11.1. ДЕЛЬТА 11.1.1. Общая характеристика дельты

л ас

а дельту опциона пут как:

А Л

р аз'

где Д( - дельта опциона колл;

Д - дельта опциона пут;

дс-небольшое изменение цены опциона колл;

др - небольшое изменение цены опциона пут;

- небольшое изменение цены базисного актива.

Графически дельта - это угол наклона касательной к кривой за-висимости цены опциона от цены базисного актива (см. рис. 11.1). На рис. 11.1 при цене актива ? дельта равна тангенсу угла а . Дельта длинного опциона колл является положительной величиной, по скольку премия опциона и цена базисного актива изменяются в одном направлении.

Допустим, дельта опциона колл равна 0,6. Это означает, что при небольшом изменении цены базисного актива цена опциона изменится на 60% от этого изменения. Пусть цена акции выросла на 1 рубль. При дельте опциона на акцию 0,6 его цена выросла на 60 копеек. Соответственно при падении курса акции на 1 руб. его премия уменьшилась на 60 коп.

цена

опциона

колл

цена актива

Рис. 11.1. Дельта опциона колл

Теоретически цена опциона не может измениться в большей сте-пени, чем стоимость базисного актива. Поэтому максимальное значение дельты длинного опциона колл равно единице (опцион с большим выигрышем). Нижней границей дельты является ноль (опцион с большим проигрышем). Если дельта равна единице, то премия опциона изменится на один пункт при изменении цены актива на один пункт.

X цена актива

Дельта опциона пут отрицательна, так как при росте цены базисного актива премия опциона уменьшается, а при падении цены возрастает. Ее значения лежат в пределах от нуля (опцион с большим проигрышем) до минус единицы (опцион с большим выигрышем). Опцион без выигрыша имеет дельту порядка минус 0,5 (см. рис. 11.3). Дельта короткого опциона пут учитывается со знаком плюс.

Рис. 11.2. Дельта опциона коля

Аге. 11.3. Дельта опциона пут

Дельты опционов на один базисный актив можно складывать. Например, инвестор купил 100 опционов колл (один опцион на одну акцию) с дельтой 0,6. Тогда общая дельта его позиции (портфеля) равна:

100-0,6-60.

Если инвестор купил опцион колл на акцию с дельтой 0,6 и купил опцион пут на эту акцию с дельтой -0,4, то дельта его портфеля

равна:

0,6+ (-0,4) = 0,2. (11.1)

Дельта не является постоянным числом. Как видно из графиков 11.2 и 11.3, ее величина изменяется с изменением цены базисного актива. Дельта длинного опциона колл возрастает по мере роста курса базисного актива и уменьшаться при ее падении. Дельта длинного опциона пут уменьшается (по абсолютной величине) при росте цены базисного актива и увеличивается при его падении. Значение дельты изменяется с наибольшей скоростью, когда цена базисного актива расположена близко к цене исполнения опциона. По мере удаления цены актива от цены исполнения скорость изменения дельты уменьшается. Значение дельты зависит от времени до истечения опциона. По мере его приближения оно стремится к нулю для длинного опциона колл ОТМ и к единице для длинного опциона колл ITM. Для длинного опциона пут она соответственно будет приближаться или к нулю или к минус единице. Уменьшение времени до истечения опциона А ТМ увеличивает его дельту.

Если рассматривать значение дельты только по абсолютной величине, то в каждый данный момент ее можно интерпретировать как меру вероятности того, что опцион принесет прибыль его держателю. Например, дельта опциона колл равна 0,5. Это говорит о существовании 50%-ой вероятности того, что опцион принесет прибыль. Если дельта опциона колл равна 0,1, то это опцион с большим проигрышем, и, соответственно, вероятность того, что он принесет прибыль, очень мала. Согласно дельте она составляет 10%. Вероятность получить прибыль по опциону с дельтой 0,9 велика, потому что он уже является с большим выигрышем. Соответственно вероятность получить прибыль составляет 90%.

Положительный знак дельты позиции инвестора говорит о том, что он будет выигрывать от роста цены базисного актива и проигрывать от ее падения. Отрицательная дельта означает, что инвестор будет выигрывать от падения курса базисного актива и проигрывать от его роста.

Для европейских опционов колл и пут на один и тот же базисный актив с одинаковыми ценами исполнения и датами истечения контрактов справедливо равенство:

дельта опциона колл - дельта опциона пут — I. (11-2)

Его можно получить из формулы паритета опционов. Продифференцируем формулу (9.1) по 5 :

дсе дХе г7 __ дрг дБ дБ ~ дБ* д8

или

*с =Д,+1. (11.3)

или

Д,-А„=1. (11.4)

Если известна дельта опциона пут, то по формуле (11.3) можно оп-ределить дельту опциона колл с той же ценой исполнения и датой истечения контракта. Соответственно дельта опциона пут равна:

(11.5)

Американский опцион пут стоит дороже европейского, поэтому для американских опционов равенство (11.2) несколько больше единицы.

Значение дельты рассчитывают на основе формул определения премии опциона. Продифференцировав формулы Блэка-Шоулза по 5, получим: дельта европейского опциона колл на акции, по которым не выплачиваются дивиденды, равна величине Аевропейского опциона пут - А^)-1.

11.1.2. Дельта-хеджирование

Дельту можно рассматривать в качестве коэффициента хеджирования для страхования опционной позиции.

Пример 1.

Инвестор продал 100 опционов колл (один опцион на одну акцию) с дельтой 0,6. Общая дельта его позиции равна:

100(-0,б)=-60.

