5.7.2. Определение фьючерсной цены контракта и арбитраж

Пример.

В настоящий момент трехмесячная ставка LIBOR равна 1,8%, шестимесячная ставка -1,99%. Определить теоретическую фьючерсную цену фьючерса на евродоллар, который истекает через три месяца.

Решение.

Теоретическая форвардная ставка равна:

= 0,0217.

f\ + 0,0199(180/360) _ ^ 360 1 + 0,018(90/360)

90

Теоретическая фьючерсная цена составляет:

100 - 2,17 = 97,83.

На практике инвестору доступны фактические цены фьючерсного контракта. Сравнивая их с теоретической, можно сделать вывод о недооценке или переоценке контракта рынком. Допустим, фактиче-ская фьючерсная цена равна 97,80. Это говорит о том, что фьючерс-

Определение и технику расчета форвардной ставки см. в книгах А.Н.Буренина "Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов", М., 2002, глава 6 и "Управление портфелем ценных бумаг", М., 2005, параграф 5.1.1.6.

ный контракт недооценен, так как его цена предполагает более высокую ставку доходности:

100-97,80 = 2,2%,

чем теоретическая фьючерсная цена.

Если фактическая фьючерсная цена выше теоретической, то фьючерс переоценен, так как его ставка доходности ниже теоретической форвардной ставки, определяющей теоретическую фьючерсную цену

Знание теоретической фьючерсной цены позволяет принять решение о покупке или продаже контракта, а также относительно возможностей совершения арбитражной операции. Однако в последнем случае необходимо учесть следующий момент. На практике ставки спот даются как котировки покупателя и продавца, т.е. L1BID и LIBOR. В результате, на их основе следует рассчитать две форвардные ставки, которые позволят определить возможные границы фьючерсной цены контракта в целях совершения арбитражной операции.

Пример 1.

Конъюнктура процентных ставок представлена следующей таблицей; LIBID (%) LIBOR (%) 3 месяца 1,8 1,85 6 месяцев 1,99 2,04 9 месяцев 2,15 2,19

Рассчитать пограничные форвардные ставки и котировки фьючерсного контракта.

Решение.

Трехмесячный фьючерс служит для того, чтобы обеспечить инвестору в будущем по депозиту процентную ставку, соответствую-щую цене контракта. В то же время данную ставку можно получить за счет использования спотовых ставок LIBOR и LIBID. Для этого сегодня необходимо занять деньги на три месяца под трехмесячную ставку LIBOR и разместить их на шестимесячном депозите под ставку LTBID. Форвардная ставка, которую в этом случае обеспечит себе инвестор по депозиту, равна13:

13 Более подробно о технике совершения подобной операции см в книге А.Н.Буренина "Управление портфелем ценных бумаг", М , 2005, параграф 5116? + 0,0199(180/360) _ ^ 360

90

Гпава 5. Фьючерсные контракты на процентные ставки = 0,021202 или 2,12%.

1 + 0,0185(90/360)

Если инвестор в будущем планирует занять деньги, то он может обеспечить себе в будущем ставку равную форвардной за счет использования спотовых ставок следующим образом. Он займет сейчас средства на шесть месяцев под ставку LIBOR и разместит их на три месяца под ставку L1BID, гарантируя себе в будущем заимствование средств под ставку14:

-I

90

{1 + 0,0204(180/360) ^

360 -0,022698 или 2,27%,

1+0,018(90/360)

Таким образом, в условиях представленной конъюнктуры ставок LIBOR и L1B1D, котировка фьючерсного контракта должна находится в границах 97,88-97,73, в противном случае можно совершить арбитражную операцию. В данном примере фьючерсной цене 97,73 соответствует ставка 2,27%. Поэтому, если фактическая фьючерсная цена окажется ниже значения 97,73, то ей будет соответст-вовать более высокая ставка, которую в будущем сможет обеспечить себе арбитражер по депозиту. Фьючерсной цене 97,88 соответствует ставка 2,12%.

