетического способа равна

Кинтетич. = RS + R - RF , (125)

где RS = — —0 - доходность прямого размещения в пакет акций,

1V-10 T I0

0

RF = T 0 - доходность спот-фьючерс.

T I0

Произвольные пакеты акций

Реально пакет акций может быть произвольным. Один из гипотетических вариантов работы с такими пакетами мог бы состоять в том, чтобы использовать фьючерсы для каждой отдельной компоненты портфеля. Однако введение в обращение такого большого количества фьючерсов наталкивается на проблему «размывания ликвидности», а их использование затруднено необходимостью проведения многих сделок по различным фьючерсам с сопутствующими издержками. Именно поэтому мировой практикой выработан подход, в котором для работы с самыми разнообразными пакетами используются фьючерсы на индекс. При этом высокая ликвидность фьючерса оказывается важнее некоторых погрешностей хеджа, возникающих из-за неидеального отслеживания индексом динамики стоимости конкретного пакета акций, если этот пакет не является пропорциональным (tracking error - т.к. имеет место кросс-хедж).

В случае произвольных пакетов акций хеджевые стратегии с использованием фьючерсов на фондовый индекс учитывают коэффициенты альфа и бета а, в отдельных бумаг.

времени. Зададимся временным горизонтом T, который соответствует длительности планируемой операции (например, один месяц или 20 рабочих дней). Рассчитаем относительные приращения:

I -1 I -1 I -1

x = 1 -k+T 1 -k x = 1 -k+T+1 1 -k+1 x = 10 -T

-k ~ T ' -k+1 y '..., -T

I I I

-k -k+1 -T

S - S S - S S - S

y = °-k+T -k y = °-k+T+1 -k+1 y = ° 0 °-T

У-k ^ ' У-k+1 ^ ' ..., У-T ^

Задача состоит в том, чтобы на основании имеющихся данных до текущего дня включительно определить коэффициенты а, в наилучшего прогноза на день T :

S - S Т - Т

——— = + а + (12.6)

ST

где е - случайная погрешность прогнозирования, а, в - параметры, при которых СКО погрешности минимально. В этом случае количество фьючерсов, которое следует продать для фиксации будущей стоимости портфеля на день исполнения фьючерса T , равняется

n = -°- в, (12.7)

ТТ

о

где V0 - текущая стоимость портфеля акций, 10 - текущее значение индекса.

Легко проверить, что с учетом вариационной маржи пакет акций в день T будет реализован по цене VT, обеспечивающей доходность

1 VT- V0 в FT -I0 a + s

R = T 0 = — 0 + (12.8)

синтетич. TV TIT

Таким образом, как и в случае пропорционального пакета, результат не зависит от неизвестных значений ST, IT . Так как, однако, имеет место кросс-хедж, возникает случайная ошибка е.

> Проверить соотношение (12.8). <

Для проведения синтетической покупки пропорционального пакета акций необходимо купить фьючерсы в том же количестве (12.7). Тогда результат операции дается следующим обобщением соотношения (12.4): —

V' = V ^ + V

T 0о т'о S0

r F ^

(12.8)

в + RT —0- в-а-е

V Т0 J Первое слагаемое является результатом прямого размещения суммы в акции, второе показывает дополнительный эффект от синтетического варианта. Обобщением соотношения (12.5) является

а + s

Кии— = R— + R -R у- • (12.9)

> Проверить соотношения (12.8), (12.9). < Расчет коэффициентов а, в

Из (12.7), (12.8) следует необходимость по возможности наиболее точного подбора коэффициентов а, в с целью минимизации случайной погрешности s. Простейший способ состоит в том, чтобы отложить на графике пары (x, y) по осям и с помощью стандартной функции Excel вписать в массив данных линию тренда с выводом ее уравнения на график. На рис. 12.6 показано соответствующее построение для акции Татнефть при T = 20 (прогноз на один месяц) по данным за период 3.01.01 - 5.06.02. Коэффициенты оказываются равны:

в = 0.844, а = 0.002

Рис. 12.6. Определение коэффициентов ОС, в для акций Татнефти

Одновременно на рисунке показана величина R 2 , которая характеризует степень достоверности аппроксимации точек линией тренда. Чем ближе эта величина к 1, тем точнее можно спланировать

результаты кросс-хеджа. В таблице для сравнения даны показатели R2 для акций Татнефти по отношению к индексу и другим акциям, на которые введены фьючерсы, для рассматриваемой глубины прогноза

T = 20. Индекс Лукойл Сургутнефтегаз РАО ЕЭС Ростелеком R2 0.40 0.22 0.25 0.12 0.30 Таблица 12.3. Показатели R2 для акций Татнефти

Из таблицы следует, что использование фьючерса на индекс обеспечивает наилучший кросс-хедж.

