10.1.3. Многопериодная биномиальная модель

. (10.14)

р (\-рУ >тгх(0:іґс1" ^-Х)

Формула (10.14) говорит о той, что цена опциона равна дисконтированной стоимости суммы ожидаемых выплат по контракту к моменту его истечения.

Соответственно в знаменателе К" - это коэффициент дисконтирования, который учитывает ставку без риска и количество периодов. Числитель показывает ожидаемое значение суммы выплат по опциону с учетом вероятности каждого конкретного исхода. Поскольку мы рассматриваем биномиальный процесс, то в каждом периоде цена акции может пойти либо вверх с вероятностью р, либо вниз с вероятностью

(I-/?). Индекс у показывает количество периодов, когда цена акции возрастала из общего числа периодов п. Величина (л-у) соответственно говорит о количестве периодов, в течение которых цена акции падала. Знак суммы в формуле показывает, что количество возможных вариантов роста цены акции имеет диапазон от у = 0 до / = п .

Рассуждения, которые были использованы при определении стоимости опциона для двухпериодной модели, можно использовать и в случае деления времени обращения опциона на любое число периодов. Тогда биномиальная формула примет следующий вид:? При j = 0 оценивается вероятность падения цены акции в каждом

периоде. При j = n оценивается вероятность роста цены акции в

каждом периоде. Оцениваются все возможные комбинации движений цены акции за п периодов. Как мы видели в случае двухпериодной модели при п = 2, величина Sud могла быть получена двумя способами. Первый: значение S вначале выросло до Su, а затем упало до Sud . Второй: значение S вначале понизилось до Sd л а затем выросло до Sdu. Так как Sud = Sdu , то в обоих случаях был получен одинаковый результат. Когда п состоит из еще большего числа периодов, то таких сочетаний, которые дадут одно и то же значение цены акции вне зависимости от последовательности роста и падения цены, становится больше.

п\

У! (и-./)!

как раз и показывает количество различных комбинаций движения цены акции, которые дают одну и ту же цену к моменту истечения контракта. Выражение п\ - это и-факториал. Оно определяется как и!= я(л-1)(л-2)...1.5 Значение 0! равно единице.

Выражение р'(1-р)пговорит о вероятности события, когда курс акции вырастет j раз и упадет п~ j раз.

ri

Выражение РУ 7 показывает вероятность того,

УЧи-У)!

что цена акции будет расти в j периодах из п периодов и падать в («-у) периодах с учетом всех возможных комбинаций роста и падения цены акции.

Выражение max(0,M'af"~7S,-Ar) дает выплату по опциону к

моменту истечения контракта, если цена акции росла в j периодах на величину и и падала в п- j периодах на величину d .

Пример 3.

S- 100 руб., п = 3 периода, Х - 105руб., и = 1,2; d = 0,8, ставка без риска для одного периода равна 2%. Определить стоимость опциона. Решение.

Вначале найдем значения р и (1 - р).

5Например, 5Ь5-4<3-2-1 = 120.

292 Е-<і _ 1,02-0,8 м - сі ' 1,2 - 0,8

- 0,55

Р =

1 - /? = 0,45.

Премия опциона равна:

— 055° 0453тах(0 12° 0.83 100-105) + —0« 04<52тах<0 12 0 82 100-10^) + 041 1'2'

+ —0.552 0,4?ттх<0. 1 22 0,8 100-Ї05) + —-0.55Л 0,45° тах(0 1 23 0,8° 100-105) 241 ТО'

= [о,091 0 + 0,334 0 + 0,408 10,2+0,166 = |4^53 Ру6

1,023 =

Как видно из примера, при расчете премии имеют значение лишь слагаемые, когда опцион оказывается выигрышным к моменту истечения контракта, поскольку остальные слагаемые обращаются в ноль. Пусть к - это число подъемов цены акции, чтобы опцион оказался с выигрышем. Тогда формулу (10.14) можно переписать как:

п\

2Ъ

(10.15)

с =

/Г'

р'(\~ рУ \и'<1п 'Б-Х)

/ А

В формуле (10.15) суммирование значений в числителе начинается с периода к, Опцион будет выигрышным к моменту его истечения, если:

иЧ" кБ> X. (10.16)

Запишем неравенство (10.16) следующим образом:

г \к

(10.17)

{ и '

сі"Б>Х

\и ;

или

\(і) БсГ

Чтобы определить значение к, возьмем натуральный логарифм от обеих частей неравенства (10.17).

к> 1п

1п —.

