10.1.1.2. Формирование портфеля без риска
Изменения цены акции и опциона пут направлены в противоположные стороны. Поэтому, формируя портфель без риска из акций и опционов пут, инвестору следует купить опционы пут и купить акции или продать опционы пут и продать акции.
Для формирования портфеля необходимо рассчитать пропорцию, в которой изменяется цена опциона при изменении цены акции. Например, инвестор определил, что при изменении цены акции на 1 руб. цена опциона колл изменяется на 0,5 руб. Это означает, что, формируя портфель, он должен на каждые два проданных опциона колл купить одну акцию. Тогда при росте цены акции на 1 руб. инвестор выиграет 1 руб. на акции. Цена двух опционов в сумме также увеличится на 1 руб. Инвестор продавал контракты. Поэтому, если он будет закрывать позицию по опционам, ему придется выкупить их по цене выше в совокупности на 1 руб. Таким образом, он потеряет 1 руб на опционах, В результате стоимость портфеля останется неизменной: выигрыш по акции компенсируется проигрышем по опционам.
При падении цены акции на 1 руб. он потеряет 1 руб. на акции. Цена двух опционов также понизится в сумме на 1 руб. Инвестор продавал контракты. Поэтому, если он будет закрывать позицию по опционам, то выкупит их по цене ниже в совокупности на 1 руб.
Таким образом, он выиграет 1 руб. на опционах. В результате стоимость портфеля останется неизменной: проигрыш по акции компенсируется выигрышем по опционам. Портфель нейтрален к риску только для небольшого роста или падения цены акции, т.е. пока отмеченная ценовая пропорция остается практически неизменной. При более значительном изменении курса бумаги изменится и ценовая пропорция между акцией и премией опциона. Поэтому, чтобы сохранить нейтральность портфеля к риску, необходимо постоянно корректировать его состав. Например, курс акции вырос, и новое ценовое соотношение равно 1:1, т.е. при изменении цены акции на 1 руб. цена опциона также изменяется на 1 руб. Тогда для поддержания нейтральности портфеля к риску инвестору необходимо купить еще одну акцию. В этом случае при росте цены акции на 1 руб. он выиграет по акциям в сумме 2 руб., однако по опционам проиграет также 2 руб. Соответственно при падении цены акции на 1 руб. он проиграет по акциям 2 руб., но выиграет эту сумму по опционам.4Допустим, что акция является делимой на части. Тогда можно сформировать портфель из опциона и части акции, который будет нейтрален к риску. Например, инвестор продал опцион колл и купил 0,5 акции, поскольку ценовое соотношение между курсом акции и премией опциона равно 1:0,5. В следующий момент цена акции выросла, и новая пропорция составила 1:0,6. Тогда инвестор покупает дополнительно 0,1 часть акции, чтобы сохранить нейтральность портфеля к риску, В следующий момент цена акции упала, и новая пропорция равна 1:0,55. Инвестор продает 0,05 часть акции, и т.д. Чем чаще будет инвестор корректировать портфель, т.е. пересматривать его при малейшем изменении ценовой пропорции, тем более нейтральным он будет к риску. Если предположить, что можно осуществлять непрерывную корректировку состава портфеля при изменении цены акции, то портфель будет абсолютно нейтрален к риску изменения цены акции, и стоимость его будет оставаться неизменной. Если допустить, что издержки по корректировке состава портфеля равны нулю, то инвестор в течение всего периода действия опционного контракта без каких-либо затрат может поддерживать нейтральность портфеля.
В условиях равновесия на рынке безрисковый портфель должен приносить доходность равную ставке без риска. В противном случае последуют арбитражные операции, что восстановит отмеченное условие.Таким образом, инвестор может сформировать из опционов и базисных активов портфель нейтральный к риску и поддерживать его нейтральность в течение действия контракта, покупая и продавая базисные активы в зависимости от изменений конъюнктуры рынка.
Выше мы отметили, что цену опциона можно определить для экономики, в которой инвесторы нейтральны к риску, и она будет одинаковой для всех трех типов экономик. Такой прием мы вправе использовать в отношении любых финансовых инструментов, если существует возможность сформировать беэрисковый портфель, так как в этом случае цена этого инструмента определяется не отдельно, а через оценку стоимости безрискового портфеля, содержащего данный инструмент и базисный актив.
Рассмотрим на примере, каким образом можно применить технику формирования портфеля без риска применительно к простой биномиальной модели.
Пример 2.
Цена спот акции 100 руб. Через три месяца ее цена может составить 80 руб. или 120 руб. Предполагается, что акция делима. Трехмесячная ставка без риска 10% годовых. Инвестор продает трехмесячный европейский опцион колл на акцию и приобретает п акций. Данный портфель будет безрисковым, если к моменту истечения срока действия опциона стоимость его окажется одинаковой, независимо от конкретного значения цены акции. При падении курса акции до 80 руб., стоимость портфеля окажется равной 80« руб. Если курс поднимется до 120 руб., цена портфеля составит (120«-20) руб.
Чтобы сформировать портфель без риска, инвестор должен купить такое число акций, которое бы удовлетворяло уравнению:
120«-20 = 80«.
Решив его, получим: « = 0,5 акции. При таком условии портфель через три месяца и в первом и во втором случае будет стоить 40 руб.:
80руб. ¦ 0,5акции = 40руб.
120руб. ¦ 0,5акции - 20руб. = 40руб.
Стоимость портфеля в момент заключения опционного контракта равна:
100 -0,5-с = 50 -с.
Портфель без риска должен приносить инвестору доходность равную ставке без риска. Поэтому стоимость портфеля в начале периода должна соответствовать его дисконтированной стоимости через три месяца, т.е.:
50-е = у
1 + 0,1(3/12)
Отсюда с - 10,98/?уб.
Таким образом, опцион должен стоить 10,98 руб., иначе можно получить арбитражную прибыль. Действия арбитражера будут аналогичны действиям, рассмотренным в примере 1.