10.1.6. Биномиальная модель для акций, по которым выплачиваются дивиденды

1) Курс акции на дату учета снижается на величину выплачиваемого дивиденда. Поэтому дерево распределения цены акции принимает вид, как представлено на рис. 10.6. Данный рисунок характеризует случай, когда известна ставка дивиденда. Ее величина равна ц.

Начиная с даты учета, и для всех последующих точек пересечения вет-вей дерева, курс акции корректируется на величину 1 - ц . Если в течение действия контракта дивиденд выплачивается несколько раз, данная корректировка проводится соответствующее число раз. В остальном техника определения премии опциона аналогична рассмотренной выше схеме для акции, по которой не выплачиваются дивиденды.

Рис. 10.6. Дерево распределения цены акции, для которой известна ставка дивиденда: дивиденд выплачивается один раз

2) Инвестор располагает данными об абсолютной величине ожидаемого дивиденда. На дату учета стоимость акции падает на эту величину. Сделаем допущение о том, что цена акции в каждый момент времени состоит из двух частей: чистой цены, т.е. цены без дивиденда, и приведенной стоимости будущего дивиденда. После такой посылки для определения премии опциона можно воспользоваться построением дерева распределения, как и для акции, по которой не выплачиваются дивиденды. В расчетах стандартное отклонение доходности акции берется для ее чистой цены. Значение цены акции в каждой точке пересе-чения ветвей дерева, за исключением даты учета, представляет собой сумму ее чистой цены и приведенной стоимости дивиденда для соответ-ствующего момента времени. Поясним сказанное на примере.

Пример.

Инвестор планирует купить четырехмесячный американский опцион пут на акции.

руб., ставка без риска -10%. Дата учета наступает через три месяца, дивиденд равен 3 руб. Определить премию опциона, если время действия контракта разбивается на четыре периода (месяца). Решение.

Один месяц составляет 0,0833 часть года. Таким образом, Ы = 0,0833 . Рассчитаем темпы роста и падения цены акции и риск-

нейтральные вероятности:

и = = 1,1063; а = =0,9039; =е1)|(М,М1 =1,0084;

1,0084-0,9039

р = ^ 0,5163;

1,1063-0,9039

1-/7 = 1-0,5163 = 0,4837.

Рассчитаем приведенную стоимость дивиденда на дату заключения контракта:

3^-0,10,25 =2,93 руб.

Чистая цена акции в этот момент составляет:

48 - 2,93 = 45,07 руб.

Чистая цена акции в точке Би (конец первого периода) равна:

45,07-1,1063 = 49,86дуб.

Приведенная стоимость дивиденда в этот момент составляет:

Зе-°-|О-,667 = 2,95дк0. Полная цена акции в точке Бы:

49,86 + 2,95 = 52,81/?уб.

Чистая цена акции в точке Би2 (конец второго периода) равна:

45,07-1Д0632 =55,16руб. Приведенная стоимость дивиденда в этот момент:

3^',(МШЗ=2,98 руб.

Полная цена акции в точке Би1 равна:

55,16+ 2,98 = 58,14руб.

В точке Би * (конец третьего периода) чистая цена акции составляет:

45,07-1,1063' =61,02 руб.

Рис. 10.7. Дерево распределения цены акции и премии американского опциона пут на акцию с выплатой известного дивиденда: верхние числа - курс акции, нижние - премия опциона

14,91 5с14

48 2,18

момент 11,15 руб. Однако, в случае его исполнения в это время инвестор получит 11,71 руб., поэтому его цена должна равняться этой величине. Аналогичная ситуация и с точкой (конец третьего периода), в которой цена опциона должна составить 4,26 руб. После-довательным дисконтированием цен опциона для каждого узла дерева распределения находим: в момент заключения контракта его цена равна 2,18 руб.

Биномиальная модель используется для оценки премии американских опционов. Премии европейских опционов рассчитываются с помощью аналитических формул. Основополагающей из них является формула Блэка-Шоулза, которую мы рассмотрим в следующем параграфе.

К данной цене дивиденд не прибавляется, так как в этот день он выплачивается акционерам. Цена акции в точке Би4 (конец четвертого периода) равна:

45,07-1,10634 =67,51 руб.

Аналогичным образом рассчитывается цена акции для каждой точки пересечения ветвей дерева (см. рис. 10.7). Необходимо обратить внимание на точку Б^. Согласно расчетам, опцион стоит в этот