5.2.1. Определение фьючерсной цены облигации, по которой не выплачиваются купоны в течение действия контракта

Фьючерсный контракт на облигацию истекает через 60 дней (т.е. через 60 дней будет поставлена облигация). Ставка без риска равна 5% годовых. По контракту поставляется облигация, котировка которой сейчас равна 134-04, купон 8%, выплачивается два раза в год.

выплата купона

-20 дней-

60 дней »

момеш момент

¦заключения окончания

контракта кон-факта

Рис. 5,1. В течение действия контракта купон не выплачивается

Чистая цена облигации равна 134-4/32 или 134,125 долл. в расчете на номинал в 100 долл. За 20 дней по купону накопилась сумма:

100долл. • 0,04 20днеи = О^Лдолл. 182дней

Полная цена облигации на момент расчета фьючерсной цены равна:

134,125 + 0,44 - 134,565долл.

Поскольку по облигации купон в период действия контракта не выплачивается, то для расчета фьючерсной цены используем формулу для актива, по которому не выплачиваются доходы:

3 В США для казначейских облигаций определение суммы накопленных процентов осуществляется на основе учета фактического количества дней, за которые накопился процент, и фактического количества дней в текущем купонном периоде. л

60 360

134,565

1 + 0,05

= 135,686далл.4

Котировка дается на основе чистой цены. Поэтому из полученной Цифры надо вычесть сумму купонных процентов, которая накопится По облигации к моменту истечения контракта. С момента выплаты Последнего купона пройдет:

20 + 60 = 80 дней.

Соответственно сумма купонных процентов равна:

/\ /лл дней 10(Мол/1.-0,04 7 = \,15$долл.

I82дней

С учетом корректировки на сумму процентов получим фьючерсную цену:

135,686-1,758 = 133,928&?лл.

Мы рассчитали фьючерсную цену облигации с купоном 8%, а нам надо определить цену облигации с доходностью до погашения 6%.

133,928 :1,23 = 108,8846<Ьлл.

На основе представленных рассуждений можно в общем виде записать формулу определения фьючерсной цены облигации:

-ДГ

база

С( Г +

1 + г

база

(5.6)

К

где Т7 - фьючерсная цена;

N - номинал облигации (100 долл.); С - купонный процент в расчете на год; Р - полная цена "самой дешевой облигации", т.е. с учетом суммы накопленного купонного процента за период і;

і - количество дней, которые прошли с даты выплаты последнего купона до момента определения фьючерсной цены;

4 В данной формуле в качестве базы мы использовали 360 дней, так как в США для краткосрочных финансовых инструментов, таких как казначейские векселя и другие инструменты денежного рынка используется 360 дней в году для расчета процентных платежей.

Т - период действия фьючерсного контракта, или более точно, количество дней до даты поставки облигации по контракту;

база* -360дней;

база - фактическое количество дней в текущем купонном периоде;

г - ставка без риска для базы 360 дней;

К - коэффициент конверсии.

Формула (5,6) непосредственно вытекает из формулы (5.1). Чтобы это увидеть, выразим из нее котировочную фьючерсную цену:

котировочная фьючерсная цена

В формуле (5.7) "цена поставки облигации" есть не что иное как

фьючерсная цена для актива, по которому не выплачивается доход в течение действия контракта. Соответственно она равна цене спот плюс процент без риска, начисленный на цену спот за период действия контракта. При расчете фьючерсной цены облигации надо вычесть из

данной цифры "сумму начисленных процентов" ПО купону, так

как котировка дается на основе чистой цены. Поскольку необходимо найти фьючерсную цену облигации с доходностью до погашения 6%,

то полученный результат делим на "коэффициент конверсии",

рассчитанный биржей для нашей облигации.

Фактическая фьючерсная цена облигации в какие-то моменты времени может отличаться от теоретической. Тогда открывается возможность совершить арбитражную операцию. Рассмотрим технику арбитражной операции на основе условий примера 1 для случаев недооценки и переоценки фьючерсного контракта.

Как было определено, теоретическая фьючерсная цена облигации равна 108,8846 долл. Пусть фактическая фьючерсная цена составляет 108,5 долл., т.е. фьючерс недооценен. В этом случае арбитражер покупает фьючерс, занимает облигацию и продает ее на спотовом рынке за 134,565 долл. Это чистая цена облигации плюс накопленный процент по купону за 20 дней. Инвестирует данную сумму под безрисковую ставку до момента окончания контракта. Через 60 дней получает:

Г бо ї

360 )

360 )

134,565 1 + 0,05 = 135,686долл.