сі

X

(10.18)

Из неравенства (10.18) следует, что к должно быть целым числом, большим чем:

Ш * /ш".

&г/ а? Если к больше п, то с = 0, так как курс акции за все периоды п не превысит цену исполнения (Л"),

Полученную модель можно применить и для определения премии опциона пут. Она имеет вид:

. (10.19)

По сравнению с формулой (10.15) здесь учтены следующие измене-ния. Стоимость опциона пут перед моментом истечения равна Х-иЧп~}Б. Через к мы обозначили количество движений цены акции вверх, в результате которых опцион колл становится выиг-рышным. Следовательно, опцион пут будет выигрышным, если количество движений цены акции вверх не превысит величину к -1.

В биномиальной модели мы воспользовались приемом риск- нейтральной оценки, т. е. изменили риск финансовых активов, чтобы в качестве ставки дисконтирования взять ставку без риска. Подобное изменение риска правомерно, если вместо действительных вероятностей роста и падения цены актива перейти к риск-нейтральным вероятностям. Такой переход всегда правомерен, если можно сформировать портфель, эквивалентный выплатам по опциону.

Биномиальную модель оценки премии опциона обычно называют моделью Дж. Кокса, С.Росса и М.Рубинштейна, которые опубликова-ли свою работу по этому вопросу в 1979 г. Однако впервые биномиальный подход был предложен У.Шарпом в 1978 г. Мы рассмотрели вычислительную часть модели. Теперь подведем итог по общей схеме построения модели.

Весь период действия опционного контракта разбивается на ряд интервалов времени, в течение каждого из которых курс акции может пойти вверх с вероятностью р или вниз с вероятностью I - р. В начале первого периода цена акции равна ? . В конце первого периода Д/, курс акции может составить соответственно Бы или (см. рис.

10.3). В целях упрощения модели, поскольку период действия контракта делится на большое число интервалов, можно сделать допущение,

что и = —. Тогда в конце второго периода д/2 цена акции может

а

принять значения Би2, Бс12 или 5 и т.д.6 для следующих периодов.

6 Поскольку мы полагаем, что ц 294? К моменту истечения срока действия контракта цена опциона может принимать только два значения, а именно, 0 или Бт-Х для

опциона колл и 0 или Х-Бт для опциона пут. Чтобы рассчитать

стоимость опциона, необходимо вначале определить его цены в конце периода Т для каждого возможного значения цены акции, т.е. для каждого узла дерева распределения. На рис. 10.3 для четырех- периодной модели это будут узлы со значениями курса акции

5м4, Би2, Бс1*. Далее определяют цены опционов для

начала последнего периода путем дисконтирования под ставку без

Рис. 10.3. Дерево распределения цены акции для четырех времен-ных периодов

риска средневзвешенных цен опционов в конце периода Т , где весами выступают риск-нейтральные вероятности роста и падения цены АКЦИИ. В примере это будет начало периода Д/4. Пусть цена опциона

дня узла равна с4, для узла Би1 - с2. Тогда цена опциона в ннчале периода Д/4 или, что то же самое, в конце периода Д/3 равна:

Я

где г3 - цена опциона в начале четвертого периода, т.е. в узле Би*.

Ьтм образом, последовательным дисконтированием цен опциона определяют его значение в начальный момент времени. На практике при определении премии опциона период Т необходимо разбить на большое число периодов. Обычно деление времени опционного контракта на 30-50 интервалов уже дает приемлемый результат. Проиллюстрируем представленную схему определения цены опциона на примере.

Пример 4.

Цена исполнения европейского опциона колл 100 руб. Время его действия разбивается на три периода. Цена акции в начальный момент 100 руб., темп роста курса акции в каждом периоде равен 1,05, темп падения цены 0,95. Ставка без риска для каждого периода составляет 2%. Определить цену опциона. Решение.

Определяем риск-нейтральные вероятности:

«-р = = = 0,7 ,

и-а 1,05-0,95

р — 0,3.

К моменту истечения действия опциона цена акции может принять следующие значения:

Би" =\\5,76 руб.; Би = 105руб.; 5Й = 95руб.; =85,74руб.

Значения цен акции для каждого узла дерева распределения представлены на рис. 10.4.

Для узла Би3 цена опциона равна:

115,76 -100 - 15,76руб.

Для узла Би:

105-100 = 5руб.

Для узлов Ба и Ба3 она равна нулю, так как цена спот акции меньше цены исполнения. Для узла Би2 премия опциона равна:

15,76-0,7 + 5-0,3

= 12,29 руб.

