16.3.2. Оценка СТОИМОСТИ европейского опциона кэп
А если > X = А
<
БГ если < X — А
где БТ - цена спот базисной акции;
А - фиксированная сумма денег.
График выплат по опциону кэп на акцию представлен на рис. 16.4.
Премия кэпа равна дисконтированной стоимости ожидаемого значения его цены к моменту окончания контракта:
скэп=Ае-гТР(Зт > Х)+е~гТЕ(8т\8т < х)р(Зт < X). (16.11)
Ожидаемое значение стоимости акции можно представить как:
= (1б12
+Е{8Т\5Т>Х)Р{8Т>Х)Ш ' }
Отсюда:
?(5Г|5Г < х)р(зу < Х)= фУ)" я(5г|5г > > X) -(16.13)
Подставим значение ?,(57-|5г <х]р{Зт <Х) из (16.13) во второе слагаемое равенства (16.11):
е~гТЕ(8Т\3Т < < =
(16.17)
е"гГ[?-(5г)- > Х)р{Бт > X)]
или
е~гТЕ{8т\Бт < х)р{8т < Х) =
е'гТЕ(БтУе'гТфг[5л > х)р{8т > X) (16'14)
В правой части равенства (16.14) первое слагаемое есть не что иное как дисконтированная стоимость будущего курса акции, т.е. ее сегодняшняя цена. Поэтому:
= (16.15)
Согласно результату формулы (16.5)
е~гТфт\8т > х)р(8т >х) = ). (16.16) Подставив (16.15) и (16.16) в правую часть (16.14), получим:
В первом слагаемом (16.11) согласно формуле (16.4)
Р(5Т>Х)=Ы(42). (16.18)
Подставив результаты формул (16.17) и (16.18) в (16.11), получим:
Пример.
Определить стоимость европейского опциона кэп на акцию, который характеризуется следующей динамикой выплат на момент истечения контракта:
100руб. если 8Т >100руб.
У
8Т если 8Т < 100руб.
8^ = 80 руб., г = 10%, Т~вмесяцев, а- 0,3. Решение.
Найдем значения ^ и с12 согласно формулам (10.30) и (10.31): {
+ 0,1 +
In
4
-0,71014 ,
In
-0,92227 . 0,3V0,5
По таблице функции Лапласа или с помощью программы Excel находим:
ЛГ(Стоимость опциона равна:
с = 1 ОйГ*'1"0'5 • ОД 782+80- 0,7612= 77,85руб.
16.3.3. Оценка стоимости европейского опциона фло
Фло позволяет покупателю опциона получить сумму денег эквивалентную цене базисного актива, но не ниже установленного уровня. Возможные результаты по опциону на момент истечения контракта равны:
Г А если БТ < X - А [Зу. если Бт > X = А
где - цена спот базисной акции;
Х=А
А -фиксированная сумма денег. График выплат по опциону фло на акцию представлен на рис. 16.5.
по опциону
выплаты
А
цена акции
Рис. 16.5. Выплата по опциону фло
480? Премия фло равна дисконтированной стоимости ожидаемого значения его цены к моменту окончания контракта:
p(i>H=Ae>!P{S, Согласно результату (16.5) в формуле (16.19) второе слагаемое равно: e"fE(s\S > X]P(S > х)= 50/V(t/,) (16.20) В первом слагаемом формулы (16.19) можно предста вить как: Pis, С учетом результата (16.4) равенство (16.21) принимает вид: 1 - p{sr > X) = i - N(d2 ) = лг(- d2 ) (16.22) Подставив результаты из (16.20) и (16.22) в (16.19), получим: Рфли =Ae^N(-d2)^S0N{d{) Пример. Определить стоимость европейского опциона фло на акцию, который характеризуется следующей динамикой выплат на момент истечения контракта: 60руб. если БТ <60руб. т Зт если Бт > 60руб. = 80руб., г = 10%, Т = бмесяцев, о = 0,3. Решение. Найдем значения ^ и d2 согласно формулам (10.30) и (10.31): |2 Л г
0.5 о,. uf, = = 1,6979 2 V 0,ЗД5
0,3 О л 2\ 0,5
= 1,4858 . 0,3^ По таблице функции Лапласа или с помощью программы Excel находим:
0,9552, Лг(-Рфло = бОе-0'1"0'5 • 0,0687 + 80 • 0,9552 = 80,34дуб.