Рассмотрим три варианта конъюнктуры на рынке к моменту истечения контракта.

а) Котировочная фьючерсная цена равна 108,5 долл. В соответствии с формулой (5.1) арбитражер уплачивает по контракту цену:

108,5<Ьлл.-1,23 + 1,758долл. = 135,213долл.,

получает облигацию и возвращает ее кредитору. Его прибыль в расчете на 100 долл. номинала облигации равна разности между суммой по депозиту и уплаченной за облигацию по контракту:

135,686 -135,213 = 0А73долл.

Общая прибыль по контракту составляет:

ОАУЗдолл. 1000 = 473да*л.

б) Котировочная фьючерсная цена равна 109 долл. Арбитражер уплачивает по контракту цену:

\09долл.-123 + Ц5$долл. = 135,828додл.,

получает облигацию и возвращает ее кредитору.

Он покупал контракт по цене 108,5 долл. Котировочная цена со-ставила 109 долл. Поэтому за период действия контракта была по-лучена положительная маржа в сумме:

109 -108,5 = 0,5долл.

Прибыль в расчете на 100 долл. номинала облигации равна:

135,686 -135,828 + 0,5 - 0,358долл.

Общая сумма прибыли по контракту составляет:

0,35 Ъдолл.-1000 = 358б»а/л.

в) Котировочная фьючерсная цена равна 108 долл. Арбитражер уплачивает по контракту цену:

108 долл.

получает облигацию и возвращает ее кредитору.

Он покупал контракт по цене 108,5 долл. Котировочная составила 108 долл. Поэтому за период действия контракта была получена отрицательная маржа в сумме:

108 -108,5 = -0,5долл.

Прибыль в расчете на 100 долл. номинала облигации равна: 135,686 -134,598 - 0,5 = 0,5Шолл.

Общая сумма прибыли по контракту составляет:

0,5 8 Ъдолл.¦ 1 ООО = 5 Шолл.

II. Пусть фактическая фьючерсная цена составляет 109 долл., т.е. фьючерс переоценен. Тогда арбитражер продает фьючерс, за-нимает 134,565 долл. на 60 дней под 5% годовых, покупает облига-цию на спотовом рынке и хранит ее до момента истечения контракта. По кредиту он должен будет вернуть сумму:

( 60 Л

134,565 1 + 0,05— =135,686додя. I 360У1

Рассмотрим три варианта конъюнктуры на рынке к моменту истечения контракта.

а) Котировочная фьючерсная цена равна 109 долл. Арбитражер поставляет по контракту облигацию, получает от контрагента в соответствии с формулой (5.1) сумму:

109долл. ¦ 1,23 + \ч15%долл. = 135,828долл.,

возвращает кредит. Его прибыль в расчете на 100 долл. номинала облигации равна:

135,828-135,686 = 0,142долл.

Общая прибыль по контракту составляет:

0Л42долл.\000 = \42долл.

б) Котировочная фьючерсная цена равна 108,5 долл. Арбитражер получает по контракту за облигацию:

\08,5долл.-1,23 + 1,758г)а7л. = 135,213 долл.

Он продавал контракт по цене 109 долл. Котировочная цена составила 108,5 долл. Поэтому за период действия контракта была получена положительная маржа в сумме:

\09-Ш,5 = 0,5долл.

Прибыль в расчете на 100 долл. номинала облигации равна:

135,213 -13 5,686 + 0,5 = 0,021 долл.

Общая сумма прибыли по контракту составляет:

О,О27<*0Лл.-1ООО = 21 долл.

в) Котировочная фьючерсная цена равна 109,5 долл. Арбитражер получает по контракту за облигацию:

109,5долл. ¦ 1,23 + \,75Ъдолл. = ША43долл.

Он продавал контракт по цене 109 долл. Котировочная цена составила 109,5 долл. Поэтому за период действия контракта была получена отрицательная маржа в сумме:

109-109,5--0,5долл.

Прибыль в расчете на 100 долл. номинала облигации равна: 136,443 -135,686-0,5 = 0,257долл.

