14.5. БОКС-АРБИТРАЖ

на акцию: с,, с2, р2 с ценами исполнения соответственно Л", и

Х2, истекающие в одно время. Цена спот акции равна 5 . Паритет

опционов сценой исполнения Хх равен:

с- + т^ т = л + 5. (14.28)

1 + г \Г/база)

Паритет опционов с ценой исполнения Х2 равен:

с, + ^ г = р2 +5. (14.29)

Приравняем формулы (14.28) и (14.29):

4- —' + ^2

4 1 +г(т/база) Р[~°2 1 + г(Т/ база) Рг

или

Если существует равенство (14.30), арбитраж невозможен. Равенство (14.30) говорит о том, что разность между совокупными премиями опционов должна равняться дисконтированной стоимости разности между ценами исполнения опционов к моменту заключения контрактов. В случае нарушения формулы (14.30) можно заработать прибыль без риска. Для определения алгоритма совершения арбитражной операции обозначим в равенстве (14.30) левую часть как портфель Л, правую - как портфель В. Пусть на рынке существует ситуация:

В неравенстве (14.31 )А<В, поэтому необходимо купить портфель А и продать портфель В. Покупка портфеля А означает, что арбитра- жер покупает одну часть портфеля:

- а).

обозначим ее как я,, и продает другую часть портфеля:

обозначим ее как а2. Покупая ах, инвестор покупает опцион колл с, и продает опцион пут р,. Комбинация этих действий дает синтетическую покупку акции с ценой исполнения Х1. Продавая А2, арбит- ражер продает опцион колл с2 и покупает опцион пут р2. Комбинация этих действий дает синтетическую продажу акции с ценой исполнения Х2. Продажа портфеля В означает, что арбитражер

занимает средства под процент Г на время Т для покупки портфеля А.

цене ХХ. Арбитражер возвращает кредит и получает прибыль в

+ г

сумме: X, - X. / \ / ч

(т/база)

Поясним данный вариант арбитража на примере. Пример.

Имеются котировки трехмесячных европейских опционов: Цена исполнения Колл Пут 90 12 4 100 5 7 110 3 13

Ставка без риска равна 10% годовых.

Определяем возможность совершения арбитражной операции на основе формулы (14.30). Стоимость опционной позиции равна:

(12 — 4)— (3 —13) = 18руб.

Величина дисконтированной стоимости разности цен исполнения опционов составляет:

10-9° = 19,51 руб.

1 + 0,1(3/12)

Поскольку полученные цифры не равны, то существует возможность заработать арбитражную прибыль.

Портфель А стоит меньше портфеля В, поэтому арбитражер покупает портфель А, т.е. покупает с, за 12 руб., продает рх за 4 руб.,

продает с2 за 3 руб. и покупает р2 за 13 руб.:

-12 + 4 + 3-13 = -18 руб.

Знак минус говорит о том, что арбитражеру необходимо занять 18 руб., чтобы купить портфель А. Он занимает данную сумму на три месяца под 10% годовых, т.е. в нашей терминологии продает портфель В. Через три месяца он должен вернуть долг в размере:

3 ^

1 + 0,1— = 18,45 руб.

/

18

V 12)

Возможная ситуация на рынке к моменту истечения опционов.

а) 57 > 1 10руб. Контрагент исполняет опцион с2, и арбитражер

продает ему акцию за 110 руб. В свою очередь он исполняет опцион с, и покупает ее за 90 руб. На разности цен исполнения он получает

20 руб. дохода и возвращает кредит. Прибыль равна:

20-18,45 = 1,55 руб.

б) 5у < 90руб. Контрагент исполняет опцион р[5 и арбитражер покупает акцию за 90 руб. В свою очередь он исполняет опцион р2,

т.е. продает бумагу за 110 руб., и возвращает кредит. Прибыль равна 1,55 руб.

в) 90руб. < < 1 Юруб. Арбитражер исполняет опционы с, и р2, т.е. покупает акцию за 90 руб. и продает за 110 руб.