Пример 2. (Сохраняются условия примера 1)

Пусть котировка трехмесячного фьючерса составляет 97,70. Она ниже нижней теоретической фьючерсной цены, т.е. фьючерс недооценен. Трехмесячная форвардная ставка, соответствующая котировке контракта, равна:

100-97,70-2,3%.

Она выше форвардной ставки, определяемой ставками спот, поэтому можно совершить арбитражную операцию. Суть ее состоит в следующем. Согласно рассчитанной форвардной ставке, инвестор может обеспечить себе заимствование средств через три месяца на три месяца под 2,27%. В то же время текущая котировка фьючерсного контракта позволяет обеспечить размещение средств через три месяца на три месяца под более высокую ставку 2,3%. В связи с этим

14 См. сноску 13.

арбитражер может занять деньги под 2,27% и разместить их под 2,3%. Разница в ставках даст арбитражную прибыль. Действия ар- битражера сводятся к следующему. Он занимает 1 млн. долл. на шесть месяцев под ставку LIBOR 2,04%, размещает их на трехмесячный депозит под ставку LIBID 1,8% и покупает15 трехмесячный фьючерс по цене 97,70.

Через три месяца по депозиту получает сумму:

1000000(1 + 0,018^) - 1004500руб.

Рассмотрим два сценария развития ситуации на рынке через три месяца, т.е. случаи, когда процентные ставки выросли и когда упали, а) Пусть через три месяца трехмесячная ставка LIBOR в день истечения контракта составила 2,34%. Следовательно котировка фьючерса равна:

100-2,34 = 97,66.

Котировка по сравнению с моментом покупки упала на:

97,70-97,66 = 0,04.

или

- 4 шага.

0,04

0,01 «

Проигрыш по контракту составляет:

25долл.А = 100 долл.

Проигрыш покрывается за счет суммы, полученной по трехмесячному депозиту. Оставшаяся сумма:

1004500 -100 = 1004400&?лл.

размещается на трехмесячный депозит под ставку 2,34%. Еще через три месяца арбитражер получает по депозиту сумму:

1 + 0,0234—1 = 1010276долл.

360

1004400

J

По шестимесячному кредиту он возвращает сумму:

1+0,0204^

= 1О1О2ООд0лл.

1000000

360

15 Арбитражер покупает фьючерс, так как через три месяца он будет размещать ден»< ги на депозите и позтому страхуется от падения процентных ставок

Арбитражная прибыль равна:

1010276 -1010200 = Івдолл.

б) Пусть трехмесячная ставка LIBOR в день истечения контракта через три месяца составила 2,26%. Следовательно котировка фьючерса равна:

100-2,26 = 97,74.

По сравнению с моментом покупки котировка выросла на:

97,74 - 97,70 = 0,04.

или

0,04

— 4 шага.

0,01

Выигрыш по контракту составляет:

25долл. А 100долл.

Данная сумма вместе с суммой, полученной по трехмесячному депозиту, размещается на трехмесячный депозит под ставку 2,26%. Еще через три месяца арбитражер получает по депозиту:

= 1010276<3а//л.

360 j

По шестимесячному кредиту он возвращает:

180

1000000

1 + 0,0204

90 Л

([004500+100^1 + 0,0226

= 1010200Эолл.

360^

Арбитражная прибыль равна:

1010276-1010200 = 76^7.

В приведенном примере после истечения фьючерсного контракта щАигражер размещал средства под ставку LIBOR. Однако, поскольку т) сгавка предложения денег, то более реальной будет ситуация, когда §му удастся разместить средства только под ставку LIBID. Из таблицы * ганок следует, что спрэд между трехмесячными и шестимесячными нивками LIBID и LIBOR составляет 0,05%. Позтому арбитражеру умямся разместить средства в первой ситуации под:

2,34-0,05 = 2,29%. Й результате по трехмесячному депозиту он получит сумму:? 90

= 1010150долл.

360^

(

1 + 0,0229

1004400

По шестимесячному кредиту должен отдать:

{

180 360

1000000

1 + 0,0204

= 1010200 долл.

