11.2. ГАММА
ад
где у - гамма опциона;
<ЭД - изменение дельты опциона.
Гамма - это вторая производная премии опциона по цене базисного актива. Графически гамма представляет собой кривизну графика дельты, т.е. показывает, насколько быстро меняется кривизна графика дельты при изменении цены опциона. Поэтому ее еще именуют кривизной опциона. Небольшое значение гаммы говорит о том, что дельта опциона изменится на малую величину при изменении цены базисного актива, и наоборот. Большое значение гаммы свидетельствует о высоком риске изменения цены опциона при изменении конъюнктуры рынка. Поэтому неопытному инвестору следует избегать опционов с большой гаммой. Гамма измеряется в дельтах на один пункт изменения цены базисного актива. Она является положительной величиной для длинных опционов коля и пут. Для коротких опционов колл и пут она отрицательна. При повышении цены базисного актива значение гаммы прибавляется к значению дельты, при падении цены - вычитается.
Пример.
Дельта опциона колл равна 0,6, гамма - 0,02. Это означает, что для длинной позиции по опциону при повышении цены базисного актива на один пункт дельта вырастет на 0,02 пункта и составит 0,62 пункта. Напротив, при падении цены базисного актива на один пункт дельта опциона составит 0,58 пунктов. Если инвестор выписал опцион, то дельта его опционной позиции равна минус 0,6, а гамма - минус 0,02. При росте цены базисного актива новое значение дельты составит:
-0,6 + (-0,02) = -0,62;
при падении:
-0,6-(-0,02)--0,58.
Зная величину гаммы, инвестор может поддерживать свою позицию дельта-нейтральной, покупая или продавая базисные активы в соответствии с гаммой опциона.
Пример.
Инвестор сформировал дельта-нейтральную позицию, купив 60 акций и продав 100 опционов колл с дельтой 0,6. Гамма опциона равна 0,02. В следующий момент цена акции выросла на 1 руб. и дельта опциона стала равной 0,62. Для поддержания дельта-нейтральной позиции инвестору необходимо купить дополнительно:
100опционов ¦ 0,02 = 2акции.
Величина гаммы не является постоянной и изменяется с изменением рыночной конъюнктуры. Она достигает максимума для опционов без выигрыша и уменьшается по мере того, как они становятся с большим выигрышем или проигрышем (см. рис. 11.4). Гамма зависит от времени до истечения опциона. Она является наименьшей для опционов, до истечения которых много времени. Когда опционы при-ближаются к их истечению, то для опционов АТМ гамма сильно возрастает, а для ОТМ\а1ТМ- стремится к нулю. Для опционов Л ТМ и близких к ним гамма начинает возрастать по экспоненте за 30-40 дней до окончания контрактов. Рост значения гаммы для опционов, которые скоро истекают, можно представить на основе следующего примера.
Пример.
Рис. 11.4. Зависимость гаммы от цены актива (график симметричен относительно цены исполнения)
I !
m
Гамма зависит от волатильности. Для опционов ATM с ростом волатильности гамма уменьшается, а для опционов ОТМ- немного возрастает.
Знак гаммы имеет большое значение для понимания инвестором динамики своих выигрышей и проигрышей в связи с изменением конъ-юнктуры рынка. Если цена базисного актива идет в благоприятном на-правлении для держателя длинного опциона колл или пут, то он выигрывает деньги в возрастающем темпе, так как дельта за счет корректировки ее на величину гаммы возрастает по абсолютной величине. Когда
Опцион колл на акцию истекает через несколько минут. Цена ис-полнения 100 руб. Цена акции 99,8 руб. Поскольку это опцион ОТМ, его дельта равна нулю.
Как только цена спот акции превысит 100 руб., пусть вырастет до 100,2 руб., его дельта сразу станет равной единице. Таким образом, при небольшом изменении цены акции наблюдается большое изменение дельты. Это говорит о том, что такой опцион имеет большую гамму.цена идет в неблагоприятном направлении, инвестор теряет средства с уменьшающейся скоростью, так как дельта по абсолютной величине убывает. Для продавца опционов возникает обратная ситуация. Он вы-игрывает деньги с замедляющейся скоростью, когда цена базисного актива идет в благоприятном для него направлении, поскольку дельта по абсолютной величине уменьшается. Он теряет средства с ускорением при движении цены базисного актив в неблагоприятном направлении, так как дельта по абсолютной величине возрастает.
Для акций, по которым не выплачиваются дивиденды, значение гаммы можно получить как вторую производную уравнений Блэка- Шоулза по 5 , или продифференцировав по 5 формулы для дельты опционов колл и пут:
Как видно из дифференцирования уравнений (11.7) и (11.8), гамма европейского опциона колл равна гамме европейского опциона пут и составляет:
2
Выше мы рассмотрели вопрос формирования дельта-нейтрапьной позиции. При изменении цены базисного актива необходимо пересматривать состав портфеля, чтобы сохранить его дельта-нейтральность. Инвестору тем чаще придется пересматривать портфель, чем больше значение его гаммы (по абсолютной величине). Поэтому возникает задача формирования гамма-нейтрального портфеля. Ее можно решить следующим образом. Допустим, инвестор имеет дельта-нейтральный портфель с гаммой у1. Он открывает позиции еще по п опционам.
Тогда гамма нового портфеля равна:
уу = у{+ у2п ,
где у2 - гамма дополнительной опционной позиции;
у, - гамма портфеля. Чтобы получить гамма-нейтральный портфель, уу должно быть равно нулю:
+Г2И = 0-
Поэтому инвестор должен открыть позиции по опционам в количестве:
Л =
/2
На практике гамму также как и дельту обычно выражают в процентах или в количестве дельт. Например, дельта опциона равна 60 и гамма 2 или 2 дельты.