10.2. КРИВАЯ ВОЛАТИЛЬНОСТИ
Если рынок действительно руководствуется теми соображениями, которые были положены в основу формул для теоретической стоимости опционов, то полученная кривая волатильностей для одного месяца исполнения должна быть горизонтальной прямой.
Действительно, каждый участник торгов составляет для себя прогноз волатильности и при наличии запаса по волатильности, который представляется ему существенным, готов покупать недооцененные и продавать переоцененные опционы. Если опционы на разных страйках имеют различную опционную волатильность, то покупатели сосредоточат спрос на наиболее дешевых в терминах опционной волатильности, а продавцы - на наиболее дорогих (для увеличения запаса по волатильности и уменьшения риска ошибки прогноза), что приведет к выравниванию цен в терминах волатильности.Анализ реальных премий показывает, что этот вывод подтверждается лишь отчасти: как правило, опционные волатильности на соседних страйках близки, а кривая волатильности представляет собой плавную линию без резких перепадов. Однако чем сильнее страйк удаляется от цены базисного актива, тем заметнее отклонение волатильности от основного значения, в качестве которого принимается значение в центральном страйке. Это означает, что рынок принимает во внимание дополнительные факторы, которых не учитывает упрощенная модель движения цены базисного актива, положенная в основу теории.
Типичный пример кривой волатильности приведен на рис. 10.1. В таблице 10.1 показаны расчетные цены по опционам на фьючерс, базисным активом которого является западнотехасская нефть (NYMEX). Расчетная фьючерсная цена при этом была равна 2522 цента за баррель. страйк 2150 2200 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650 2700 2800 2900 3000 Колл 373 324 276 228 183 143 107 76 52 33 22 14 6 2 1 Пут 1 2 4 6 11 21 35 54 80 111 150 192 284 Таблица 10.1
На всех страйках, где даны цены опционов колл и пут, выполняется пут-колл паритет (5.6), поэтому опционные волатильности коллов и путов на одном страйке совпадают. На рисунке 10.1 наряду с кривой волатильности показаны графики цен опционов.
Рис. 10.1. Цены опционов и кривая волатильности Рис. 10.2. Кривые волатильности на торгах в FORTS
Еще один пример кривых волатильности дает рис. 10.2, где данные получены обработкой сделок, заключенных в FORTS по июньским 2002 г. опционам на фьючерс на акции РАО «ЕЭС России». Цена фьючерса 22.05.02 и 5.06.02 колебалась в окрестности 5200 и 4200 соответственно.
Кривая на рис. 10.1 и нижняя кривая на рис. 10.2 характеризуются приподнятостью обеих ветвей по отношению к значению в центральном страйке. Кривая волатильности такой формы имеет название улыбки волатильности (volatility smile) и имеет простое объяснение. Дело в том, что гипотеза логнормальности распределения цены базисного актива в будущие моменты времени предполагает умеренные колебания цены. Вероятность резких скачкообразных изменений цены в соответствии с этой моделью очень быстро убывает с величиной скачка (известное «правило 3а»» - см. раздел 3.2). Так, исторической волатильности цены акции в 40% соответствует дневная волатильность 2.5%, при которой дневные колебания цены акции более 7-8% должны иметь вероятность порядка 0.003, или происходить не чаще одного раза в год. Реально, как известно, такие и большие изменения цены случаются гораздо чаще. Продавцы опционов всегда должны иметь в виду возможность возникновения подобной ситуации, которая для них будет сопряжена со значительными и даже, может быть, катастрофическими потерями (при скачке цены вверх для продавцов опционов колл и при падении для продавцов опционов пут). Если сопоставлять риск таких потерь с премией, полученной от продажи опционов, то наиболее уязвимой оказывается позиция продавцов дешевых опционов - опционов глубоко вне денег. Для компенсации дополнительного риска стоимость этих опционов увеличивается по сравнению с теоретическим значением, которое соответствует значению опционной волатильности в центральном страйке, причем увеличение может быть в несколько раз как в терминах волатильности, так и в денежном выражении.
Фактическое распределение дневных изменений цены отличается от логнормального с тем же средним и волатильностью так, как показано на рис.
10.3: реальный процесс имеет тенденцию чаще оказываться вблизи среднего значения при спокойном развитии рыночной ситуации, но это компенсируется время от времени возникающими периодами «больших скачков» (про такое распределение говорят, что оно имеет
Рис. 10.3. Утяжеление «хвостов» реального распределения скачков цены
тяжелые или жирные хвосты - fat tails). Отклонение от логнормальности приводит к тому, что теория занижает стоимость опционов глубоко вне денег по отношению к опционной волатильности на деньгах.
