10.3. ОЦЕНКА ПРЕМИИ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ НА ИНДЕКСЫ, ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ И ВАЛЮТУ

При оценке премии европейского опциона на индекс его можно представить как акцию, по которой выплачиваются дивиденды. Поэтому премию опциона можно рассчитать по формулам Блэка- Шоулза для акций, по которым выплачиваются дивиденды. При расчете учитываются только дивиденды, выплачиваемые в период действия опциона. Если мы используем формулы со ставкой дивиденда, то ставка дивиденда на индекс определяется как средняя ставка дивиденда. Если инвестор располагает данными об абсолютном значении выплачиваемых дивидендов, то в этом случае начальное значение индекса уменьшают на величину приведенной стоимости дивидендов.

Пример.

Инвестор покупает трехмесячный европейский опцион колл на индекс А с ценой исполнения 245. В момент заключения контракта значение индекса равно 250. Стандартное отклонение доходности индекса составляет 20%. Ожидается, что дивиденды будут выплачиваться на ряд акций в первом месяце, других - во втором, и на оставшиеся акции - в третьем. Для первого месяца непрерывно начисляемая ставка дивиденда равна 1%, второго - 2%, третьего - 3%. Ставка без риска - 10%. Множитель контракта равен 100. Определить стоимость опциона.

Решение.

Ставка среднего дивиденда в расчете на год равна:

ф0/ )+(0Д-0,18+°'2

1 % + 2% +1,5%

12-18%

3

( А л2 \

0,25

I 2 j

dx = ^—== J- = 0,052 ,

0,2^0,25

d2 = 0,052 - 0,2^0^25 = -0,048.

Из таблицы значений функции Лапласа или с помощью программы Excel находим:

N(d,)= 0,5207, N(d2)~ 0,4809.

с. = 250е"°'180'25 -0,5207 - 245е~010'25 -0,4809 = 9,5355руб. Контракт стоит:

9,5355 100 = 953,55 руб.

Американские опционы на индекс стоят больше европейских, так как их досрочное исполнение может оказаться оптимальной стратегией.

10.3.2. Формулы Блэка оценки премии опциона на фьючерсный

контракт

Премии европейских опционов колл и пут рассчитываются с помощью формул, предложенных Ф.Блэком. Предполагается, что фью-черсная цена также как и цена акции имеет логнормальное распределение. Для определения премии опциона фьючерсный контракт рассматривают как акцию, по которой выплачиваются дивиденды. Ставка дивиденда принимается равной ставке без риска г. Такую аналогию можно провести, например, если сравнить дифференциальные уравнения (П.10.12) и (П.10.15) приложения 2. Уравнение (П.10.12) примет вид уравнения (П.10.15), если принять д = г . Поэтому формулу оценки премии опционов на фьючерсный контракт получают на основе формулы для акций, по которой выплачиваются

дивиденды, заменив величину на величину Р0е~гТ:

где

>{%)4Т

сг

.2

Ч%- Тг Г

<Лг = = ^ - стл1Т ;

ал/Т

а - мгновенное стандартное отклонение фьючерсной цены. Фьючерсная цена равна цене спот к моменту истечения срока действия контракта. Поэтому премии двух опционов - опциона на фьючерсный контракт и опциона на актив, лежащий в основе фьючерсного контракта, будут одинаковыми, если фьючерсный и опционный контракты имеют одну и ту же цену исполнения и дату истечения.

10.3.3. Биномиальная модель оценки премии опциона на фьючерсный контракт

В рамках биномиальной модели за каждый данный отрезок времени курс фьючерсного контракта может с вероятностью р пойти на

известную величину вверх или с вероятностью (I - р) вниз, как по-казано на рис. 10.8. В первом случае в конце периода стоимость фьючерса составит величину Ни , во втором - Ид, где И - курс фьючерса в начале периода; и = 1 + процент прироста цены контракта; с! = 1 - процент падения цены контракта.

Ри

Рис. 10.8. Динамика цены фьючерсного контракта в рамках простой биномиальной модели

Сформируем портфель без риска из опциона колл и фьючерсных контрактов: продадим один опцион колл и купим И единиц фьючерсных контрактов. Стоимость портфеля в начальный момент времени равна:

с()-ИН, (10.32)

где с0 - премия опциона в момент его заключения;

И - количество фьючерсных контрактов; И- фьючерсная цена при заключении опционного контракта. Если пренебречь условием внесения начальной маржи, то открытие фьючерсной позиции ничего не стоит инвестору. Поэтому стоимость портфеля просто равна цене опциона, т.е. с0.

В конце периода в случае роста фьючерсной цены стоимость портфеля составит:

с„ - - F), в случае падения цены будет равна:

где си и с, - стоимость опциона соответственно в случае роста и

падения фьючерсной цены;

К{?И - И) И - и) - вариационная маржа по фьючерсным

контрактам соответственно в случае роста и падения цены.

Сформированный портфель является безрисковым, если к моменту истечения срока действия опциона стоимость его одинакова независимо от значения фьючерсной цены. Следовательно, в конце периода:

сн - И{Ии - Г) = с, - А(/ч/ - (10.33)

Отсюда находим значение к :

4= с-"с<

В условиях равновесия на рынке портфель без риска должен приносить инвестору ставку без риска. Поэтому премию опциона находим дисконтированием под ставку без риска стоимости портфеля в конце периода:

с, =

(10.36)

_ с -И(Ии-И)

(10.35)

Я

или

с^И(Исі-И) Я

Подставив значение к из (10.34) в (10.35) или (10.36), получим: ( Ц-1

1І-СІ)

\-с1 и - <3

(10.37)

с +

со =

К

где Я = 1 + ставка без риска.

Ґ1- (и- п величины и и- ¦а) 1"- сі) как риск-

нейтральные вероятности, обозначив их соответственно через р и (!-/>)¦ С учетом сказанного формула (10.37) принимает вид:

с,

К

(10.38)

Мы получили оценку стоимости европейского опциона на фьючерсный контракт в рамках однопериодной биномиальной модели.

Рассмотрим случай, когда до истечения срока действия опциона два периода. Фьючерсная цена в этом случае может принять в конце второго периода три значения: Ри2, Рид, Рс/2 (см. рис. 10.9). Проанализируем вначале второй период. Он состоит из двух однопери- одных моделей. В первой из них цена опциона в начале периода равна си, а в конце периода принимает значения с1Ш или си(/. Во

второй из них цена опциона в начале периода равна с,, а в конце сйи или ссИ. Значения сы и сй можно определить таким же образом, как в случае с одним временным периодом:

(10.39)

с

Р

[рсии + (\-р)сие]

и

Ри2

Рис. 10.9. Двухпериодная биномиальная модель

^ =-[/*¦*+0-/0^]. (10.40)

Л

Подставив значения си и са из формул (10.39) и (10.40) в формулу (10.38), получим:

<-¦ - [р+ 2/7(1 - р)с, + (1 -р)гс,Х (10.41)

Формула (10.41) определяет цену опциона для двухпериодной модели. Согласно данной формуле вероятность того, что опцион к

моменту срока его истечения будет стоить с(Ш равна р2, -

(I - р)2 и = с\1и - 2р(\- р). Сумма всех вероятностей равна 1.

Формула (10.41) вновь показывает, что цена опциона равна дисконтированной стоимости суммы его ожидаемых значений к моменту истечения контракта.

Рассуждения, которые были использованы при определении стоимости опциона для двухпериодной модели, можно использовать и в случае деления времени обращения опциона на любое число периодов. Тогда биномиальная формула примет следующий вид:

\

с =

р'(\-рУ ' шах(0-и'сГ И-Х)

, (10.42)

/ о

где индекс у показывает количество периодов, когда цена фьючерса возрастала из общего числа периодов п.

Формула (10.42) говорит о том, что цена опциона равна дисконтированной стоимости суммы ожидаемых выплат по контракту к моменту его истечения. Весь срок обращения опциона разбит на п периодов. Соот-ветственно в знаменателе Я" - это коэффициент дисконтирования, который учитывает ставку без риска и количество периодов. Числитель показывает ожидаемое значение суммы выплат по опциону с учетом вероятности каждого конкретного исхода. Выражение

п\

р]( 1 - р)п ' показывает вероятность того, что фьючерсная

У

цена будет расти в у периодах из п периодов и падать в (и - /) периодах с учетом всех возможных комбинаций ее роста и падения.

П\

Выражение тах(0,м'<аГ 'И-Х) дает выплату по опциону к моменту истечения контракта, если фьючерсная цена росла в ] периодах на величину и и падала в п- } периодах на величину д .

При расчете премии имеют значение лишь слагаемые, когда опцион оказывается выигрышным к моменту истечения контракта, поскольку остальные слагаемые обращаются в ноль. Поэтому, если через к - обозначить число подъемов фьючерсной цены, чтобы опцион оказался с выигрышем, то формулу (10.42) можно переписать как:

(10.43)

с -

Я"'

,1=к

п\

УК«-У)!

В формуле (10.43) суммирование значений в числителе начинается с периода к. Опцион будет выигрышным к моменту его истечения, если:

ика"~кР>Х (10.44)

или

X

>

ра*

Vй

(10.45)

Чтобы определить значение к, возьмем натуральный логарифм от обеих частей неравенства (10.45). Получим:

к > 1п

1л

X

и

(10.46)

рап

Из неравенства (10.46) следует;, что к должно быть целым числом, большим чем:

щ-^/ь«.

рап I а

Если к больше то с = 0, так как фьючерсная цена за все периоды п не превысит цену исполнения (Л).

Полученную модель можно применить и для определения премии опциона пут. Она имеет вид:

с -

Я\ (Ю.47)

УК"-У)!

Мук »-у

По сравнению с формулой (10.43) здесь учтены следующие изменения. Стоимость опциона пут перед моментом истечения равна Х-и]ап }Р. Через к обозначено количество движений фьючерсной цены вверх, в результате которых опцион колл становится выиг-рышным. Поэтому опцион пут будет выигрышным, если количество движений фьючерсной цены вверх не превысит величину к -1 .

Чтобы воспользоваться биномиальной моделью для практических целей, необходимо определить значения роста и падения фьючерсной цены, т.е. величины и и с!. Процесс, которому следует динамика фьючерсной цены, является винеровским.19 Биномиальное распределение должно быть построено таким образом, чтобы при делении периода действия опционного контракта на большое количество периодов, биномиальный процесс сходился к винеровскому. Мы получим такой результат, если и и с! будут иметь следующие Значения:

и = = (10.48)

и

Р = —г (Ю.49)

и-а

где а - стандартное отклонение доходности, рассчитанной на основе фьючерсной цены, т.е. величины

А/ - период времени, представленный в долях года. Биномиальную модель можно использовать для оценки премии американских опционов на фьючерсные контракты. Различие моделей для европейских и американских опционов аналогично случаю американских и европейских опционов на акции, рассмотренном в параграфе 10.1 4.