10.1.1.3. Риск-нейтральная вероятность
пБ~В=с0, (10.2)
где с0 - стоимость опциона в момент его заключения;
«-количество акций;
цена акции в момент заключения опционного контракта; В- сумма кредита.
В конце периода портфель может стоить или
пБи-ЯВ = с{1, (10.3)
или
пЗс/-КВ = с\п (10.4)
где си - стоимость опциона (и соответственно портфеля) в случае
роста цены акции;
с,- стоимость опциона (и соответственно портфеля) в случае
падения цены акции;
и = 1 + процент прироста цены акции; <1=1- процент падения цены акции; Я = 1 + ставка без риска.
Чтобы сформировать эквивалентный портфель из акции и заемных средств, необходимо знать величины п и В. Из формул (10.3) и (10.4) получим;
(10.5)
(н-дОЯ
и
(и-с1)К
Подставив значения п и В из формул (10.5) и (10.6) в формулу (10.2), находим стоимость опциона в начале периода: Си~С4 <*Си~иС<і
и-(і (іи- сі)Я
или
(10.7)
ґЯ-<іЛ (и-К
и - (І
V
\
с„ +
и-сі
Числитель в формуле (10.7) представляет собой ожидаемую стоимость опциона к моменту истечения контракта, где весами вы
(к и 1« -а) ^и-СІ) . Поэтому можно сказать, что
ступают значения
цена опциона в начале периода равна дисконтированной стоимости средневзвешенных выплат по контракту в конце периода.
Как следует из формулы (10.7), она не включает ни одной переменной, которая бы учитывала отношение инвестору к риску. Таким образом, мы можем определить цену опциона в экономике, в которой действуют нейтральные к риску инвесторы. Такой подход к определению премии опциона получил название риск-нейтральной оценки.
Она попросту означает, что мы предполагаем нейтральное отношение к риску всех инвесторов. В то же время, полученная стоимость опциона одинакова для всех трех типов экономик.В формуле (10.7) в явном виде не присутствуют вероятности роста и падения цены акции, поскольку они не учитывались при определении премии опциона. Однако о вероятности можно говорить в неявном виде, а именно, за вероятность того, что цена опциона в конце
(
первого периода составит си можно принять величину .
)
с г составляет
\
Поэтому обозначим
Обозначим ее через р. Данную величину можно также принять за вероятность роста цены акции. Тогда вероятность получить значение
. Легко заметить, что:
и—СІ)
и-К _ 1 К-с1 и-сі и -(I
и-Я
через (і - р). Данную величину мож-
и — с!)
но принять за вероятность падения курса акции. Таким образом, выполняется необходимое условие для представления указанных ве личин в качестве вероятностей: сумма вероятностей акции пойти вверх и вниз равна единице. В результате премию опциона можно рассматривать как дисконтированную под ставку без риска средневзвешенную стоимость опционного контракта к моменту его истечения, где весами выступают вероятности роста и падения цены акции.
Выше мы отметили, что при оценке стоимости опциона инвестор не принимает во внимание фактические вероятности роста или падения курса акции. Поэтому необходимо конкретизировать, что представляют собой найденные вероятности р и (1-р) применительно
к цене акции.
Ожидаемое значение цены акции в следующий момент времени является средневзвешенной величиной ее значений при росте и падении, а весами выступают вероятности. Поэтому можно записать, что:
Е(Бт)=рБи + {\-р)Б<* , (10.8)
где Е(БТ ) - ожидаемое значение цены акции в конце периода Т. Подставим в формулу (10.8) значения р и (I-/?):
Е^^^-Би + ^^БЛ, (10.9)
и - с1 и—й
получим:
Е(Б7) = БИ. (10.10)
Уравнение (10.10) говорит о том, что ожидаемое значение цены акции определяется на основе ставки без риска. Как известно, ожидаемая доходность актива равна ставке без риска в условиях, когда инвесторы нейтральны к риску. Таким образом, если полагать, что вероятности роста и падения цены актива соответственно равны р
и (1 - /?), то его ожидаемая доходность должна равняться ставке без
риска. Это, в свою очередь, означает, что мы действуем в экономике с нейтральными к риску инвесторами. Тогда вероятности роста и падения цены акции р и (1-/?) можно рассматривать как вероят-ности, существующие в экономике с нейтральными к риску инвесторами, или риск-нейтральные вероятности.
Таким образом, премия опциона равна дисконтированной стоимости его средневзвешенных цен к моменту истечения контракта, где весами выступают риск-нейтральные вероятности роста и падения цены акции.