2.3.2. Форвардная цена и цена форвардного контракта на актив, по которому выплачиваются доходы

дивиденда

Рассмотрим вопрос определения форвардной цены актива, по которому выплачиваются доходы, на примере акции.

Приобретая контракт, инвестор не получит дивиденд, а также тот процент, который можно начислить на дивиденд до момента окончания срока действия контракта. Эти условия необходимо учесть при определении форвардной цены.

Рассмотрим вначале простой случай: дивиденд выплачивается перед самым моментом истечения контракта. Тогда инвестор не получает только дивиденд. Форвардная цена равна:

ГГ \

1 + г-

база

-<ііу , (2.13)

где Т-период действия контракта; сіі\>- дивиденд.

Пример 1.

^ = 100

Цена спот акции 100 руб., ставка без риска - 10%, дивиденд - 2 руб., выплачивается через полгода. Определить шестимесячную форвардную цену. Она равна:

1 + 0,1 2 = 103 руб.

12;

Следующий случай предполагает, что дивиденд выплачивается в некоторый момент времени (/,) в период действия контракта (см. рис.

2.3). Тогда покупатель контракта не получит не только дивиденд,

*2

/у

Рис. 2.3. Срок действия контракта-х2, день выплаты дивиденда -1!

но и проценты от его реинвестирования до момента истечения срока действия контракта (/2), т. е. за период времени г2 этом случае формула (2.13) принимает вид:

(2.Щ

Г = 5

1 + г,

база

V

'і '2-'^ 1 + г,

база

где г2 - ставка без риска для периода времени (2\

г2. і - форвардная ставка без риска для периода г2 ;

/2 - период действия контракта.

В формуле (2.14) вместо абсолютной величины дивиденда можно воспользоваться значением его приведенной стоимости к моменту заключения форвардного контракта. Она равна:

^-Г- . (2-15)

?> =

1 + Гі - •

база

где О - приведенная стоимость дивиденда; гх - ставка без риска для периода і{ .

база

Тогда можно сказать, что покупатель контракта не получает доход от инвестирования приведенной стоимости дивиденда на весь период действия контракта, и формула (2.14) примет вид:

(2.16)

где л - период действия контракта; г2 - ставка без риска для периода /2.

Формула (2.16) получается из формулы (2.14), подстановкой в нее значения дивиденда из формулы (2.15), а именно:

и

F = S

база

и

1 + г,

база

\

- сііу

1+г

1 + г,

2,1

база

V

(2.17)

1

1 + 2 1

= 5

-О

1 + к

база

база

V

В выражении (2.17)5 V

1+*

\ + п

1 + г,

2,1

база

база

база

А

(2.18)

Поэтому:

.(2.19)

1 + г2

-О

база

1 + Г2-^)==(5-п{\ + Г2-±- база) \ база

Пример 2.

Цена акции 100 руб., через четыре месяца на акцию выплачивается дивиденд в размере 10 руб. Определить шестимесячную форвардную цену акции, если ставка без риска на шесть месяцев равна 20% годовых, на четыре месяца - 19,8% годовых.

Решение.

Приведенная стоимость дивиденда к моменту заключения контракта равна:

О = — = 9,38 руб,

1+0,198(4/12)

Шестимесячная форвардная цена акции составляет:

( 6 А

(100-9,3811 + 0,2— = 99,68руб.

V 12;

Если фактическая форвардная цена в примере не равна полученному теоретическому значению, то арбитражеры заработают прибыль без риска и восстановят единство цен. Проиллюстрируем это на цифрах.

I. Фактическая шестимесячная форвардная цена составляет 99 руб. Тогда арбитражер: а) покупает форвардный контракт, так как он стоит дешевле, чем должен стоить; б) занимает акцию и продает ее на спотовом рынке за 100 руб.; в) из 100 руб. сумму равную дисконтированной стоимости дивиденда, т. е. 9,38 руб., размещает на депозит под 19,8% на четыре месяца; г) оставшуюся сумму в 90,62 руб. размещает на шестимесячном депозите под 20%.

