10.3.4. Оценка премии опциона на валюту

риска в иностранной валюте.

выплачиваются дивиденды, заменив величину 8{)е'чТ на величину

= Б^е Г/ТЫ{с1х) - Хе ~гТм(д2)

и

19 Определение винеровского процесса см в книге А.Н. Буренина "Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов", М., 2002, параграф 10.1. Ре =Хе~гТМ(-сі2)-80е-г'тМ{-с11),

где .2 Л

1п

+

г - Г/ +

4 =

ч/Г

/С /Л V -

.2 Л

сгТг

5 - курс иностранной валюты в прямой котировке.

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

При оценке премии опциона не играет роли вероятностное рас-пределение курса акции и величина ее ожидаемой доходности, но имеет значение стандартное отклонение доходности акции.

Стоимость опционного контракта определяется не самостоятель-но, а опосредованно через оценку стоимости безрискового портфеля, который инвестор может сформировать из опционов и базисных активов.

Премия опциона на акцию равна дисконтированной стоимости его цен к моменту истечения контракта, где весами выступают риск- нейтральные вероятности роста и падения цены акции. В качестве ставки дисконтирования выступает ставка без риска.

Дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза не включает параметр ожидаемой доходности акции. Это означает, что при оценке стоимости производного инструмента данная переменная не учиты-вается. Если два инвестора имеют разные оценки ожидаемой доходности акции, но их мнения относительно дисперсии ее доходности совпадают, то они одинаковым образом оценят стоимость производного инструмента на эту акцию.

Л =

Модель Блэка-Шоулза предполагает, что процентная ставка и стандартное отклонение доходности акции являются константами, доходность акции имеет логнормальное распределение, цена акции следует процессу Ито.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

Лемма Ито

Лемма Ито показывает зависимость между небольшим изменением значения случайной переменной и небольшим изменением функции этой случайной переменной. Для случайной переменной она выполняет такую же роль как и формула Тейлора для детерминированной переменной.

Пусть функция С - это непрерывная, дифференцируемая функция двух не стохастических переменных х и у. Тогда изменение ее значения можно представить с помощью ряда Тейлора как:

дС . ^ , 1 д2С , -> , 1 д2С J 2 аЬ ах н ау + —ах"+ ахау + —ау +

дх ду 2 дх дхду 2 ду (П 101)

слагаемые более высоких

+

порядков относительно сЬс и ёу.

При с1х 0 и ф 0 можно пренебречь слагаемыми более высоких порядков чем сЬс и (1у , и уравнение (П. 10.1) примет вид:

<Ю=—+ — с1у. (П.10.2)

дх ду

Пусть теперь функция С - это функция стохастических переменных х и следующих процессу Ито:

сЬс = а(х^)сИ + (П.10.3)

(П.10.4)

Перепишем уравнение (П.10.1) для данного случая:

^ дв } дв J I д2в . 1 д С , . 1 Сг . 2

а О ~ <1х + Ж + -сЬс' + сЬсЖ + —т +

дх д( 2 Зх' дхд( 2 дГ

слагаемые более высоких

+

порядков относительно сЬ и с1(.

Если переменные функции С не следуют процессу Ито, то при стремлении с!х и Ж к нулю мы получим такой же результат как и в формуле (П.10.2), опустив слагаемые более высоких порвдков. Однако, когда переменная *(/) не определена четко, а следует процессу Ито, то нельзя

непосредственно использовать приведенное выше правило дифференци-рование, а надо использовать лемму Ито. Лемма Ито - это стохастический эквивалент существующему правилу дифференцирования. В рамках про цесса Ито переменная с1х2 имеет размерность Ж, и ее уже нельзя исключать. Это можно показать следующим образом. Возведем уравнение (П. 10.3) в квадрат, опустив для удобства запись аргументов:

(1х~ = а2с1г + 2аЬху[сЙЖ + Ь2е2Ж . (П.10.5)

Как видно из уравнения (П.10.5), элемент сЬс2 включает в себя сла-гаемое Ь2?2с/( , которое имеет порядок <1х, и поэтому его следует учесть в уравнении (П.10.4).