1,02

Для узла ?:

5-0,7 + 0.0^3^

1,02

Для узла Ба1 она равна нулю.

296? Для узла 5г/:

12,29 0,7 +3,43 0,3

= 9,44 руб. 1,02

115,76

10,25

105

105,

100

100

95

95

90,25

85,74

Рис. 10.4. Трехпериодная биномиальная модель

Для узла Бс1:

3,43-0,7 + 0-0,3 1,02

Премия опциона в начальный момент времени составляет:

9,44-0,7 + 2,35-0,3

= 1Мруб.

1,02

Метод использования биномиальной модели для американских опционов аналогичен приему, проиллюстрированному в примере 4. В то же время, существует некоторое отличие. Оно связано с тем, что американский опцион можно исполнить в любой момент времени в ходе действия контракта. Поэтому для каждого узла дерева распределения необходи мо сравнить цену опциона, полученную расчетным путем, с внутренней стоимостью опциона в этот момент и выбрать наибольшее из полученных значений для продолжения процесса дисконтирования. Поясним сказанное на примере. Рассмотрим последовательно определение премии европейского и американского опционов пут.

Пример 5.

Цена исполнения европейского опциона пут на акции 100 руб. Время его действия разбивается на три периода. Цена акции в начальный момент 100 руб., темп роста цены акции в каждом периоде равен 1,05, тем падения цены 0,95. Ставка без риска для каждого периода составляет 2%. Определить цену опциона. Решение.

Значения риск-нейтральных вероятностей и курсов акций в каждом узле дерева распределения были определены в примере 4.

Для узла Sd} (конец третьего периода) цена опциона равна: 100-85,74= 14,26/туб. Для узла Sd (конец третьего периода):

100 — 95 = 5 руб.

Для узлов Su и Suл она равна нулю, так как цена спот акции больше цены исполнения.

Для узла Sd1 (конец второго периода) премия опциона составляет:

5-0,7 + 14,26-0,3 1,02

Для узла S (конец второго периода):

= 3,25 руб.

0-0,7 + 5-0,3

= 1,47 дуб.

1,02

Для узла Su2 она равна нулю. Для узла Sd (конец первого периода):

1,47 • 0,7+7,63-0,3 1,02

=7,63 руб.

Для узла Би (конец первого периода):

0-0,7 + 1,47-0,3

= 0,43 руб. 1,02

Премия опциона в начальный момент времени равна: 0,43-0,7+ 3,25-0,3

= 1,2 5руб.

1,02

Для наглядности цены акции и рассчитанная премия для каждого узла дерева распределения представлены на рис. 10.5. Цена акции представлена верхней цифрой, премия опциона - нижней. Мы полу-чили результат: европейский опцион пут должен стоить 1,25 руб.

Рис. 10.5. Трехпериодная биномиальная модель

85,74 14,26

7 Допустим теперь, что данный опцион является американским. Тогда на рис.10.5 внимания заслуживает узел &/2 (конец второго периода). Расчетная цена опциона равна 7,63 руб. Однако, если держатель опциона исполнит его в этот момент, он получит сумму равную внутренней стоимости опциона, т.е.:

100 - 90,25 - 9,75руб.

Поэтому цена опциона в данном узле принимается равной 9,75 руб. В результате расчетная цена опциона в узле (конец первого периода) составит не 3,25 руб., как в случае с европейским опционом, а будет равна:

1,47 0,7+9,75 0,3

= 3,88 руб.

1,02

В то же время, для данного узла цена акции равна 95 руб. Если инвестор исполнит опцион в этот момент, он получит 5 руб. Поэтому премия опциона для этого узла принимается равной не 3,88 руб., а 5 руб. В результате цена американского опциона в начальный момент времени должна быть равна:

0,43 0,7+ 5 0,3

= 1,77 руб.

1.02

Чтобы воспользоваться биномиальной моделью для практических целей, необходимо ответить на вопрос, каким образом определить значения роста и падения цены акции, т.е. и и с!. Процесс, которому следует динамика цены акции, является винеровским7. Биномиальное распределение должно быть построено таким образом, чтобы при делении периода действия опционного контракта на большое количество периодов, биномиальный процесс сходился к винеровскому. Мы получим такой результат, если и и <Л будут иметь следующие значения:

и = (10.21)

и

Р = (10.22)

и-и

где а стандартное отклонение доходности акции; Д/ - период времени, представленный в долях года.