5.2. БИНОМИАЛЬНЫЙ МЕТОД
Модель движения цены
Отправной точкой для биномиального метода является слегка модифицированное уравнение (3.3). Выше уравнение (3.3) использовалось как приближенное описание непрерывного случайного процесса. В биномиальном методе от непрерывного процесса преднамеренно делается шаг назад к уравнению (3.3), в котором под <^k понимаются величины, принимающие только два значения: 1 и -1 (отсюда название метода). Возможные траектории такого процесса схематически изображены на рис. 5.2. При уменьшении шага по времени сетка все более измельчается (раствор сетки - угол наклона крайних лучей - при этом
также возрастает из-за множителя VT в последнем слагаемом (3.3)) и в пределе содержит практически любую непрерывную траекторию, так что биномиальная модель не сужает класс рассматриваемых процессов. В то же время она позволяет выявить «микроструктуру» процесса и выработать определенную стратегию покупателя или продавца опциона.
Рисунок 5.2 именно схематический, так как траектории St должны изображаться экспонентами.
Прямолинейные траектории получаются, когда вместо St сетка строится для ln St , что позволяет получать более эффективные с вычислительной точки зрения алгоритмы.
Рис. 5.2. Траектории движения цены базисного актива
Идея метода
Проиллюстрируем этот метод на примере европейского опциона колл на фьючерс с уплатой премии, предполагая пока, что непрерывно начисляемый процент r равен нулю.
Пример 5.1. Пусть
необходимо оценить стоимость опциона колл на страйке 5000 за пять дней до экспирации опциона при текущей фьючерсной котировке 5200. Предположим, что на следующий день возможны только
два сценария: котировка может измениться
на 100 вниз или на 100 вверх. Возможные траектории показаны на рис. 5.3. Идея биномиального метода состоит в том, чтобы двигаться от дня экспирации опциона в обратном направлении к текущему дню. Предположим, что день экспирации наступил и фьючерсная котировка приняла одно из значений 4700, 4900, 5100, 5300, 5500, 5700. В этом случае сумма, которую получает держатель по одной открытой позиции, точно известна и изображается ломаной. Можно сказать, что в день экспирации цена обязательно совпадает со стоимостью и обе они равны указанной сумме, задаваемой выражением (2.1).
Рассмотрим ситуацию за день до экспирации, когда возможными значениями котировки являются 4800, 5000, 5200, 5400, 5600. Если котировка равна 4800, то при любом из двух сценариев следующего дня сумма, полученная по опциону, будет равна 0, поэтому и в узле 4800 необходимо поставить нулевую стоимость опциона. Более интересен узел 5000. Предположим, что в этой ситуации, то есть за день до экспирации и при сложившейся к этому моменту фьючерсной котировке 5000, куплено M опционов. Если котировка фьючерса уменьшится до 4900, то держатель опционов получит 0, а если котировка возрастет до 5100, то полученная сумма окажется равна 100 по каждой открытой позиции.
Имеется способ устранить эту неоднозначность, продав одновременно с покупкой опционов фьючерсные контракты в количестве A=0.5M. Тогда, как нетрудно проверить, независимо от сценария следующего дня сумма, полученная держателем опционов, будет равна 50M. Действительно, при падении котировки до 4900 по коротким фьючерсным позициям будет получено 100A, а при росте котировки по опционам будет получено 100M, но одновременно потеряно 100A по фьючерсам. При указанном выше выборе коэффициента A оба исхода приводят к одинаковому результату 50М. Это означает, что стоимость одного опциона составляет 50. Комбинация, состоящая из купленных M опционов и проданных A фьючерсов, или противоположная ей - проданные M опционов и купленные A фьючерсов - являются частными случаями так называемого безрискового или дельта-нейтрального портфеля.
Рис. 5.3. Расчет стоимости опциона 5000 колл биномиальным методом
Если цена опциона меньше 50, например, 45, то существует прибыльная арбитражная стратегия: необходимо купить M опционных контрактов за 45M на заимствованные средства, продать Д фьючерсных контрактов и получить на следующий день гарантированную прибыль в размере (50-45)M=5M. Если цена опциона больше 50, например, 60, то необходимо продать M контрактов за 60M и купить Д фьючерсных контрактов. Тогда на следующий день при любом сценарии необходимо будет выплатить 50M, получив на этой операции (60-50)M=10M.
Аналогичные рассуждения могут быть проведены для остальных узлов этого уровня, затем узлов более низкого уровня и т. д. В каждом узле помимо стоимости опциона указано также значение Д в расчете на один контракт. В результате стоимость опциона в начальной точке оказывается равна 225. Если цена опциона отличается от 225, то применимы те же арбитражные рассуждения, что и выше, но в «многоходовом» варианте. Если, например, цена опциона меньше 225, то возможно получение арбитражной прибыли путем покупки M опционов и продажи Д фьючерсов, где Д=0.81М для этого узла.
