2.3. Дифференциальное уравнение для производного актива на товар

да до /

+ (г-1-2

(П.10.14)

2 дБ 2

ді дБх

2.4. Дифференциальное уравнение для производного актива на фьючерсный контракт

Дифференциальное уравнение для производного актива на фьючерсный контракт можно получить на основе уравнения (10.28) с помощью простой замены переменных.

а является функцией ? И Л В свою очередь ? - это функция 5 и

поскольку определяется по формуле ? = Бег^1ч\ Учитывая дан-

дО да д2а

дБ дО_ дБ

да да д? ді д? ді

да

ныи факт, запишем производные

' дБ2 '

да др

ді

(

\

д1а(д?У да д1? +

дО д?

д? дБ1

д? дБ

д?

~ д? дБ 2 Л2

ді

дга

дБ2 дБ

і— = -гБе у ] = -г? , —

Ґ д?у

д2? дБ2

-0.

=

дБ

дБ

Подставим полученные значения производных в формулу (10.28):

,) да г

(П.10.15)

1 дга

гО - — г? + г?е

д( д? д? 2 д?2 После сокращения одинаковых членов получаем:

ас \д2а

+ -а г =га.

а/ 2 д?2

Уравнение (П.10.15) является дифференциальным уравнением для производного актива на фьючерсный контракт.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Вывод формулы Блэка-Шоулза

Ф.Блэк и М.Шоулз получили формулу для европейского опциона колл на акции, по которым не выплачиваются дивиденды, на основе решения дифференциального уравнения (10.28). Мы докажем ее в данном приложении с помощью вероятностного подхода.

Согласно общему принципу определения цены финансового актива, премия опциона равна дисконтированной стоимости ожидаемого дохода, который он может принести к моменту окончания контракта, а именно:

с\ =e-rTE[max(S-A\Oj] , (П.10.16)

где се - цена европейского опциона колл;

S - цена акции к моменту истечения контракта; г - непрерывно начисляемая ставка без риска, Т ~ время действия контракта;

?[max(s-Jf,o)] - ожидаемое значение стоимости опциона к

моменту истечения контракта.

Рассчитаем ожидаемое значение премии опциона к моменту истечения контракта. Оно равно:

оо

ЛГ,0)]= f(j-Ar)/(5>? , (П.10.17)

X

где f{s)~ ПЛОТНОСТЬ распределения переменной S .

Цена акции (5) имеет логнормальное распределение, в то же время

величина 1л S распределена нормально.22 Поэтому в интеграле (П.10.17) целесообразно перейти от переменной S и плотности лог- нормального распределения f(s) к переменной in S и плотности

нормального распределения /(ins). Обозначим:

]nS = U (П. 10.18)

22 О логнормальном распределении см в книге А Н Буренина "Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов", М , 2002, параграф 10.2.1. и соответственно плотность нормального распределения как f(u). Из формулы (П. 10.18) получаем:

S = eu. (П. 10.19)

Из однозначности функциональной зависимости между S и U вытекает: вероятность того, что цена акции S будет меньше некоторого значения 5, т.е. P(sр(и < Inj). Поэтому:

In I

4?{s) = p{s --СЮ

где Ч^) - функция распределения переменной S .

Найдем плотность распределения f(s). Для этого продиффе-ренцируем У (s) по S :

= = (П.10.21)

В интеграле (П.10.17) сделаем замену переменной S на U и вместо плотности вероятности f(s) подставим ее эквивалент f(u)—\

S

fe - X )/(S)dS = f -X)j(U de" = JV - x)f{U )dU =

• Л e Л (П.10.22)

¦Xi г*.

= jeu/(u)du-x jf{u)du.

In X In Л'

Мы разбили интеграл на два интеграла. Вычислим их последова-

I ^ ")2

тельно, учитывая, что f{u) = —j=e 2h2 , где а - математиче-

ское ожидание, а Ь2- дисперсия переменной и .

* -г, . ({.' <1^ 1Ь21> и1

1>/(и)Л/= <*и = —1= [е ** л/. (П.10.23)

Дополним показатель степени при е в интеграле (П. 10.23) до полного квадрата: 2Ь2Ц Ц2+2иа-а2 2 -Г и4*+ь2) 2 і 2 4° +а^+2аЬ+Ь -а" \ / 2 Ь'

У2 2и{а\Ь2 -[^а+Ь2^ + а

2 Ь'

= е

2 Ь'

= е

= е

Тогда:

00

\е/{и^и =

,2 да

ал

= в 2

\пХ

(П.10.24)

В формуле (П.10.24) под знаком интеграла стоит плотность нормально распределенной величины со средним значением а + Ь2 и дисперсией Ъ1. Поэтому он равен:

[и 1и+*2]]2

а и =1 - ы

= ы

і'

ь4г

Ъ 1-І X

где N(x) - функция нормального распределения, которая говорит о

1пЛГ-(а + 62)

1 пХ + (а + Ь2} Ъ

вероятности того, что случайная величина X будет меньше чем х.