Общая сумма прибыли по контракту составляет:

0,257долл. • 1000 = 257долл.

Мы рассмотрели арбитраж без учета возможного финансирования позиции вследствие возникновения отрицательной вариационной маржи в ходе действия контракта и получения дополнительных процентов на положительную маржу. Данные суммы составляют элемент риска при совершении арбитража на фьючерсном рынке. Как было отмечено выше, арбитраж на фьючерсном рынке не является абсолютно безрисковым.

В качестве элемента риска в рассмотренных арбитражных операциях следует выделить еще один принципиальный момент. При расчете цены поставки используется коэффициент конверсии, который приводит к тому, что изменение вариационной маржи и цены поставки, уплачи-ваемой по контракту за облигацию, не происходит в пропорции один к одному. Это может вызвать потери арбитражера в случае существенного изменения цены облигации, если коэффициент конверсии значительно отличается от единицы. Проиллюстрируем сказанное на примерах.

Пример 2.

Рассматриваем случай 1. Фактическая фьючерсная цена равна 108,5 долл., поэтому арбитражер покупает фьючерс, занимает облигацию, продает ее на спотовом рынке за 134,565 долл., инвестирует данную сумму под безрисковую ставку до момента окончания контракта. Через 60 дней получает сумму 135,686 долл.

а) Пусть котировочная цена выросла до 111 долл. Арбитражер уплачивает по контракту цену:

11 Хдолл.¦ 1,23 + 1,758Эа7л. - Ш,2Шолл.,

получает облигацию и возвращает ее кредитору.

Он покупал контракт по цене 108,5 долл. Котировочная цена составила 111 долл. Поэтому за период действия контракта была получена положительная маржа в сумме:

111-108,5 = 2,5д олл.

Прибыль в расчете на 100 долл. номинала облигации равна:

135,686 -138,288 + 2,5 = -0,102долл.

Общая сумма прибыли по контракту составляет:

-0,\02долл.\000 = -\02долл.

Таким образом, был получен убыток в 102 долл. Он возник потому, что при росте котировочной цены, цена поставки, уплачиваемая арбитражером, увеличивается с коэффициентом 1,23. В то же время, положительная вариационная маржа, призванная компенсировать этот эффект, возрастает только с коэффициентом единица.5

Отмеченный риск совершения арбитражной операции в данном примере наблюдается только в случае роста котировочной цены облигации. В случае ее падения он отсутствует. Чем больше опустится цена, тем большая прибыль будет получена. Поскольку риск связан с ростом цены, то, начиная арбитражную операцию, целесообразно оценить вероятность последующего падения процентных ставок на рынке и, соответственно, роста цен и масштабов их роста.

Пример 3.

Рассматриваем случай II. Фактическая фьючерсная цена равна 109 долл. Арбитражер продает фьючерс, занимает 134,565 долл. на 60 дней под 5% годовых, покупает облигацию на спотовом рынке и хранит ее до момента истечения контракта. По кредиту он должен будет вернуть сумму 135,686 долл.

Пусть котировочная фьючерсная цена упала 108 долл. Арбитражер попучает по контракту за облигацию:

1 ОЪдолл. -1,23 +1,758долл. = 134,598долл.

Он продавал контракт по цене 109 долл. Котировочная цена составила 108 долл. Поэтому за период действия контракта была получена положительная маржа в сумме:

109-108 = \долл. Прибыль в расчете на 100 долл. номинала облигации равна:

134,598 -135,686 +1 = -0,0Шолл.

Общая сумма прибыли по контракту составляет:

-ОАШолл. -1000 ^ -Шол1. Таким образом, был получен убыток в 88 долл.

5 Если бы в примере коэффициент конверсии был меньше единицы, то при росте цены арбитражер получал бы большую прибыль, так как цена поставки увеличивалась бы в меньшей пропорции чем размер вариационной маржи

Отмеченный риск совершения арбитражной операции в данном примере наблюдается только в случае падения котировочной цены облигации. В случае ее роста он отсутствует. Чем больше вырастет цена, тем большая прибыль будет получена. Поскольку риск связан с падением цены облигации, то, начиная арбитражную операцию, целесообразно оценить вероятность последующего роста процентных ставок на рынке и, соответственно, падения цен и масштабов их снижения.