В дальнейшем по мере течения времени и в зависимости от того, по какой именно траектории движется фьючерсная котировка, необходимо корректировать объем открытой фьючерсной позиции. При этом, как нетрудно убедиться, теоретическая стоимость портфеля - сумма стоимости опционов и реализованных прибылей/ убытков по открытым фьючерсным позициям - остается на одном уровне 225M. Если, например, фьючерсная котировка движется влево и стоимость опциона падает, то ровно настолько же в портфеле появляется денежных средств за счет вариационной маржи по фьючерсам. Если фьючерсная котировка растет, то растет стоимость опциона, однако именно такую же сумму приходится выплачивать в качестве вариационной маржи. Цена опциона может быть меньше стоимости вплоть до дня, предшествующего экспирации, однако в день экспирации она обязана сравняться со стоимостью, что гарантирует прибыль, размер которой мог быть определен еще в начале операции. Если цена раньше сравнивается с теоретической стоимостью опциона или превышает ее, то в этот день можно закрыть опционные и фьючерсные позиции и получить ту же или большую прибыль.Описанная стратегия - открытие опционных и противоположных им фьючерсных позиций и последующая коррекция соотношения их объемов в соответствии с текущим коэффициентом Д (поддержание безрискового портфеля) называется динамическим хеджем, а параметр Д - коэффициентом хеджа или просто дельтой. Термин хедж (hedge - ограждение от возможных потерь, страховка) используется здесь потому, что независимо от траектории движения фьючерсной котировки стоимость портфеля остается неизменной.
Учет процентных ставок
Выше предполагалось, что непрерывно начисляемый процент r равен нулю. Вернемся к расчету стоимости опциона за день до экспирации в узле 5000, считая для примера, что r=360% (такое утрированно большое значение выбрано из соображений «выпуклости» расчетов). В этом случае стоимость опциона в данном узле должна быть равна 50e "=49.5, где т=1/365 - однодневный интервал. Если стоимость опциона отличается от указанной, то также применимы арбитражные соображения с учетом того, что деньги на покупку опциона заимствуются, а деньги от продажи размещаются под процент r.
После того как определены стоимости в узлах за день до экспирации, рассчитываются стоимости за два дня до экспирации. Например, в узле 5100 стоимость опциона равна
50 e ~ rT + 200 e 2
-e—rT = 125 e—2rT = 122 .5 то есть равняется стоимости опциона без учета процентных ставок, дисконтированной исходя из оставшегося времени существования опциона. Изменяется и коэффициент A:
A = 50 e' " + 200 e '" = 0.74 200
В исходном узле за 5 дней до экспирации стоимость опциона оказывается равна
225e 5rT = 225e rT = 214, пропорционально уменьшается и коэффициент A = 0.81e rT = 0.77 .
При реализации арбитражной стратегии в случае отклонения цены опциона от рассчитанной стоимости для получения «запланированного» результата необходимо, чтобы процентная ставка была постоянной за время существования опциона (либо известной функцией времени - тогда в описанной пошаговой процедуре обсчет каждого слоя ведется по той ставке, которая сложится в соответствующий будущий момент). Возможность ошибки в прогнозе процентных ставок на будущее вносит свой вклад в неопределенность результатов операций с опционами.
Более детальный анализ требует учета различия ставок привлечения и размещения. Пусть трейдер имеет возможность привлекать средства под процент rn = 360% и размещать под процент rp = 180%.
