7.2.3. Нижняя граница премии европейского и американского опционов пут

Рассмотрим два портфеля.

Хе"гТ и О . (О - это приведенная стоимость дивиденда, который выплачивается по акции. Она получена дисконтированием дивиденда под непрерывно начисляемую ставку без риска г на время Г).

Суммы Хе'гГ и О инвестируются на время Т под ставку г.

К моменту истечения срока действия контракта стоимость второго портфеля при любой цене акции равна:

Х+ОегГ = ЛГ + Л'у.

Стоимость первого портфеля в этот момент при >Х составляет:

+ сИУ ,

поскольку опцион не исполняется. Следовательно, стоимость первого портфеля больше или равна стоимости второго.

Если < X , опцион исполняется, т.е. инвестор продает акцию

по цене исполнения X и стоимость портфеля составляет:

X -\-div.

В этом случае стоимости портфелей равны. Таким образом, в конце периода Т стоимость первого портфеля равна или больше стоимости второго портфеля. Данное соотношение должно выдерживаться и в начале периода Т, чтобы арбитраж был невозможен. Поэтому можно записать:

ре + Б > Хе~гТ + О

или

/> >ХегТ + 0-Б. (7.23)

Таким образом, премия европейского опциона пут должна быть не меньше разности между суммой дисконтированных стоимостей цены исполнения и дивиденда, который планируется выплатить по акции, и ценой спот акции. Если условие (7.23) не выдерживается, можно получить арбитражную прибыль.

Чтобы определить действия арбитражера, запишем условие, допускающее арбитраж:

Ре < ХегТ

или

р, + Б<Хе ' +?>. (7.24)

Левую часть неравенства (7.24) примем за первый портфель, правую - за второй. Первый портфель стоит дешевле второго, поэтому первый портфель покупаем, второй продаем. Покупка первого портфеля означает покупку опциона и акции.

продажи второго портфеля. В момент Т на акцию выплачивается дивиденд.

Если по истечении контракта, <Х, арбитражер исполняет

опцион, т.е. продает акцию по цене исполнения, возвращает кредит. Прибыль равна:

Прибыль возникает за счет того, что по кредиту арбитражер должен вернуть сумму (/?( + Б)егТ. От исполнения опциона и за счет дивиденда он получит сумму (х + сИу). Величина {х + с1м) больше {ре + Это следует из (7.24), если умножить обе части неравенства на ет:

(а + <{Хе7 + о)егТ

или

(ре + $УГ < X + <ЙУ.

Если на момент истечения опциона 5Г > X, арбитражер не исполняет контракт, а продает акцию по спотовой сделке и получает еще большую прибыль.

Дивиденд может выплачиваться на акцию в ходе действия контракта во время (. В этом случае действия арбитражера аналогичны представленным выше, но с поправкой на дивиденд. Для покупки акции и опциона он занимает сумму (^ + 5). Поскольку на акцию

будет выплачен дивиденд, то занимаемые средства разбиваются на две части. Сумма равная О занимается на время /. Эта часть кредита погашается с помощью будущего дивиденда. Оставшаяся сумма (5 + ре - О) занимается на весь период действия контракта.

Американский опцион предоставляет инвестору больший диапазон возможностей по сравнению с европейским, поэтому формула (7.23) верна и для него.

Американский опцион пут можно исполнить в любой момент времени в течение действия контракта. Поэтому для него также должно выдерживаться условие: pa>X~S,

Отсюда общее условие для нижней границы премии опциона можно записать так:

ры > max (Х-S; Xe~rT + D - S).