16.3.4. Оценка стоимости европейского опциона коллар
г"
X \ если БТ < X] ^ если Х[ < < Х2 , Х-, если > Х2
где - цена спот базисной акции;
Х{ - минимальная сумма, уплачиваемая по опциону фло; Х2 - максимальная сумма, уплачиваемая по опциону кэп. График выплат по коллару на акцию представлен на рис. 16.6.
Премия коллара равна дисконтированной стоимости ожидаемого значения его цены к моменту окончания контракта:
выплаты | ПО опциону!
0 УХ Цена акции
2
Рис. 16.6. Выплата по коллару
+ е-гТЕ{Бт\Х{ <БТ< Х2)Р{ХХ <БТ< Х2)+ (16.23)
егТХ2Р{8т >Х2).
Согласно формулам (16.21) и (16.22) р(зт < Х}) = По-этому первое слагаемое в (16.23) равно:
егТХхР{8т < Хх)=е-"Ххм(-<1?). (16.24)
Согласно (16.4) р[Бт > Х2)= N{с1?2). Поэтому второе слагаемое в (16.23) равно:
егТХ2Р{8т >Х2) = е~гТХ2к(^:). (16.25)
Преобразуем третье слагаемое в (16.23) по элементам его сомножителей. Согласно результату (16.8):
<БТ< Х2) = Р{8Т > Х})~Р{8Т > Х2).
В свою очередь:
\ХХ < < Х2) = > > Х2). (16.26)
Поэтому:
к < < Х2 )/7(Аг, < Бт < Х2 ) =
-гТ
е
или
[А(5г]5г > )- я($г|5Г > ДР^г > Хх)~ р(зт > Х2 )]
е гТ е{$т\х] <Зт <х2]р(х} <ЭТ < Х2)~
е'^Е^г > Х1 )р(5г > Ху )-е~гТЕ^т^Бт > Х2 > Х2 ), или, согласно результату (16.5):
< < < ) =
(
(16.27)
V
( \ V )
Подставив результаты (16.24), (16.25) и (16.27) в (16.23), получим:
= * гГхД^ )+е-*Х2м{<2) ИЛИ
с
ьт\ор
=е-1 [xt 4-d? )~хх(сГ-)]+s„ )- )] •
В заключение данного параграфа остановимся еще на одном во-просе.
При оценке стоимости опционов мы рассмотрели варианты выплат по контрактам, которые представляли собой или фиксиро-ванные или возрастающие суммы с ростом курса базисного актива. Однако может возникнуть необходимость оценить опцион для случая, когда сумма выплаты уменьшается с ростом курса базисного актива как показано на рис. 16.7.выплаты но ОПЦИОНУ
В
О
X
X цена актива
Рис. 16.7. Выплаты по опциону
Линия ab опускается под углом 45° к горизонтальной оси, поэтому треугольник abc является равнобедренным, и стороны ас и cb равны. Данный факт можно использовать, чтобы определить величину выплаты по опциону для стоимости базисного актива на участке Х2Х}. В точке X, выплата по опциону равна А . Если курс
базисного актива вырастет на AS, то выплата составит:
выплата = А - AS, (16.28)
так как треугольник ade является равнобедренным, И еd = ае = AS (см. рис. 16.7). В свою очередь величину АS на отрезке Х2Х, можно представить как:
AS = S7-X,, (16.29)
где ST - цена актива к моменту истечения опциона. Подставив (16.29) в (16.28), получим:
выплата -А- +- Х{
или
выплата = А + Х1 - .
Премия опциона равна дисконтированной стоимости ожидаемого значения его цены к моменту окончания контракта. Поэтому можно записать;
премия^ е п е{а + Х^-Б1\Х[ <57 <Х2)/?(Х1<5г<Х2)
или
премия = е Г/(А + X, )р(х, < < )- е гГЕ(8,\Х1 <Х2)р{Х,<8т<Х2) (16'30^ Согласно результатам (16,8), (16.9) и (16.10):
Согласно результату (16.27):
е-гТЕ(Бт\Х, < Бт < Х2)Р(Х1 < < *2) =
Подставив (16.31) и (16.32) в (16.30), получим: премия = е~гТ(А + Л^ )- Л^)]- [лг(^,А'1)- N{d?2)] .
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Оценку ряда не стандартных европейских опционов можно осуществить на основе формулы Блэка-Шоулза, выделив в ней два составляющих компонента:
>х)=Ы{<12)
и
х)р(Зг>х) = ЯоМ^).
В рамках модели Блэка-Шоулза вероятность того, что цена акции будет выше цены исполнения, равна:
Р{3Т>Х)=М(42). Кэп дает возможность покупателю опциона уплатить сумму денег эквивалентную цене базисного актива, но не выше установленного уровня,
Фло позволяет покупателю опциона получить сумму денег эквивалентную цене базисного актива, но не ниже установленного уровня,
Коллар включает в себя два опциона: кэп и фло.