5.2.2. Определение фьючерсной цены облигации, по которой выплачиваются купоны в течение действия контракта
фьючерсный контракт на облигацию истекает через 210 дней (т.е. через 210 дней будет поставлена облигация). По контракту поставляется облигация, котировка которой сейчас равна 134-04, купон 8%, выплачивается два раза в год.
Предыдущий купон был выплачен 20 дней назад, следующий купон будет выплачен через 162 дня (см. рис. 5.2). Продолжительность текущего купонного периода 182 дня, следующего купонного периода - 184 дня. Коэффициент конверсии равен 1,23. Ставка без риска для 210 дней равна 5% годовых, для 162 дней 4,85% годовых. Определить фьючерсную цену облигации. выплата купонавыплата купона
48 дня
162 дня
210 дней
-20 дней- момент заключения
момент окончания
контракта контракта
Рис. 5.2. В течение действия контракта купон выплачивается
В данном примере по облигации выплачивается купон в течение периода действия контракта. Поэтому воспользуемся формулой определения форвардной цены актива, по которому выплачиваются доходы.
Как было определено в примере 1, чистая цена облигации равна 134,125 долл. За 20 дней, прошедших после выплаты последнего купона, накопилась сумма купонного процента в 0,44 долл. Полная
цена облигации составляет 134,565 долл. За период действия контракта данная сумма на безрисковом депозите вырастет до:
210
134,565 1 + 0,05
ґ
= 138,49долл.
^ 360
Через 162 дня будет выплачен купон, величина которого равна:
ЮОдолл. ¦ 0,04 = Адолл.
После выплаты купона до истечения контракта остается еще:
210-162 = Лидией. Форвардная ставка для периода в 48 дней через 162 дня равна:
360
1
= 0,0539.
48
1 + 0,05(210/360) 1 + 0,0485(162/360)
За 48 дней на 4 долл. по форвардной ставке можно получить сумму:
{
48 360
1 + 0,0539
'4
= 4,029долл.
Полная фьючерсная цена облигации с купоном 8% равна:
138,49-4,029 = 134,46\долл.
За 48 дней, остающихся до истечения контракта с момента выплаты следующего купона, по облигации будет начислена сумма купонного процента:
48
ЮОдолл. 0,04 = 1,043долл.
184
Чистая фьючерсная цена 8%-й облигации равна:
134,461 -1,043 = 133,418долл.
Поскольку коэффициент конверсии для 8%-й облигации составляет 1,23, то фьючерсная цена облигации с доходностью до погашения 6% равна:
133,418:1,23 = 108,47долл.
В общем виде формулу определения фьючерсной цены можно записать как:
Т
V
г
(
\
т-и
1 + Г-Т
1 + г
Ф
база*
2
2
база
, (5.8)
И--
К
база где Р - полная цена "самой дешевой облигации" на день заключения контракта;
Г - период действия контракта;
- количество дней с момента расчета фьючерсной цены до момента выплаты купона в рамках действия контракта; г, - ставка спот для периода Г.
гф - форвардная ставка для периода Г-г,.
Вместо формулы (5.8) для расчета фьючерсной цены можно вос-пользоваться аналогом формулы (2.16):
база*
база
(о п{. Т ї --СГГ-/Л (р~0\ I + гт
-Л/ —
Р = V ^^ 2 ^ — ^ , (5.9)
А
где О - приведенная к моменту расчета фьючерсной цены стоимость купона, который выплачивается в ходе действия контракта; в качестве ставки дисконтирования используется ставка спот для периода .
В нашем примере величина О равна:
О = = з,914бдодл.
1 + 0,0485(162/360)
Фьючерсная цена облигации согласно формуле (5.9) составляет:
-100
184
0.08 Г 210-162
(134,565 - 3,914в{ [ + 0,05— v \ 360
= 108,47<3а?л.
1,23
Если фактическая цена контракта отличается от рассчитанного уровня, то можно совершить арбитражную операцию. Рассмотрим технику арбитражной операции на основе условий примера 4 для случаев недооценки и переоценки фьючерсного контракта.
I. Пусть фактическая фьючерсная цена равна 108 долл. Тогда инвестор покупает контракт, занимает облигацию и продает. По-скольку на облигацию выплачивается купон, то арбитражер должен будет выплатить его владельцу бумаги.
Поэтому сумму 134,565, полученную от продажи бумаги, он делит на две части: 3,9146 долл. (это дисконтированная стоимость будущего купона) и:134,565-3,9146 = 130,6504долл.
Первую сумму он размещает под 4,85% на 162 дня, получает в конце этого периода 4 долл. и за счет них выплачивает владельцу облигации купон. Вторую сумму размещает под 5% до момента истечения контракта. Через 210 дней получает сумму:
( 210^
130,6504 1 + 0,05 =134,461долл.
^ 360)
Рассмотрим три варианта конъюнктуры на рынке к моменту истечения контракта.