Другим типичным отклонением от логнормальности является асимметрия распределения изменений цены базисного актива (skew), которая выражается в приподнятости одной ветви кривой волатильности по отношению к другой. Такая ситуация возникает тогда, когда рынок «чувствует», что в одном из направлений возможно более значительное изменение цены базисного актива, чем в другом. Например, если ожидается более резкое падение цены, то опционы пут вне денег оказываются дороже соответствующих опционов колл вне денег, чьи страйки симметрично расположены по отношению к центральному страйку, а это приводит к приподнятости левой ветви кривой волатильности по отношению к правой. Такая ситуация, и даже в более сильном варианте - монотонно убывающая с ростом страйка кривая волатильности (volatility skew) - характерна для опционов на фондовые индексы, исторические данные о которых демонстрируют большую вероятность резкого падения, чем такого же резкого роста. Однако на рис. 10.2 верхняя кривая (для 5.06.02) демонстрирует положительный наклон, что можно интерпретировать как ожидания роста цены фьючерса после значительного падения.
Неодинаковость опционных волатильностей на разных страйках означает, что участники торгов при выставлении котировок явно или неявно ориентируются на модель движения цены, отличающуюся от принятой при выводе формулы стоимости опциона (или численного метода). К полученным таким образом опционным волатильностям подходит известное шуточное «определение»: «the wrong number to put into the wrong formula to obtain the correct price» (R. Rebonato, Volatility and Correlation, 1999). Имеются подходы к тому, как по наблюдаемым ценам опционов подобрать более адекватную модель движения цены базисного актива. Однако эти способы учета реальных цен опционов достаточно сложен и выглядит более абстрактным, чем непосредственный учет кривых волатильности (или поверхностей волатильности, если одновременно торгуются опционы с различными датами исполнения). Какой именно из «неправильных» способов расчета стоимости опционов при этом использовать, определяется компромиссом между его простотой и степенью соответствия модели реальным условиям.
Рассмотрим более детально пример торгов в FORTS фьючерсами на акции РАО «ЕЭС России» с исполнением 17 марта 2003 года и опционами на эти фьючерсы за период 15.12.02 - 14.02.03. Всего за указанный период было совершено около 5000 сделок с опционами.
. 10.4. Распределение оборотов по страйкам Рис. 10.5. Распределение временных сдвигов
На рис. 10.4 показано распределение оборотов по отдельным сериям. Сопоставим каждой опционной сделке цену фьючерсной сделки, непосредственно предшествующей ей во времени. Временные сдвиги между такими сделками характеризуют неравномерность торговой активности во времени (рис. 10.5), и эта асинхронность вносит свою погрешность в последующие результаты.
Для расчета опционных волатильностей был использован метод Кокса-Росса- Рубинштейна с процентной ставкой r = 10% .
Рис. 10.7. Кривые волатильности
60 50 40 30 20 Рабочих дней до даты экспирации
Рис. 10.6. Опционные волатильности, страйк 4500
На рис. 10.6 представлены результаты расчета опционных волатильностей для опционов колл и пут на страйке 4500. По горизонтальной оси отложено время как количество рабочих дней до даты экспирации опционов (точнее, торговых сессий, причем в ходе торговой сессии время выражается дробным числом). Отдельные точки на графике образуют «облако», для анализа которого приходится прибегать к усреднению. Этот разброс обусловлен, в том числе, отмеченной выше асинхронностью фьючерсных и опционных цен. Если усреднить отдельные точки гладкой кривой, как показано на рисунке, то волатильности опционов колл и пут оказываются распределенными приблизительно симметрично относительно этой кривой. Будем в дальнейшем использовать значения на полученной кривой как единую опционную волатильность обеих серий на страйке 4500. Для обеспечения согласованности данных в дальнейшем потребуется аналогичным способом сглаживать и фьючерсную цену. По мере увеличения интенсивности операций сглаживание опционных волатильностей будет требоваться все в меньшей степени, и можно будет говорить о почти моментальном снимке рыночной ситуации.