Одной из проблем в связи с нахождением коэффициентов альфа, бета является необходимость, с одной стороны, обработки по возможности максимального объема статистических данных, с другой, учет изменения со временем динамики акций различных эмитентов и в целом отраслей, в результате чего коэффициенты не остаются постоянными. Для учета временной динамики можно применять более сложные методы оценки коэффициентов а, в. Один способов состоит в том, чтобы использовать критерий

где у - постоянный коэффициент, меньший или равный единице. Этот способ аналогичен экспоненциальному скользящему среднему и методу EWMA, описанному в разделе 3.4. Полученные в разные моменты к коэффициенты в, а при том образуют случайный процесс, который необходимо прогнозировать на Л шагов, используя его корреляционные свойства. Коэффициент у подбирается так, чтобы СКО погрешности прогнозирования S в соотношении (12.6) на имеющемся статистическом материале была наименьшим.

Рис. 12.7. Динамика коэффициента в для акции Татнефть

Пример «скользящего» расчета коэффициента в для акций Татнефти с глубиной окна k = 300 и параметрами T = 20 дней, у = 1, показан на рис. 12.7.

Рис. 12.8 иллюстрирует точность кросс-хеджа. Перепишем (12.6) в терминах доходностей: 1 IT -10 г, а + s

—T 0 в +

T I0 T

1 —T - —0 T S0

где T = 20/365 - период хеджирования в долях года. На рис. 12.8 для каждой даты приведены значения каждого из трех членов этого выражения, обозначенные цифрами 1, 2, 3 соответственно. При этом коэффициент в и значения S0, I0 берутся на указанную дату, а ST, IT - для даты, отстоящей вперед на 20 рабочих дней. 3.7.02

13.6.02

24.5.02

4.5.02

14.4.02

300

Рис. 12.8. Погрешность кросс-хеджа для акций Татнефть

-300

Из рис. 12.8 следует, что доходности прямых операций с акциями (линия 1) имеют разброс, характеризуемый СКО=120% годовых, тогда как при использовании фьючерсов на индекс погрешность доходности (линия 3) снижается до СКО=65%. Таким образом, погрешность кросс-хеджа достаточно велика. Дополнительное уменьшение неопределенности результата может быть достигнуто за счет допущения некоторой свободы в сроках завершения операции с тем, чтобы воспользоваться благоприятной флуктуацией цен.

Еще один вывод состоит в том что коэффициент а на порядок меньше случайной погрешности s, поэтому им можно пренебречь. Такая ситуация достаточно типична (ср. с (3.9), где также пренебрегают средним).

Выше описан модифицированный способ расчета коэффициентов в. Стандартный способ, обычно приводимый в литературе, состоит в расчете однодневных относительных приращений индекса и цены акции (то есть величин х,, yi при T = 1), среднеквадратических отклонений этих величин О x, Оy,

О

коэффициента корреляции р и в = р . Приведенный выше способ показывает, как можно

Ох

«экспериментировать» с методикой расчета коэффициента для достижения большей точности хеджа.

Пример 12.3. Значение индекса S&P/RUIX 3.01.02 было равно 199.84, в этот же день фьючерс на индекс с исполнением 15.03.02 торговался по 200.98. Доходность спот-фьючерс, определяемая по этим значениям, равна всего RF = 2.93%, тогда как безрисковая ставка для этого периода R = 7.5%. Предположим, имеется V0 = $100000, которые предполагается инвестировать в акции Татнефти. Учитывая низкий уровень фьючерсных цен по отношению к индексу, синтетическая покупка акций должна дать дополнительную доходность около AR ~ 7.5% — 0.844*2.93% = 5.0%. Принимается решение о синтетической покупке акций с использованием фьючерсов. На срок до 15.03.02 сумма V0 размещается под R = 7.5%, ожидаемый результат равен VT = $101459. Для хеджирования в соответствии с (12.7) покупаются фьючерсы в количестве

$101459

n = 0.844 = 211

$2*200.98

Окончательный расчет по фьючерсу осуществляется по значению индекса на 15.03.02, равному 235.67, вариационная маржа равна $14639, итоговая сумма $116098, доходность операции 83%. Если бы с самого начала 03.01.02 были куплены акции, то доходность при росте цены акции с $0.525 до $0.604 была бы равна 77.4%. Хотя превышение доходности в синтетической схеме невелико (рост цены акций был значительным), оно приблизительно соответствует планировавшемуся первоначально.

Низкая доходность RF = 2.93% в данном примере объясняется тем, что в рассматриваемый период фьючерс на индекс использовался в основном в спекулятивных целях, цена формировалась не из арбитражных соображений, и просто как прогноз динамики индекса. В некоторые периоды доходность RF была отрицательной. ¦

Если портфель составлен из акций M эмитентов в количествах mt, i = 1,2,...,M , причем для каждой акции известны коэффициенты ai , в и текущая цена Si, то для стоимости всего портфеля

M M

п = ^пi = YmiSt получаем:

i=1 i=1

Выражения в скобках дают коэффициенты а, в всего портфеля.

Выше предполагалось, что по акциям не выплачиваются дивиденды. Как и в случае с фьючерсом на отдельную акцию (раздел 4.1), предположим, что известны моменты выплаты и размеры дивидендов. Если в некоторый день tk дивиденды выплачиваются, например, по акциям с номерами 1, 5, 7, то необходимо рассчитать нормированный безразмерный дивиденд этого дня по формуле