а) Котировочная фьючерсная цена равна 108 долл. Тогда в соответствии с формулой (5.1) арбитражер уплачивает по контракту цену:
Шдолл. ¦ 1,23 + \,043долл. = 133,883долл,,
получает облигацию и возвращает ее кредитору. Его прибыль в расчете на 100 долл. номинала облигации равна разности между суммой по депозиту и уплаченной за облигацию по контракту:
134,461 -133,883 = 0,578долл.
Общая прибыль по контракту составляет:
0,578долл. 1000 = 5Шолл.
б) Котировочная фьючерсная цена равна 108,5 долл. Арбитражер уплачивает по контракту цену:
108,5долл. ¦ 1,23 + Шдолл. = 134,498долл.,
получает облигацию и возвращает ее кредитору.
Он покупал контракт по цене 108 долл. Котировочная цена составила 108,5 долл. Поэтому за период действия контракта была получена положительная маржа в сумме:
108,5 -108 = 0,5долл.
Прибыль в расчете на 100 долл. номинала облигации равна:
134,461 -134,498 + 0,5 = 0,463долл.
Общая сумма прибыли по контракту составляет:
0,463долл. 1000 = 463долл.
в) Котировочная фьючерсная цена равна 107,5 долл. Арбитражер уплачивает по контракту цену:
107,5долл.¦ 1,23 +1,043долл. = 133,268долл., получает облигацию и возвращает ее кредитору.
Он покупал контракт по цене 108 долл. Котировочная составила 107,5 долл. Поэтому за период действия контракта была получена отрицательная маржа в сумме:
107,5-108 = -0,5долл.
Прибыль в расчете на 100 долл. номинала облигации равна:
134,461 -133,268 - 0,5 = 0,69Ъдолл.
Общая сумма прибыли по контракту составляет:
0,693долл. ¦ 1 ООО = 693долл.
II. Пусть фактическая фьючерсная цена равна 109 долл. Тогда инвестор продает контракт, занимает сумму 134,565 долл. и покупает облигацию. Поскольку на облигацию выплачивается купон, то арбит- ражер занимает данную сумму двумя частями: 3,9146 долл. (дисконтированная стоимость будущего купона) на 162 дня и 130,6504 долл. на 210 дней. Через 162 дня получает платеж по купону и возвращает первую часть кредита. По второму кредиту он должен вернуть на момент окончания контракта сумму:
130,6504(1 + 0,05—1 = 134,461долл.
I 360;
Рассмотрим три варианта конъюнктуры на рынке к моменту истечения контракта.
а) Котировочная фьючерсная цена равна 109 долл. Арбитражер поставляет по контракту облигацию, в соответствии с формулой (5.1) получает сумму:
109<)олл. -1,23 +1,043долл. = 135,11 Здолл.
и возвращает кредит. Прибыль в расчете на 100 долл. номинала облигации равна:
135,113 -134,461 - 0,652долл.
Общая прибыль по контракту составляет:
0,652долл. -1000 = 652долл.
б) Котировочная фьючерсная цена равна 109,5 долл. Арбитражер поставляет по контракту облигацию, получает сумму:
109 долл. ¦ 1,23 +1,043долл. = 135,Шдолл. и отдает кредит.
Он продавал контракт по цене 109 долл. Котировочная цена составила 109,5 долл. Поэтому за период действия контракта была получена отрицательная маржа в размере:
109-109,5 = -0,5долл.
Прибыль в расчете на 100 долл. номинала облигации равна: 135,728 -134,461 - 0,5 = 0,167 долл.
Общая сумма прибыли по контракту составляет:
0,767долл.-1000 = 767долл.
в) Котировочная фьючерсная цена равна 108,5 долл. Арбитражер поставляет по контракту облигацию, получает сумму:
10Ъ,5долл. ¦ 1,23 +1,043долл. = 134,498дахл. и отдает кредит.
Он продавал контракт по цене 109 долл. Котировочная цена составила 108,5 долл. Поэтому за период действия контракта была получена положительная маржа в размере:
109 -108,5 = 0,5долл.
Прибыль в расчете на 100 долл. номинала облигации равна:
134,498 -134,461 + 0,5 - 0,537долл.
Общая сумма прибыли по контракту составляет:
0,537 долл. -1000 = 531долл.
Планируя арбитражную операцию, как и в примере 1 следует не забывать, что в случае недооценки стоимости фьючерсного контракта можно получить убыток при дальнейшем росте котировочной цены (падении ставок). В то же время при ее падении (росте ставок) прибыль будет возрастать.
В случае переоцененности фьючерсного контракта можно получить убыток при дальнейшем падении котировочной цены (росте ставок). В то же время при ее росте (падении ставок) прибыль будет возрастать.6
Для фьючерсного контракта на облигацию существует понятие базиса. Для каждой облигации, которая может быть поставлена по контракту, существует коэффициент конверсии. Он связывает спото- вую цену (р) данной облигации с соответствующей ей фьючерсной
6 Противоположная тенденция будет наблюдаться, если коэффициент конверсии облигации меньше единицы
ценой (/;) по формуле:
Базис можно определить как:
базис - Р- /у
Спотовую цену (/>Д соответствующую данной теоретической фьючерсной цене (/г) можно рассчитать по формуле:
Р, = РК.
г
Поэтому базис также можно определить как:
базис = Рг - Р.