На рис. 10.7 показаны кривые волатильности для двух дней, отстоящих от даты экспирации на указанные сроки (кривые даются на середины соответствующих торговых сессий). Эти кривые имеют типичную форму улыбки волатильности (volatility smile) — левая и правая ветви кривой приподняты. В данном случае биномиальный метод представляется наиболее подходящим, однако и формула Блэка стоимости опционов на фьючерсы с r = 0 дает достаточно близкие с практической точки зрения результаты.
Рис. 10.8. Горизонтальные сдвиги кривой волатильности
Рассмотрим типичные изменения кривой волатильности ото дня ко дню. Этот анализ может быть полезен как с точки зрения выработки торговых стратегий, так и оценки рисков позиции. Естественно предположить, что при движении цены базисного актива кривая волатильности, в первом приближении, параллельно смещается вправо или влево вслед за ценой (Коннолли К., Покупка и продажа волатильности, 2001). На рис. 10.8 показаны график цены базисного фьючерса и его сглаженный вариант. Кроме того, для каждого момента времени дана точка X_min, в которой кривая волатильности типа изображенных на рис. 10.7 достигает минимума. Непосредственно видно, что в целом X_min следует за сглаженной ценой базисного фьючерса F_cma>.
Наряду с горизонтальными сдвигами меняется и общий уровень кривой волатильности, который можно характеризовать высотой ее нижней точки Y_min (рис. 10.9). Этот уровень приблизительно можно отслеживать в темпе реального времени с помощью индикатора опционной волатильности VES, по смыслу являющегося волатильностью опционов вблизи денег.
Рис. 10.10. Параллельные сдвиги кривой волатильности
Наиболее значительные дневные изменения кривой волатильности происходят на отрезке нисходящего тренда фьючерсной цены приблизительно между 45 и 30 днями до даты экспирации. На рис. 10.10 для примера показаны три кривые:
кривая волатильности для 38 дня до даты экспирации (пунктир);
кривая волатильности для 37 дня до даты экспирации;
результат горизонтального и вертикального сдвигов первой из указанных кривых:
o горизонтального - на величину изменения цены базисного фьючерса (влево на 115);
o вертикального - на такую величину, чтобы достичь наилучшего совпадения с
кривой 37-го дня во всех страйках (вверх на 0.7). Благодаря двум указанным перемещениям результирующая кривая располагается значительно ближе к кривой волатильности 37 дня, чем исходная кривая 38 дня. Оптимальный вертикальный сдвиг обычно близок к изменениям Y_min.
Поскольку горизонтальные сдвиги кривой волатильности «привязаны» к движениям фьючерсной цены, возникает возможность уточнить прогноз стоимости опциона. Рассмотрим опцион С4500 за 38 дней до экспирации, когда фьючерсная цена равна 3940 (рис. 10.11). Опционная волатильность этой серии равна 42.6%. Если рассчитать стоимость опциона при этой постоянной волатильности, то получается тонкая кривая, обозначенная «sigma_0 = 42.6». График «sigma = sigma(F)» построен с учетом того, что при движении фьючерсной цены кривая волатильности будет параллельно сдвигаться вправо-влево и из-за этого опционная волатильность на страйке 4500 будет изменяться приблизительно вдоль касательной АА на рис. 10.10. При снижении фьючерсной цены кривая волатильности будет смещаться влево, опционная волатильность на страйке 4500 будет возрастать, поэтому стоимость опциона будет больше, чем для постоянной волатильности 42.6%. При движении цены фьючерса вверх эффект будет обратным. Уточненный график стоимости опциона имеет коэффициенты дельта и гамма, заметно отличающиеся от рассчитанных по стандартной методике при постоянной волатильности. Это непосредственно видно из рис. 10.11, 10.12, последний из которых получен поворотом каждого из графиков рис. 10.11 относительно точки А на угол, задаваемый соответствующим коэффициентом дельта, для получения дельта-нейтральной позиции.
Рис. 10.11, 10.12 являются результатом подстановки в метод расчета стоимости опциона аналитической аппроксимации пунктирной кривой из рис. 10.10. Коэффициент
дельта может быть скорректирован и более простым способом. Для этого необходимо рассчитать:
стандартный коэффициент дельта для постоянной волатильности: А = 0.24;
коэффициент чувствительности стоимости опциона к волатильности: Vega = 4.63 ;
степень наклона касательной АА в точке 4500, то есть изменение опционной волатильности вдоль линии АА при смещении в точку 4501: х = 0.015 .
