7.1.6. Нижняя граница премии европейского опциона пут
~ \ + г{Т! база) ^ '
Для непрерывно начисляемого процента выражение (7.8) принимает вид:
Р,>Хе гТ -5. (7.9)
Докажем утверждение (7.9).
Рассмотрим два портфеля. В первый входит длинный европейский опцион пут (ре) и акция (5*), во второй - сумма денег равная
(хе~гТ), которая инвестируется под ставку без риска г на период
Т. Если в конце периода Т курс акции ниже цены исполнения, то опцион пут исполняется: инвестор поставляет акцию и получает сумму денег равную X. Это стоимость первого портфеля в данный момент. Стоимость второго портфеля также равна X. Таким образом, стоимости портфелей равны.
Если курс акции выше или равен цене исполнения, то опцион пут не исполняется, и стоимость первого портфеля равна 5Г (цена
акции в момент окончания контракта). Стоимость второго портфеля равна X. Поэтому в конце периода Т стоимость первого портфеля больше или равна стоимости второго портфеля. Данное соотношение должно выдерживаться и в начале периода, иначе можно совершить арбитражную операцию. Отсюда:
Ре + 5 > ХегТ
или
ре>Хе гТ -S.
Таким образом, премия европейского опциона пут не должна быть меньше разности между приведенной стоимостью цены исполнения и ценой спот акции.
Пример.
Цена спот акции 90 руб., цена исполнения 100 руб., ставка без риска для 180 дней 10% годовых. Определить нижнюю границу премии опциона, который заключается на 180 дней. База составляет 360 дней.
Решение.
100 90 = 5,24руб.
1 + 0,1(180/360)
Предположим, что фактическая цена опциона в примере меньше нижней границы и равна 5 руб. Тогда можно совершить арбитражную операцию. Арбитражер занимает 95 руб. и покупает опцион и акцию. Через 180 дней он должен вернуть по кредиту:
95[1 + 0,1(180/360)] = 99,75 руб.
Если к окончанию контракта цена спот акции ниже цены исполнения, он исполнит опцион и поставит бумагу по 100 руб.
Его прибыль равна:100 -99,75 = 0,25 руб.
Если курс акции превысит цену исполнения, он продаст ее на спотовом рынке по более высокой цене и получит еще большую прибыль.
Представим алгоритм рассуждений арбитражера в общей форме. Условие, не допускающее арбитраж, соответствует выражению (7.9). Следовательно, арбитраж возможен, если сложилась ситуация:
ре<Хе~гТ -Б. (7.10)
Левая часть неравенства (7.10) - это первый портфель, правая часть - второй портфель. Первый портфель дешевле второго, поэтому его необходимо купить. Второй портфель дороже первого, и его следует продать. Продажу второго портфеля запишем как:
-(Хе~rT-s)
или
-Хе rT +S. (7.11)
Выражение (7.11) говорит о том, что продажа второго портфеля означает заимствование денег и покупку акции. В целом в рамках данной стратегии арбитражер занимает средства и покупает акцию и опцион пут.
Чтобы лучше понять результат данного алгоритма, представим выражение (7.10) как равенство:
pt = Xe-'T-S. (7.12)
Равенство (7.12) соответствует безарбитражной ситуации, Преобразуем его следующим образом:
pe + S = Xe". (7.13)
Равенство (7.13) говорит о том, что, если цена опциона пут и акции равна дисконтированной стоимости цены исполнения опциона, то инвестор может занять данную сумму под процент г на период Т и купить опцион и акцию. От исполнения опциона, т. е. поставки акции по цене X , он получит сумму, которая покроет его заем с процентами. В такой ситуации арбитраж невозможен. Однако, если:
Pt + SkXe'7, (7.14)
то заимствованная сумма окажется меньше дисконтированной стоимости цены исполнения. В таком случае арбитражер заработает прибыль на разнице между суммой X, полученной от исполнения опциона, и меньшей суммой, которую он вернет по кредиту.
В главе 6 мы отметили, что европейский опцион пут на акции с большим выигрышем может иметь отрицательную временную стоимость. Покажем это аналитически, используя условие для нижней границы премии опциона.
Допустим, премия опциона пут равна ее нижней границе, т. е.:
Pe = Xe~rT -S.
Тогда внутренняя стоимость составляет:
X-S,
а временная стоимость по определению равна:
Л-(^-5)1
Отсюда:
ХегТ -5-(X-Хе~" -X <0 ,
так как X > Хе'гТ. График премии европейского опциона пут представлен на рис. 7.5. линией выпуклой к началу координат.