16.1. ДЕКОМПОЗИЦИЯ ФОРМУЛЫ БЛЭКА-ШОУЛЗА НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ КОМПОНЕНТЫ
с\, = е'гТЕ[ тах(5г - Л\0)]. (161)
СТОИМОСТЬ ожидаемого дохода равна средневзвешенной сумме возможных доходов по опциону к моменту окончания срока его действия, где весами выступают вероятности получения соответствующих доходов.
Поэтому формулу (16.1) можно представить как:се=е гГ[/ф> - х\$т > ^М^г > х) + ?(фтг ^ - х)] =
= е~гТЕ(Бт - Х\8Т > Х)р(5т > X) или
= е-гТфт - Х\БТ > х)р(5т >х)^
- е-гТЕ(Бт|5Г > > X)-Хе~гТР{Я} > Х\
Таким образом, мы преобразовали формулу (16.1) в формулу (16.2), На основе формулы (16.1) была получена формула Блэка-Шоулза (16.3):
(16.3)
Элементу Хё~еТ1^Л1) формулы (16.3) соответствует элемент Хе~гТР{8т > х) формулы (16.2). Данные элементы имеют одинаковые сомножители Хё~г1 , поэтому из их сравнения следует: б рам- ках модели Блэка-Шоулза вероятность того, что цена акции будет выше значения X. т.е. опцион будет исполнен, равна:
Р(БТ > Х)= Ы{с12). (16.4)
Р.Сгау, Би.Сгау назвали элемент (16.4) первым строительным блоком. В формуле (16.3) выражение Р{$У > X) используется вместе с дисконтированием фиксированной величины X. Поэтому при оценке премии опциона первый строительный блок следует использовать в случае, когда по опциону выплачивается некоторая фиксированная сумма.
Элементу ) формулы (16.3) соответствует элемент
е~гТЕ(8Т\5Т > Х)Р{Зт > х) формулы (16.2):
е гТЕ{Бт \Бт > Х]Р(Бт > ЛГ)= 50Лг(Р.Сгау, Зи.Сгау назвали элемент (16.5) вторым строительным блоком . Величины с/, и йг определены согласно формулам (10.30) и (10.31). Второй строительный блок используем в случае, когда по опциону предполагается увеличение выплаты с ростом курса базисного актива.
На основе полученных результатов можно легко осуществить оценку премии европейских опционов различного вида,