Скорректированный коэффициент дельта вычисляется по формуле:
А = А - Vega * х = 0.24 - 4.63 * 0.015 = 0.17 (10.1)
Рассмотрим один пример использования скорректированных коэффициентов. Предположим, что фьючерсная цена меняется в соответствии со сглаженной кривой на рис. 10.8, и за 38 дней до даты экспирации сформирована дельта-нейтральная позиция: куплено 100 опционов С4500 и продано 17 фьючерсов. График «sigma = sigma(F)» на рис. 10.11 как раз показывает стоимость этой позиции в расчете на один опцион. В дальнейшем при изменении фьючерсной цены и цены опциона ежедневно определяется новая опционная волатильность, по формуле (10.1) рассчитывается новый коэффициент дельта и фьючерсная позиция корректируется для поддержания дельта-нейтральности. Результат операции приведен в таблице 10.2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Дней до экспираци и Цена фьючерс а Цена С4500 Опционна я волат. % Фьючерсна я позиция Стоимость портфеля Изм . 1 Погрешност ь сдвига Гамма фактор Тета
факто р Вега
факто р Изм . 2 Изм. 3 38 3940 83 42.6 -17 8300 0 0 0 0 0 0 37 3825 68 45.4 -12 8755 455 1.2 196 -252 575 519 126 0 36 3726 60 48.6 -10 9143 843 1.5 311 -492 1176 995 234 1 35 3665 53 50.2 -10 9053 753 0.4 341 -733 1306 914 273 9 34 3568 43 52.4 -8 9023 723 0.4 416 -969 1437 884 329 1 33 3573 43 52.8 -9 8983 683 0.5 416 -1181 1561 796 322 6 32 3635 48 52.4 -11 8925 625 0.7 445 -1400 1750 795 292 0 31 3695 53 51.7 -12 8765 465 0.0 482 -1638 1767 610 252 0 30 3711 52 51.6 -12 8473 173 0.1 486 -1897 1796 385 216 4 Таблица 10.2. Динамический хедж
В колонке 6 дана стоимость портфеля с учетом накопленной вариационной маржи по фьючерсам. Колонка 7 показывает изменение стоимости портфеля по отношению к начальной. Если портфель действительно является дельта-нейтральным, то изменения его стоимости не должны зависеть от направления движения цены фьючерса, а определяться суммарным влиянием следующих факторов:
«гамма-фактора» 0.5r(dF)2, где Г - коэффициент гамма, dF - изменение фьючерсной цены за период между ежедневными коррекциями фьючерсной позиции; в графе 9 этот фактор дан нарастающим итогом (аналогично в графах 1013);
«тета-фактора», то есть уменьшения стоимости опциона с течением времени, определяемого коэффициентами тета 0 для каждого из дней (колонка 10);
• «вега-фактора», то есть изменения стоимости позиции в зависимости от уровня опционной волатильности. Уточненный коэффициент дельта рассчитан на линейную зависимость опционной волатильности от фьючерсной цены вдоль линии АА рис. 10.10. Однако между таким линейным прогнозом и реально наблюдаемой опционной волатильностью возникает рассогласование, вызванное нелинейностью кривой волатильности, ее общими вертикальными сдвигами, а также локальными колебаниями в отдельно взятом страйке. Это рассогласование на страйке 4500, указанное в графе 8, для всех дней оказалось положительным, что дало положительный вклад в стоимость опционов (графа 11).
В данном примере волатильность сглаженной цены фьючерса оказалась близка к 30%, что меньше опционных волатильностей в графе 4. По этой причине гамма-фактор не компенсирует тета-фактор, однако благодаря повышению общего уровня кривой волатильности суммарный итог всех трех факторов оказывается положительным (графа 12). С учетом дискретности фьючерсной позиции и того, что сами коэффициенты чувствительности лишь приблизительно, «в малом», описывают колебания стоимости портфеля, числа в колонках 7 и 12 достаточно близки.
Для сравнения в последней графе даны величины, рассчитанные так же, как и в графе 7, однако с использованием стандартного коэффициента дельта. Поскольку в этом случае короткая позиция по фьючерсам больше (например, в первый день операции не 17, а 24), возникает чувствительность позиции к направлению движения фьючерсной цены. В данном конкретном примере цена фьючерса падала и это положительно сказалось на стоимости портфеля. Однако целью операции было формирование дельта-нейтральной позиции, безрисковой по отношению к направлению движения цены фьючерса, и эта цель не была достигнута. Если бы фьючерсная цена росла, или речь шла о противоположной стратегии — продаже опционов и покупке фьючерсов, то потери были бы столь же существенными.