Поэтому операция принесет убыток в 50 долл. Однако, если в целях совершения арбитражной операции определить теоретическую границу фьючерсной цены с учетом корректировки на спрэд ставок LIBOR и LIBID как:

97,73-0,05 = 97,68,

то это будет котировка фьючерсного контракта при которой арбитра- жер получит нулевую прибыль. Покажем это на цифрах.

Пусть инвестор купил фьючерс по цене 97,68 и взял кредит под 2,04%. Трехмесячная ставка LIBOR в день истечения контракта через три месяца составила 2,34%, и котировка фьючерса равна:

100-2,34 = 97,66.

Котировка по сравнению с моментом покупки упала на:

97,68-97,66 = 0,02

или

= 2 шага.

0,02

0,01

Проигрыш по контракту составил:

25долл.-2 ~ 50долл.

Проигрыш был покрыт за счет суммы, полученной по трехмесячном! депозиту. Оставшаяся сумма:

1004500-50 = 1004450ЭОЛЛ.

была размещена на трехмесячном депозите под ставку ЫВЮ:

2,34-0,05 = 2,29%.

Через три месяца арбитражу получил по депозиту:

1 + 0,0229

1004450

' 90 ^

= 1010200долл.

360^

По шестимесячному кредиту он должен вернуть:

176 180

1000000

= 1010200б)шл.

1 + 0,0204— 360

Таким образом, арбитражная прибыль равна нулю. Арбитражная прибыль будет положительна в том случае, если фьючерсная цена контракта в момент его заключения была ниже границы в 97,68.

Аналогично во второй ситуации, когда ставка LIBOR была определена на уровне 2,26%, арбитражер сможет разместить средства под ставку LIBID:

2,26-0,05 = 2,21%. Тогда сумма по депозиту составит:

(1004500 +1 оо/1 + 0,0221 —1 = 1010150долл., V \ 360)

а вернуть по кредиту следует 1010200 долл. Проигрыш по операции равен 50 долл. Однако, если котировка фьючерса была равна 97,68, то по сравнению с моментом покупки она выросла на :

97,74-97,68 = 0,06

или

0,06

= 6 шагов.

0,01

Выигрыш по контракту равен:

25долл.-6 = 150 долл.

Данная сумма вместе с суммой, полученной по трехмесячному депо- іиіу, размещается на трехмесячный депозит под ставку 2,21%. Еще чмрез три месяца арбитражер получает по депозиту сумму:

- \0\020\долл.

90

(1004500+1501 1 + 0,0221

360

Арбитражная прибыль практически равна нулю. Однако, если котировки контракта будет ниже уровня в 97,68, то арбитражер получит гфиВыпь.

Таким образом для целей определения теоретической границы фьючерсной цены, соответствующей форвардной ставке по кредиту, наАходимо рассчитать форвардную ставку по кредиту на основе спото- 1ык < швок LIBOR и LIBID и прибавить к ней предполагаемый спрэд ?е*ду ставками. После вычитания из 100 данной ставки получим грани цу фьючерсной цены. В нашем примере форвардная ставка по кредиту составила 2,27%. Прибавим к ней спрэд в 0,05%:

2,27 + 0,05 = 2,32.

Граница фьючерсной цены должна составлять:

100-2,32 = 97,68.

Пример 3. (Сохраняются условия примера 1). Пусть трехмесячный фьючерс стоит 97,93. Это выше верхней границы фьючерсной цены, поэтому можно совершить арбитражную операцию. Ее суть сводится к следующему. Фьючерсная цена 97,93 соответствует форвардной ставке:

100 - 97,93 = 2,07%.

Данная ставка ниже форвардной ставки по депозиту, которую можно обеспечить на основе ставок спот. Поэтому с помощью фьючерсного контракта арбитражер может обеспечить себе заимствование денег в будущем под более низку ставку 2,07%. В то же время он может разместить их под ставку 2,12%. Разница в ставках образует арбитраж-ную прибыль. Действия арбитражера сводятся к следующему. Он занимает 1 млн. долл. на три месяца под ставку LIBOR 1,85%, размещает их на шестимесячном депозите под ставку L1B1D 1,99% и продает16 трехмесячный фьючерс по цене 97,93.

