Ф.Блэк и М.Шоулз

с, =8^(с1,)-Хе-гТМ(с1г) ,

где се - премия европейского опциона колл; - курс спот акции; X - цена исполнения опциона;

Данную особенность мы уже наблюдали в простой биномиальной модели

Отношение к риску задается ожидаемой доходностью акции чем менее склонен к риску инвестор, тем большую ожидаемую доходность он требует на акцию .2 Л

'a/x\ + rT

—f= + —crVr, (10.30)

In

г +

+

In

X

4 =

Jf

a

сгл/Т 2

.2 Л

lnl SVX I +

r -

(10.31)

d2 =

Jf

<7

= d,- а - мгновенное стандартное отклонение доходности акции; г - непрерывно начисляемая ставка без риска; Г - время до истечения контракта;

N{dI) - функция нормального распределения; величину А^(^)

можно рассматривать как риск-нейтральную вероятность того, что опцион принесет выигрыш, а А^) - как вероятность того, что он

будет исполнен.

Модель Блэка-Шоулза предполагает следующие ограничения: рынок функционирует непрерывно, возможна короткая продажа акций, транзакционные издержки и налоги равны нулю, процентная ставка постоянна, доходность акций имеет логнормальное распределение, стандартное отклонение доходности акции является константой, цена акции следуют процессу Ито.17

Пример.

5 = 50 руб., X = 45руб., г = 10%, Т - бмесяцев, а- 0,525. Определить премию европейского опциона колл.

In 5% + 0,1-0,5 = ^— + 0,5 «0,525^/0,5 = 0,6041,

0,525 -VO, 5

Решение.

d

м

П

'* i d2 = 0,6041 - 0,525 • Vo^5 = 0,2329.

Из таблицы значений функции Лапласа или с помощью программы Excel находим:18

17 Определение лотормального распределения и процесса Ито см. в книге A H. Буренина "Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов", М., 2002, пара- графы 9 3 и 10 1.4

10 Использование программы Excel для расчета вероятности наступления события приводится в приложении 5.

= 0,7271 ; Аг(с/2)= 0,5921.

Тогда:

= 50 • 0,7271 - 45^~0'10'5 -0,5921 = 11,01 руб.

Цену опциона пут на акции, по которым не выплачиваются дивиденды, получим на основе формулы паритета опционов:

или

Таким образом, цена опциона пут равна: