10.2. МОДЕЛЬ БЛЭКА-ШОУЛЗА
10.2.1. Дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза
Сформируем портфель без риска из производного актива и базисных акций: продадим производный актив и купим акции. Изменение цены акции за время <1г определяется уравнением:11
(ЛБ =/иМг + о8е4ж , (10.24)
где ? - цена акции;
р - мгновенная ожидаемая доходность акции;
а - мгновенное стандартное отклонение доходности акции;
? - стандартная нормально распределенная случайная переменная;
х -время;
?л1~сй = сО? - винеровский процесс.12 Изменение цены производного актива на акцию, согласно лемме Ито, определяется формулой:13
fdG „ dG 1 d2G л
Iis + ^L + L^^s1 dt + —oS?Jdi , (10.25)
dG =
2
J
ydS dt 2 dS где G - цена производного актива.
6S
Интересно отметить следующий факт. Как пишет М.Шоулз "...Фишер Блэк и я столкнулись с большими трудностями в опубликовании нашей статьи о ценообразовании опционов. Многие рецензенты полагали, что она была спишком неясная (arcane) и представляла интерес только с технической точки зрения." (M.S Scholes. "Merton H.Miller: Memories of a Great Mentor and Leader; //The Journal of Finance, August 2001, Vol.56, №4, p.1180), И только такие известные экономисты в области финансов как М.Миллер и Е. Фама убедили руководителей журнала "The Journal of Political Economy" напечатать статью.
Вывод уравнения см. в книге А.Н.Буренина "Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов", М., 2002, глава 10.
Определение винеровского процесса см. в книге А.Н.Буренина "Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов", М., 2002, глава 10.
Вывод уравнения см. в приложении 1 к настоящей главе.
Оба уравнения содержат один и тот же стохастический элемент - винеровский процесс. Чтобы сформировать портфель без риска, необходимо исключить его из динамики стоимости портфеля. В формуле (10.24) винеровский процесс представлен величиной оБє^[аі ,
в формуле (10.25) - величиной —оБє^аі . Таким образом, если
дБ
мы продаем один производный актив, то для исключения процесса
Винера из динамики стоимости портфеля надо купить акции в про-
дс
порции —. Поэтому стоимость портфеля без риска (П) равна:
дБ
За время Л стоимость портфеля изменяется на величину:
<Я7 = -Л? +—(10.26)
дБ
дС 0 дС 1 д2С
иБ +— + усгЗ
дБ дї 2 дБ1
Подставим в уравнение (10.26) значения с/Б и <Ю соответственно из уравнений (10.24) и (10.25):
СІП = -
ж- — о$є4Іі + — (і&ск + а8є Л&І) дБ дБ ^ 1
или
2 о 2
(10.27)
аП =
а 1Б
аг.
ЗО 1 д2Р ді 2 дБ7
Уравнение (10.27) не включает стохастический элемент и, следовательно, риск. Поэтому за (мгновенный) период сії портфель является безрисковым и должен приносить инвестору доходность на уровне ставки без риска.14 В результате можно записать:
( д(3
Ж ~ г - С + ?
дв 1 д2С
2 а2
ст'Б
Л
ді 2 дБ-
у
дБ
или
14 Если доходность портфеля будет выше или ниже ставки без риска, то откроется возможность совершить арбитражную операцию. В результате равновесие восстановится. дС дСт 1 д2Ст
гсг252 = гС.
(10.28)
15 Уравнение (10.28) - это дифференциальное уравнение Блэка- Шоулза. С его помощью можно определить стоимость любых производных активов на акцию, по которой не выплачиваются дивиденды. Для разных типов производных инструментов уравнение имеет раз-ные решения в зависимости от граничных условий. В частности для европейского опциона колл к моменту истечения контракта это с = тах(5 - Х$), а для пут - р = тах(ЛГ - 5,0).
Уравнение (10.28) не включает параметр р. Это означает, что при оценке стоимости производного инструмента не учитывается ожидаемая доходность базисной акции. Таким образом, если два инвестора имеют разные оценки ожидаемой доходности акции, но их мнения относительно дисперсии ее доходности совпадают, то они должны одинаковым образом оценить стоимость производного инструмента на эту акцию.15 Уравнение не содержит параметр //, а значит и не учитывает предпочтения инвесторов в отношении риска.16 Поэтому при оценке стоимости производного актива правомерно использовать модель, в которой инвесторы нейтральны к риску. Сле-довательно, для целей дисконтирования ожидаемой стоимости производного инструмента можно использовать ставку без риска.