Если на рынке существует ситуация:

то портфель А стоит больше портфеля В. Поэтому необходимо продать портфель А и купить портфеля В. Чтобы определить алгоритм действий при продажи портфеля А, умножим его на минус один:

~~Р\)~(С2 ~ Рі)]^ Чс. ~Р\)+ (с2 -Рг).? т.е. продаем одну часть портфеля - а, и покупаем другую часть портфеля - а2. Продавая а{, инвестор продает опцион колл с\ и покупает опцион пут рх. Комбинация этих действий дает синтетическую продажу акции по цене исполнения Хх. Покупая а2, арбитра- жер покупает опцион колл с2 и продает опцион пут р2. Комбинация этих действий дает синтетическую покупку акции по цене исполнения Х2. Покупка портфеля В означает, что арбитражер размещает на депозите под процент г на время Т сумму денег, полученную от продажи портфеля А. В результате исполнения опционов в момент их истечения, акция покупается по цене Х2 и продается по цене Х{. Прибыль арбитражера равна:

_ __ р ^ Х2 -

' ' 2 2 1 + г(Т/база) Поясним данный вариант арбитража на примере.

Пример.

Имеются котировки трехмесячных европейских опционов: Цена исполнения Колл "УТ Щ 90 12 4 100 5 7 110 3 13

Ставка без риска равна 10% годовых.

Определяем стоимость портфеля А для цен исполнения 90 руб. и 100 руб.:

(і 2-4)-(5-7)= \0руб.

Определяем стоимость портфеля В.

100-90 ^

——г- = 9,16 руб.

1 + 0,1(3/12)

Портфель А стоит больше портфеля Я, поэтому возможен арбитраж. Арбитражер продает портфель А, т.е. продает с, за 12 руб., покупает ру за 4 руб., покупает с2 за 5 руб. и продает р2 за 7 руб.:

12-4-5 + 7 = 10 руб.

Размещает данную сумму на трехмесячном безрисковом депозите и к моменту истечения опционов получает по счету:

( 3 ^ 10 1 + 0,1— =10,2 5руб.

В ЭТОТ момент на рынке возможны ситуации:

а) 5у > 100руб. Контрагент исполняет опцион с1, и арбитражер

продает ему акцию за 90 руб. В свою очередь он исполняет опцион с2, т.е. покупает ее за 100 руб. На разности цен исполнения он про-игрывает 10 руб.

10,25-10 = 0,25 руб.;

б) 5у < 90руб. Контрагент исполняет опцион р2, и арбитражер

покупает акцию за 100 руб. В свою очередь он исполняет опцион р,,

т.е. продает бумагу за 90 руб., и проигрывает 10 руб. С учетом полученной по депозиту суммы его прибыль равна 0,25 руб.;

в) 90руб. < 37 < 100руб. Первый контрагент исполняет опцион

с,, и арбитражер продает ему акцию за 90 руб. Второй контрагент исполняет опцион р2, т.е. арбитражер покупает у него бумагу за 100

руб. Прибыль равна 0,25 руб.;

г) 5у = 90руб. Второй контрагент исполняет опцион р2, т.е. ар-битражер покупает у него бумагу за 100 руб. и продает ее на спото- вом рынке за 90 руб. (или исполняет опцион р,). Прибыль равна

0,25 руб.;

д) Лу = 100руб. Первый контрагент исполняет опцион с\, и арбитражер продает ему акцию за 90 руб. В свою очередь он покупает акцию на спотовом рынке за 100 руб. (или исполняет опцион с2).

Прибыль равна 0,25 руб.

Когда арбитражер открывает длинную синтетическую позицию относительно более низкой цены исполнения, то говорят, что он покупает бокс. Если открывает короткую позицию, то продает бокс. В первом примере арбитражер купил бокс, во втором - продал. К моменту истечения опционов стоимость бокса всегда равна разности между ценами исполнения. Соответственно стоимость бокса сегодня, не допускающая арбитраж, равна его стоимости к моменту истечения контрактов, дисконтированной к сегодняшнему дню под ставку без риска, Об этом говорит формула (14.30).