Через четыре месяца по депозиту он получит 10 руб. и отдаст их в качестве дивиденда кредитору (поскольку на акцию выплачивается дивиденд в 10 руб., то арбитражер должен отдать данную сумму кредитору);

Через полгода арбитражер: а) получает по депозиту:? 90,62| 1 + 0,2— = 99,68 руб.;

12;

б) уплачивает за акцию по контракту 99 руб.

99,68-99 = 0,68руб.

68 копеек арбитражер получит к моменту истечения действия контракта. Если он заинтересован в использовании прибыли в момент начала операции, то он может сразу же воспользоваться суммой в размере дисконтированной стоимости 68 копеек:

0,68 ... „

Тогда на шестимесячном депозите он разместит сумму:

90,62-0,62 = 90руб.

Через шесть месяцев получит:

90

V

' 6^

1 + 0,2— = 99 руб. 12)

и уплатит их за акцию по контракту.

Определить величину арбитражной прибыли на начало операции можно еще следующим образом, Через полгода арбитражер должен располагать 99 руб. Их дисконтированная стоимость равна:

99

г—т = 90 руб.

1+0,2(6/12)

Поэтому из оставшейся суммы в 90,62 руб. он 90 руб. размещает на депозите, а 0,62 руб. оставляет в качестве прибыли.

11. Фактическая форвардная цена акции составляет 100 руб. Тогда арбитражер: а) продает контракт, так как он стоит дороже, чем должен стоить; б) занимает 100 руб. и покупает акцию; (из 100 руб. он занял 9,38 руб. на четыре месяца под 19,8%; оставшуюся сумму в 90,62 руб. занял на шесть месяцев под 20%.)

Через четыре месяца арбитражер получает по акции дивиденд и возвращает первую часть кредита.

Через полгода он: а) поставляет акцию по контракту и получает 100 руб.; б) из данной суммы возвращает кредит в размере:? ( бЛ

90,62 1 + 0,2— =99,68руб.

V

Его прибыль равна:

100 - 99,68 = 0,32руб.

Инвестор может воспользоваться арбитражной прибылью и в начале действия контракта. Она равна дисконтированной стоимости рассчитанной прибыли к моменту его окончания:

0,32

= 0,29 руб.

1 + 0,2(6/12)

Чтобы рассчитать данную сумму, можно рассуждать следующим образом. По истечении контракта инвестору будет уплачено за акцию 100 руб. Поэтому в момент его заключения по второй сумме на шесть месяцев надо занять не 90,62 руб., а:

^—^ = 90,91 руб.

1+0,2(6/12)

Из них вместе с первой суммой он использует для покупки акции 90,62 руб.

90,91 - 90,62 = 0,29руб.

составляет его арбитражную прибыль.

На акцию в течение действия контракта дивиденды могут выплачиваться несколько раз. В этом случае формула (2.14) примет вцд:

Р = + + , (2-20)

^ база) ,=1 ^ " база) где Т - период действия контракта;

п - количество выплачиваемых дивидендов в течение действия контракта;

сИух - /-й дивиденд, выплачиваемый в течение действия контракта;

гт - ставка без риска для периода Т;

гТч( - форвардная ставка для периода времени с момента выплаты / -го дивиденда до момента окончания действия контракта. Формула (2.16) соответственно примет вид: ( « \

Ґ л

У7-

база

V

V 1=1 У

где Ц - приведенная стоимость г -го дивиденда к началу действия контракта.

Рассмотренные выше формулы применимы и для процентных инструментов. В таком случае вместо дивиденда учитывается купон, выплачиваемый на базисный актив.

С учетом непрерывно начисляемого процента формулы (2.16) и (2.21) примут вид:

? -

Р = (Б-0)егТ (2.22),

г

V /=1

где г - непрерывно начисляемый процент без риска для периода Т; Т~ время действия форвардного контракта.