7.2.2. Нижняя граница премии европейского и американского опционов колл

Рассмотрим два портфеля. Первый включает европейский опцион колл, сумму денег Хе~гТ 3 и сумму денег О , равную дисконтированной под ставку г стоимости будущего дивиденда к моменту заключения контракта, т.е.:

В = сИу-егТ. (7.15)

Суммы Хе~гТ и О инвестируются на время Т под ставку г. Вто-рой портфель состоит из одной акции (5).

Если к моменту окончания срока действия контракта цена акции больше цены исполнения (5Г > х), то опцион колл исполняется, и

первый портфель стоит:

4- ОегТ

или с учетом (7.15): Если < X, он стоит:

X + сЙУ.

Стоимость второго портфеля в обоих случаях равна:

+ сИУ.

Следовательно, стоимость первого портфеля больше или равна стоимости второго портфеля. Данное соотношение должно выдерживаться и в начале периода Т, чтобы арбитраж был невозможен.

Поэтому можно записать:

се + + В > 5 ,

или

с >Б-Хе гТ -О.

Таким образом, премия европейского опциона колл должна быть не меньше, чем разность между ценой спот акции и суммой приведенных стоимостей цены исполнения и дивиденда, который планируется выплатить по акции.

Рассмотрим второй случай, когда дивиденд выплачивается в момент г в ходе действия контракта, / < Т.

Сравним два портфеля. Первый включает европейский опцион колл, сумму денег Хе гГ и сумму денег О , равную дисконтированной под ставку г стоимости будущего дивиденда к моменту заклю-чения контракта, т.е.:

о = сііу ¦ е (7.16)

Суммы Хе~гТ и О инвестируются на время Т под ставку г. Второй портфель состоит из одной акции (5).

Если к моменту окончания срока действия контракта цена акции больше цены исполнения (5Г > X), то опцион колл исполняется, и

первый портфель стоит:

8т + Оег\

і

Если 5Г < X, он стоит:

Х + ПегТ.

Во втором портфеле на акцию в момент / был выплачен дивиденд . Он инвестируется до окончания контракта под ставку г. Поэтому стоимость второго портфеля в обоих случаях равна:

8т+<ііч<е{т (7.17)

Из (7.16) следует, что:

= (7.18)

Подставим значение дивиденда из (7.18) в (7.17):

Таким образом, стоимость первого портфеля больше или равна стоимости второго портфеля4. Данное соотношение должно выдерживаться и в начале периода Т, чтобы арбитраж был невозможен. Поэтому можно записать:

се + Хе ^ + О > 5 ,

или

се>Б~Хе~гТ ~а (7,19)

Если условие (7.19) нарушается, можно совершить арбитражную операцию.

Представим алгоритм действий арбитражера для случая, когда дивиденд выплачивается в момент Т , Запишем условие, допускающее арбитраж:

с <5-ХегТ-П

е

или

>Хе г! + ?>. (7.20)

Примем в неравенстве (7.20) левую часть за первый портфель, правую - за второй. Поскольку первый портфель стоит дороже второго, его следует продать, второй - купить. Чтобы определить действия арбитражера по продаже первого портфеля умножим левую часть неравенства (7.20) на минус единицу и раскроем скобки:

+ с . (7.21)

Следовательно, арбитражер осуществляет короткую продажу акции и покупает опцион колл. Полученные по операции средства (5-с,)

он размещает на депозите до момента окончания контракта. В этом

4 В рассмотренном доказательстве ставка г предполагается одинаковой для всех периодов, в том числе и для форвардного, т.е. (Г-/). Картина принципиально не изменится, еспи она будет различной. В этом случае можно поступить следующим образом: в первом портфеле инвестировать величину О на время (. Полученная сумма будет эквивалентна размеру дивиденда. Далее инвестировать ее на период (т - под новую

ставку. Под эту же ставку инвестируется и дивиденд во втором портфеле.

Можно воспользоваться другим приемом: инвестировать в первом портфеле величину О на все время действия контракта под ставку г, а для дивиденда во втором портфеле обеспечить соответствующую форвардную ставку для периода (7"-/) на

'>снове текущих спотовых.

Если по истечению срока действия контракта 57 > X, арбитра-

жер исполняет опцион, возвращает акцию и выплачивает дивиденд кредитору. Его прибыль равна:

(5-е У -Х-Яу. (7.22)

Прибыль возникает за счет того, что согласно (7.20) в начальный момент:

5-се>Хе ґТ +Д поэтому на момент окончания контракта:

(5-с,>{Хег7 +?>У' =Лг + <йу. Отсюда следует результат (7,22).

Если на момент окончания контракта 5Г < X, арбитражер опцион не исполняет, а покупает акцию на спотовом рынке и получает еще большую прибыль.

Дивиденд может выплачиваться на акцию в ходе действия контракта во время (. В этом случае действия арбитражера аналогичны представленным выше, но с поправкой на дивиденд. Продав акцию и купив опцион, он должен разместить сумму равную дисконтированной стоимости дивиденда на депозите на время /, За счет полученных по депозиту денег он возвратит дивиденд. Оставшиеся средства инвестируются до истечения срока действия контракта.

Американский опцион предоставляет инвестору больший диапазон возможностей по сравнению с европейским, следовательно формула (7.19) верна и для него.