Этим ставкам соответствуют начальные стоимости 225e= 214 и 225e p = 220. Предположим, что опцион продается по цене 220. Тогда наилучшим исходом для продавца будет нулевой результат, то есть отсутствие как прибылей, так и убытков. Действительно, если траектория движения фьючерсной цены такова, что даже при возникновении отрицательной вариационной маржи остаток на счете всегда положителен, то на остатки на счете ежедневно будет начисляться процент, исходя из ставки размещения. Поскольку и начальная цена соответствует этой ставке, то стоимость портфеля будет поддерживаться на нулевом уровне. Если, однако, в какие-то моменты будут возникать отрицательные остатки на счетах, то заимствование будет осуществляться под больший процент, и результатом операции будут убытки. Тем самым продажа опциона по цене 220 в лучшем случае позволит остаться «при своих». Аналогичная ситуация возникает при покупке опциона по цене 214. Таким образом, при условии rp < rn в ценах опциона возникает зазор, в котором невозможно получение арбитражной прибыли. В реальной ситуации, кроме того, необходимо учитывать другие факторы, не включенные в этот упрощенный анализ: налоги, комиссионные, начальную маржу и т. п.^
Алгоритм расчетов
Для практического применения биномиального метода необходимо более точно, чем это изображено на рис. 5.2, 5.3, формировать сетку движения цены. В соответствии с биномиальным вариантом уравнения (3.3) из начальной точки F0 = F скачок цены через интервал времени т может быть осуществлен в два положения:
F1ft = f0eMT + a4T, FU = F0eцт-а4т . (5.7)
В дальнейшем каждый новый узел становится начальным и процедура расчета узлов повторяется. При движении в обратном по времени направлении теоретическая стоимость опциона в каждом узле и коэффициент дельта для европейского опциона на фьючерс с уплатой премии определяются по формулам
Сфес = e - rT[ pCfHft + (1 - p )Ct,U ],
фес ft фес U
_ Ck+1 — Ck+1 k
F ft — F U k+1 k+1С фес ft фес U 7-7 ft 77 U
k+1 , Сk+1 - стоимость опциона в узлах F k + 1, F k + 1 соответственно,
F — F U 1 — e мт
p = 1 k 1 k +1 _ 1 e
F ft f U 0 MT + a VT ит — a -JTF k +1 F k +1 e — eЭти соотношения являются следствием простых геометрических пропорций (рис. 5.4). Количество необходимых фьючерсных позиций - подбирается из
тех соображений, чтобы вариационная маржа
скомпенсировала различие стоимостей опциона в двух следующих узлах. В результате происходит уравнивание
столбиков справа и слева, и «равновесное» значение с учетом дисконтирования дает стоимость
г^фес
F
к+1
опциона Ск .
к+1 „ гТ Д к / к+1
к+1
Fk Рис. 5.4. Построение Д-нейтрального портфеля
Случай опциона на акцию отличается тем, что фьючерсная позиция заменяется на покупку или
продажу без покрытия определенного количества акций. При этом различие методов расчета по фьючерсам и акциям вносит определенные коррективы в способ расчета стоимости опциона и коэффициента Д в каждом узле. Аналогичное замечание относится к опционам на валюту. Результаты имеют следующий вид:
у-^аес д аес
• для бездивидендной акции Ck , Дк определяются аналогично вышеприведенным выражениям с заменой фьючерсной котировки F на цену акции о и параметра р на Для того чтобы биномиальным методом получить стоимость опциона пут, необходимо лишь изменить граничное значение на дату экспирации: вместо стоимости опциона колл CT использовать стоимость опциона пут PT.
Во всех трех рассмотренных случаях оказывается, что результирующие выражения для теоретической стоимости опционов колл и пут в начальном узле допускают аналитическую, хотя и довольно громоздкую, запись. При этом выявляется принципиально важное обстоятельство: если измельчать сетку, то есть уменьшать т, то в предельных выражениях коэффициент сноса j отсутствует. Тем самым теоретическая стоимость опциона не зависит от j, о чем было упомянуто выше. Механизм «выпадения» j из окончательных формул далеко не столь очевиден, как, например, причины отсутствия j в выражении для стоимости форвардного контракта (4.1). Не прибегая к формальным доказательствам, можно лишь отметить, что это является следствием Д-нейтральности (безрисковости) портфеля, в силу которой направление изменения цены базисного актива оказывается безразличным.
Поскольку биномиальная модель движения цены тем точнее описывает непрерывное изменение цены, чем меньше т, то в действительности интерес представляет именно предельное выражение. При этом коэффициент j с самого начала не учитывают при расчетах, а здесь его присутствие обусловлено лишь логикой получения результата - таким образом,
в выражениях данного раздела необходимо положить j=0.
Практически биномиальный метод, конечно, не имеет смысла применять в рассмотренных трех случаях, так как имеются компактные аналитические результаты. Смысл появляется, например, при расчете цен американских опционов. Соответствующие поправки к алгоритму расчетов будут даны ниже.
Интересно, что идея биномиального метода может быть применена в ситуациях, далеких от торговли опционами.
> Две команды играют серию матчей до 4 побед одной из команд. Ничьи отсутствуют, так что может быть сыграно не более 7 матчей. Два болельщика перед каждой игрой заключают пари, которое выигрывает тот, чья команда победила в данной игре. Ставка в каждом из пари подбирается таким образом, чтобы независимо от того, сколько матчей будет сыграно, болельщик победившей во всей серии команды суммарно выиграл 100 рублей. Чему равна ставка в первой игре?
ГЛАВА 6. ФОРМУЛА БЛЭКА-ШОУЛСА И ЕЕ МОДИФИКАЦИИ