Знак минус говорит о том, что инвестор открыл короткую позицию по опционам. Для хеджирования опционной позиции он покупает акции в количестве равном общей дельте его позиции, т е. 60 акций.

Допустим, что в следующий момент цена акции снизилась на 1 рубль. Тогда по акциям инвестор теряет 60 руб. Однако цена опциона упала на 0,6 рубля, и общая стоимость опционов также уменьшилась на 60 руб. Таким образом проигрыш инвестора по акциям компенсируется выигрышем по опционам, поскольку в случае закрытия опционной позиции он выкупит контракты на 60 руб. дешевле.

Допустим теперь, что цена акций выросла на 1 рубль. Тогда вкладчик выиграл 60 руб. по акциям, но проиграл данную сумму по опционам. Чтобы закрыть опционную позицию ему придется выкупать опционы на 60 руб. дороже.

В примере инвестор купил 60 акций. Дельта акции равна единице, поскольку она определяется как отношение изменения цены акции к нему же самому. Поэтому дельта позиции вкладчика по акциям составляет 60. В результате, общая дельта его портфеля из опционов и акций равна нулю. Позицию с дельтой равной нулю называют дельта-нейтральной или дельта-хеджированной

На практике значение дельты постоянно меняется, поэтому позиция будет оставаться дельта-нейтральной только в течение относительно короткого времени. Чтобы сохранять дельта-хеджированную позицию, вкладчик должен периодически пересматривать портфель, покупая или продавая базисные активы в зависимости от изменения величины дельты.

Пример 2.

Вернемся к условиям примера 1. Допустим, что через некоторое время дельта опциона выросла на 0,01 пункта и составила 0,61 пункта. Это означает, что для сохранения дельта-нейтральной позиции необходимо приобрести дополнительное количество акций, чтобы компенсировать увеличение дельты на 0,01. Следует купить:

0,0Ы00 опционов- 1 акцию.

По мере приближения срока истечения опциона величина дельты убывает для опционов колл ОТМ и увеличивается для опционов 1ТМ. Поэтому поддержание дельта-нейтральной позиции из опционов ОТМ потребует уменьшения количества единиц базисного актива при неизменном курсе, для опционов 1ТМ- их увеличения.

Наиболее удобно рассматривать вопрос хеджирования, когда дельта опциона колл близка к единице или к нулю. Если дельта близка или равна единице, то на каждый проданный опцион покупается акция. Если дельта близка к нулю, то можно выписать непокры-тый опцион, так как цена опциона практически не чувствительна к изменению курса акции. Наибольшей корректировки для поддержания дельта-нейтральной позиции требуют опционы АТМ.

Дельту можно использовать для хеджирования позиции по базисному активу с помощью опционов. Для этого необходимо оп-ределить количество опционных контрактов, которые следует открыть на каждую позицию по базисному активу, чтобы общая дельта позиции инвестора равнялась нулю. В результате, изменение стоимости базисного актива будет компенсироваться ана-логичным, но противоположным по знаку изменением стоимости опционов. Требуемое количество опционных контрактов можно найти, разделив дельту базисного актива (она равна единице) на дельту опциона:

1

количество опционных контрактов = .

дельта

Пример.

Дельта опциона колл равна 0,6. Инвестор покупает 60 акций. Чтобы хеджировать с помощью опциона одну акцию, ему необходимо продать:

1:0,6 = 1,667 опционов.

Для хеджирования позиции по 60 акциям ему следует продать:

1,667 • 60 = 100 опционов .

На практике опционный контракт на акции включает не одну, а много акций, например 1000 или 100 единиц. С учетом этого можно следующим образом представить формулу определения коэффициента хеджирования позиции по базисному активу с использованием дельты опциона:

ко )ффиии^нт количество единиц хеджируемого актива (11.6)

хеджирования даьта опциона количество единиц актива в опционном контракте

Произведение дельты опциона на количество единиц базисного актива в опционном контракте в знаменателе формулы (11.6) дает величину дельты одного опционного контракта.

Пример.

Инвестор страхует покупку 10000 акций с помощью опциона колл. Дельта для одной акции равна 0,25. Один опционный контракт включает 100 акций. Для хеджирования спотовой позиции ему следует продать:

10000

= 400 контрактов.

0,25 100

Если цена акции упадет на 1 руб., то он потеряет по ним 10000 руб. Однако по одному опционному контракту выиграет сумму:

0,25 ¦ 100акций -1 руб. = 25руб.

По четыремстам контрактам его выигрыш составит:

25руб. ¦ 400 = 10000руб.,

что компенсирует потери по акциям.

Дельта говорит о количестве единиц базисного актива, которые следует купить или продать хеджеру для поддержания дельта- нейтральной позиции. Поэтому дельту можно определить в единицах базисного актива. Такое представление дельты удобно для целей хеджирования. Если дельта опциона на акции равна 0,5, можно сказать, что она равна 0,5 акции.

Пример.

Опционный контракт включает 100 акций. Тогда дельта 0,5 эквивалентна для контракта 50 акциям:

ЮОакций ¦ 0,5 = 50акций.

Это означает, что на один проданный опционный контракт хеджеру следует купить 50 акций. Если в последующем цена акции упадет на 1 руб., то по 50 акциям на спотовом рынке инвестор потеряет:

50акций • 1 руб. = 50руб.

Одновременно по опциону он выиграет согласно дельте, выражен-ной в акциях:

50акций -1 руб. = 50руб., что компенсирует убыток по спотовой позиции.

На практике дельта обычно задается в процентах. Тогда дельта длинной позиции по базисному активу равна 100, короткой - минус 100. Дельта опциона 0,6 будет представлена как 60.