(П.10.25)

-1п Х + (а + Ь2)~

[{и)сіи = е +2 N

1л X

Величина и = \п Б распределена нормально со средним:

\

<7

а = 1л +

г -

Т и стандартным отклонением Ь = сг4т ,

где - цена акции в момент заключения контракта.23 Подставим эти значения в формулу (П.10.25):

23 Вывод данных параметров см. в книге А.Н.Буренина "Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов", М., 2002, стр 183. е 2 N Ь Т + ст2Т

-1пЛГ + 1п50 +

г

V 2 ,

кі5„+[ к——

Т+—Т 2

N

= е

4Ї

<7

+

Г +

Б,/' N

(П.10.26)

<Т

V 2 ,

4Ї

Обозначим

(Б,

1п

т

Г 2 Л сг

+

X

г +—

V

¦V?

тогда:

00

(П 10.27)

Іп У

Решим второй интеграл в выражении (П. 10.22). Он представляет собой интеграл плотности нормально распределенной величины и :

\

Іп X - а

-1п Х + а

І-ЛГ

= хы

Ь

V

г

V

\

№

і *

т

X \[{и)сіи = Х

\пХ

ІпЛГ-Нп^ +

ІП

+

' а2 ^ г

= Ш{сі1) ,

і ш

V

<у4Т где

lui SVX 1 +

Л =

ал[т

Таким образом, ожидаемая величина премии опциона равна:

?[тах(5 - Xfi)] = S0erTN(d, )- XIV(d2 ) (П. 10.28)

Подставим значение ?[max(S- Xfi)] из формулы (П. 10.28) в выражение (П.10.16). Тогда цена опциона колл равна:

се = <Г'Г [s,e'rN{d, )- XN{d2 )] = S0N(d> ) " Xe et N{d2 )

или

c^S,N(d)-XeeTN{d2\

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Определение премии европейского опциона колл на акции, по которым не выплачиваются дивиденды, с помощью программы Excel

Программа Excel позволяет легко рассчитать премию европей-ского опциона колл с помощью формулы Блэка-Шоулза. Рассмотрим технику расчета на примере из параграфа 10.2.2.

Пример.

S = 50руб., Х = 45руб., г = 10%, Т = бмесяцев, сг = 0,525.

Заносим в ячейки А2, В2, С2, D2 и Е2 рабочего листа исходные данные примера как показано на рис.П.10.1. В ячейке А5 размещаем формулу для значения dx :

С учетом адресов ячеек печатаем в ней следующий алгоритм:

=((LN(B2/A2)+C2*D2)/(E2*D2A0,5))+0,5*E2*D2A0,5 В ячейке В5 размещаем формулу N(dx):

г

V 2У

=НОРМСТРАСП(А5)? В ячейке С5 размещаем формулу для значения :

- с1, - сг4т.

С учетом адресов ячеек печатаем в ней следующий алгоритм:

=А5-Е2*02Л0,5 В ячейке Р5 размещаем формулу ^(с/2):

=НОРМСТРАСП(С5) В ячейке Е5 печатаем формулу (10.29) Блэка-Шоулза:

=В2*В5-А2*ЕХР(-С2*02)*05 Решение задачи получаем как представлено на рис. П.10.1.

J_ 3.. А P.. I Р I Е .1

} цена время до | стандартное

и- поп нения

45

цена | слот ставка истечения! отклонение

¦ акции без риска« контракте| доходности акции 1

50 ;1"0А11_ 0,6 0,525

с!| __ | Ы(с1|> ! ф 1 [премия опционе]

0,604116384! 0727117; 0^Э2885Г0.5920747Г " 11,01199636

Рис. П. 10.1. Определение премии европейского опциона коп п.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5.

Определение значений вероятности нормально распределенной стандартной случайной величины с помощью программы Excel

Рассмотрим использование программы Excel для определения вероятности нормально распределенной стандартной величины на основе данных примера из параграфа 10.2.2.

Пример.

Определить вероятность события, что стандартная нормально распределенная случайная величина примет значение меньше чем 0,6041.

Решение.

Получим решение в ячейке А1, поэтому выделяем ее. Для этого наводим на нее курсор и щелкаем левой клавишей мыши. На панели инструментов наводим курсор на значок ^ и щелкаем левой клавишей мыши. Появилось окно "Мастер функций". В окне два поля. Левое называется "Категория". В поле "Категория" наводим курсор на строку "Статистические" и щелкаем левой клавишей мыши. Строка высветилась синим цветом, а в правом поле окна под названием "Функция" появился перечень статистических функций. Наводим курсор на строку "НОРМСТРАСП" и щелкаем левой клавишей мыши. Строка высветилась синим цветом. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем левой клавишей мыши. Появилось окно "НОРМСТРАСП". В окне одна строка, которая называется "г". Печатаем в ней цифру 0,6041 и щелкаем мышью кнопку ОК В ячейке А1 появился ответ - цифра 0,727111.