Дисперсия стандартной нормально распределенной величины равна единице.

Е(?2)-[Е{?)]2 = 1, (П.10.6)

где символ ?¦(•) означает ожидаемое значение или математическое

ожидание величины, стоящей в скобках.

Ожидаемое значение стандартной нормально распределенной

переменной равно нулю, поэтому Е[(?)]2 = 0, и из уравнения (П.10.6) Е(е2) = 1, Отсюда следует, что величина ?1Ж имеет ожидаемое значение равное20 Ж и дисперсию порядка21 йс . При

Ж 0 величину ?гЖ можно рассматривать уже как нестохастическую и равную ее ожидаемому значению Ж, так как ее дисперсия в этом случае стремится к нулю. Поэтому нестохастической

становится и сама величина <1х2. На основании уравнения (П.10.5)

ее значение при <Лг -»0 равно Ь2Ж. В результате уравнение (П.10.4) принимает вид:

Возьмем математическое ожидание от величины е2Ж и вынесем Ж как константу для определенного интервала времени за знак математического ожидания. Учитывая, что Е{б1) = I, получим:

Е(е1ж)= ЖЕ{Б1 ) = Ж \ = Ж.

Возьмем дисперсию величины е2Ж как \аг(^2^).где уаг означает дисперсию.

Возьмем отрезок времени Ж как константу. Тогда по свойству дисперсии постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат, ипи: \ъ\{е2ж} = Ж2 уаг{^2). Отсюда видно, что размерность дисперсии переменной

е2Ж имеет порядок Ж2 .

_ де , ас^ і

с/6 = сіх -4- сії +

а/ 2 ах

(П.10.7)

Уравнение (П. 10.7) представляет собой лемму Ито.

Подставим в уравнение (П.10.7) уравнение (П.10.3), получим формулу изменения цены производного актива:

дЄ / . , дС . 1 д2С ,2 ,

или

Ґ

1

(П.10.8)

сЮ =

а^

дв дС — а + дх

аг 2 а^'

где ^ - процесс Винера.

Если в качестве базисного актива выступает акция, изменение цены которой задается формулой (10.24), то формула (П.10.8) принимает вид:

дС

а2Б2

(Лі + .

дБ

дС 1 д20

— + — + дБ ді 2 дБ2

ПРИЛОЖЕНИЕ 2.

2.1. Дифференциальное уравнение для производного актива на акцию, по которой выплачивается непрерывно начисляемый дивиденд

Сформируем портфель без риска: продадим один производный

асг

актив (с) и купим базисную акцию (5) в количестве —-.

дБ

выплачивается непрерывно начисляемый дивиденд (цены производного актива за время Ж определяется уравнением (10.25), цены акции - уравнением (10.24). Изменение цены производного актива за более длительный период А/ составляет:

{ ^ ^ , \

ас „ас 1 а^с 2_2

иБ + -— + -<т л

А/ + — оБє^Аі , (П.10.9)

АС = цены акции:

ая а/ 2 дБ1

Д5 = рБАі + оБєлІАЇ + дБАї, (П.10.10)

поскольку за этот период на акцию выплачивается дивиденд.? Изменение стоимости портфеля А/7 за период Аґ равно:

оС „ сС 1 д2С > ш + + -сгб

Д/7 =-

2 а?2

д* -—озєтід7+—(/^д/ + о^Тд* + ) а? а? ^ ;

или

і а2с

7 —

Л

/

ас

ас а/

А/. (П.10.11)

А/7 =

2 дБ2 слЯ

Из уравнения (П.10.11) исключен винеровский процесс, поэтому портфель является безрисковым за короткий период времени А/ и должен приносить инвестору доходность на уровне ставки без риска. В результате можно записать:

ас

дЗ

Ж = г

л

/ < ^ Л

д2с 2о2 ас

г<7 Б + —

(П.10.12)

аз2 ая

ді

или

ас дс( і а2с г

+ [г-Я)? + т-сг 8 = гС.

а/ азv 7 2 ая2

Уравнение (П.10.12) - это дифференциальное уравнение для цены производного инструмента на акцию, по которой выплачивается непрерывно начисляемый дивиденд.