12.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННЕЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ ОПЦИОНА
В каждый данный момент на рынке представлены котировки оп-ционов, по которым инвесторы готовы торговать контрактами. Поэтому формулу Блэка-Шоулза можно использовать в обратном порядке, т. е. определить из нее величину параметра сг , приняв его за неизвестную переменную для определенного значения премии опциона. Полученное таким способом значение волатильности называют внутренней вопатильностью или внутренним стандартным отклонением опциона. Данный показатель представляет собой прогноз рынка отно-сительно волатильности доходности базисного актива к моменту окончания срока действия опционного контракта.
Непосредственно выразить переменную сг из формулы Блэка- Шоулза нельзя. Поэтому значение внутренней волатильности определяют методом подстановки. Это означает, что в формулу подставляют разные значения волатильности и определяют для каждой из них величину премии. Операцию продолжают до тех пор, пока полученная на основании формулы цена опциона не станет равной его рыночной стоимости. Значение а для данной цены и является внутренним стандартным отклонением опциона. Непосредственно внутреннюю волатильность вычисляют с помощью методов бисекций или Ньютона. Рассмотрим оба метода.
12.1.1. Метод бисекций
Возьмем некоторое значение а0, которое больше внутренней волатильности, и определим для него премию опциона. (Обозначим это как нулевой шаг). Цена опциона выше рыночной, поскольку <т0 больше внутренней волатильности. Делим значение сг0 пополам и вычитаем его из сг0 (первый шаг). Полученная величина (сг,) равна:
СГ — сг —.
2 2
Подставляем ее в формулу Блэка-Шоулза и определяем премию опциона.
Если она выше рыночной цены, то это означает, что сг,еще выше значения внутренней волатильности. Поэтому на втором шаге величину <т, опять делим пополам и вычитаем сг, /2 из сг, :
сгг = сг, -сг,/2, (12.1)
На основе значения сг2 вновь рассчитываем премию опциона. Если
на первом шаге полученная премия опциона ниже рыночной цены, то значение сг2 находим, прибавив сг, /2 к сг,:
сг2 = сг, + сг, 12 , (12.2)
и рассчитываем премию опциона. Формулу (12.1) можно записать как:
а формулу (12.2) как:
ег2 = <х, + (Гц / 4.
Если на втором шаге премия опциона для аг все еще выше рыночной цены, то величину сг2 =сг0/4 вновь делим пополам, вычитаем из величины сг2:
сг„ сг, сгп
о о
сг, = сг. - сг. і 8 =
* 4 8 8
и рассчитываем премию опциона на основе значения сг3 = —. Если
8
она оказалась ниже, то вепичину сг3 находим, прибавив сг0/ 8 к сг2:
сг3 - сг2 + сг0 / 8
и рассчитываем премию опциона.
Аналогичные действия продолжают до тех пор, пока премия опциона, вычисленная по формуле Блэка-Шоулза, не станет равной рыночной цене опциона. Полученное значение а является внутренней волатильностью опциона.
Значение внутренней волатильности будет тем точнее, чем больше расчетных шагов, представленных выше, мы предпримем. Любой расчет требует только определенного уровня точности. Поэтому следует задать интервал точности оценки внутренней волатильности. Это можно сделать на основе следующих рассуждений.
В рамках представленного алгоритма действий на первом шаге мы поделили величину сг0 на 2, на втором - на 4, третьем - на 8, на
четвертом - на 16, и т.д. Таким образом, корректировка значения внутренней волатильности на /-м шаге осуществлялась на величину
сгц /2'. Чтобы определить, на каком шаге закончить расчет для точности оценки в пределах требуемого интервала <р, необходимо определить I из неравенства:
сг0 / 2' < <р
или
а,/<р<21. (12.3)
Возьмем натуральный логарифм от обеих частей неравенства (12.3):
1п(сг(} / <р)< 1п2'
или
(12.4)
1п2
"Л *
Таким образом, количество корректировок должно быть целым числом большим, чем значение
1п2
Пример.
Определить количество шагов, чтобы получить внутреннюю волатильность опциона с точностью оценки в пределах интервала 0,001%; сг0 принимаем равной 35%.
Решение.
Количество требуемых шагов равно:
Согласно формуле (12.4) величина /' должна быть больше 15,095. Поэтому для получения точности оценки в рамках заданного интервала требуется осуществить 16 расчетных шагов.