Через три месяца арбитражеру необходимо отдать кредит в размере:

1000000(1 + 0,0185^) = 1004625 руб.

а) Пусть через три месяца ставка LIBOR составила 2,11%. Тогда котировка фьючерсного контракта равна:

100-2,11-97,89.

Фьючерсная цена снизилась на:

97,93-97,89 = 0,04

или

0,04

4 шага.

0,01

16 Арбитражер продает фьючерс, так как через три месяца он будет брать кредит и соответственно должен застраховаться от возможного роста процентной ставки.

Выигрыш по контракту составляет:

25долл.-4 = 100 долл.

За счет выигрыша по контракту он уплачивает 100 долл. кредита, который он брал на три месяца в момент заключения контракта, а оставшуюся часть суммы кредита в размере:

1004625 -100 = 1004525<3олл.

покрывает, заняв деньги на три месяца под ставку LIBOR 2,11%. Через три месяца по данному кредиту он должен вернуть сумму:

( 90 Ї 1004525 1 + 0,0211 =1009824долл.

I 360 J

По шестимесячному депозиту получает:

1000000

Арбитражная прибыль равна:

1009950 -1009824 = 126долл.

0) Пусть через три месяца ставка LIBOR составила 2,03%. Тогда котировка фьючерсного контракта равна:

100-2,03 = 97,97. Фьючерсная цена выросла на:

97,97-97,93 = 0,04

ИПИ

0,04 .

= 4 шага.

0,01

Л|н>ифыш по контракту составляет:

25долл.-4 = 100 долл.

•чиїрьіш по контракту и трехмесячный кредит покрываются за счет івпго трехмесячного кредита, который арбитражер берет под ставку и размере:

' 6

1 + 0,0199— =1009950долл. 12 1

1004625 +100 = 1004125долл. itpea фи месяца по кредиту он должен вернуть:

\

90

360

= 1009824&мл.

1004725 1 + 0,0203 По шестимесячному депозиту он получает:

( ьЛ

1000000 1 + 0,0199— = Ю09950Лм*.

I 12)

Арбитражная прибыль равна:

1009950-1009824 = \26долл.

Прибыль арбитражера будет нулевой, если в момент заключения фьючерсного контракта его котировка равна верхней границе рассчитанной цены. Покажем это для первого случая, когда ставка LIBOR составила 2,11%, а котировка фьючерсного контракта была равна 97,89. Фьючерсная цена выросла на:

99,89-97,88 = 0,01

или

= 1 шаг.

0,01

0,01

Проигрыш по контракту составляет:

25долл1 = 25 долл.

Проигрыш по контракту и трехмесячный кредит он покрывает за счет нового трехмесячного кредита, под ставку 2,11%.

Через три месяца арбитражеру необходимо отдать кредит в размере:

([004625 +251 1 + 0,0211 v Я 360

= 1009950+ 0,0199— 12

90 *

= 1009950да?л.

По шестимесячному депозиту он получает сумму: 1000000

Арбитражная прибыль равна нулю.

Подводя итог вышесказанному можно сформулировать следующий порядок действий для определения возможностей совершения арбиі ражной операции. 1) На основе ставок LIBID и LIBOR вначале рассчи тываются форвардные ставки по депозиту и кредиту, как показано и примере 1. В примере были получены следующие ставки: 2,12% и 2,27%. 2) Определяется существующий спрэд между ставками LIB1I) и LIBOR. В этом случае арбитражер полагает, что такая величина спрэд« сохранится и в дальнейшем. В примере спрэд равен 0,05%. 3) Данный спрэд прибавляется к форвардной ставке по кредиту: 2,27 + 0,05 = 2,32% . 4) На основе полученных ставок определяются

теоретические границы фьючерсной цены: 97,88 - 97,68.

Сделать вывод о возможности совершения арбитражной операции можно также на основе форвардной ставки, определяемой текущей котировкой фьючерсного контракта. Например, котировка фьючерса равна 97,65. Соответствующая ей форвардная ставка составляет:

100-97,65 = 2,35.

Поскольку она выше пограничной ставки в 2,32%, то можно совер-шить арбитражную операцию.