10.1. БИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ 10.1.1. Простая биномиальная
10.1.1.1. Портфель из акций и заемных средств эквивалентный опционному контракту
Рис. 10.1. Динамика курса акции в рамках простой биномиальной
модели
Б
Один ИЗ ПОДХОДОВ К оценке премии опциона СОСТОИТ В создании портфеля из акций и заемных средств1, который полностью копирует суммы выплат по опциону к моменту окончания действия контракта, Поэтому стоимость опциона при заключении контракта должна равняться стоимости портфеля, иначе можно совершить арбитражную операцию.
Поясним сказанное на примере простой биномиальной модели. Модель охватывает один временной период. В ее рамках курс акции может принимать только два значения: пойти на известную величину вверх или вниз, как показано на рис. 10.1. В первомБи
случае в конце периода стоимость акции составит величину Би , во втором - , где 5 - курс акции в начале периода; и = 1 + про-цент прироста цены акции; <і-\- процент падения цены акции.
Пример 1.
Цена спот акции 100 руб. Инвестор определил, что через три месяца ее цена может составить 80 руб. или 120 руб. Предполагается, что акция делима. Трехмесячная ставка без риска 10% годовых. На акцию торгуется европейский опцион колл с ценой исполнения 100 руб. Если через три месяца курс акции составит 120 руб., то от исполнения опциона будет получено 20 руб., если цена составит 80 руб., результат составит ноль руб., поскольку опцион не будет исполнен. Необходимо определить, сколько должен стоить опцион колл.
Для ответа на этот вопрос рассмотрим портфель из акций и заемных средств, который бы копировал результаты по опциону. Пусть инвестор покупает акцию в количестве п единиц, используя собственные и заемные средства. Дополнительные средства он занимает на три месяца под ставку без риска в сумме к руб. Стоимость опциона равна с руб. По
условиям задачи сформированный из акций и заемных средств портфель через три месяца должен принести такие же результаты, как и опцион колл.
Поэтому, чтобы найти величины п и к , приравняем стоимости портфеля и опциона в конце периода для первого и второго вариантов конъюнктуры. Получим систему уравнений: ґ 3 л 1+0,1 — 12к = 20 к - О
20 п + 80/7 +
1 + 0,1 — 12
или
'120« +1,025/: = 20 80«+ 1,025/: = 0 .
Решение системы уравнений (10.1) дает ответ:
п - 0,5акций; к = —39,02руб.
Это означает, что инвестор покупает 0,5 акции за 50 руб. Для этого он занимает сумму 39,02 руб. на три месяца под 10% годовых и дополнительно использует свои средства в размере:
(Ю.1)
50-39,02 = 10,98/туб.
Если через три месяца цена акции вырастет до 120 руб., стои-мость портфеля с учетом погашения средств по кредиту составит:
120 ¦ 0,5акции - 40 = 20руб.
(40 руб. - это сумма кредита с начисленными за три месяца процентами). Если цена акции упадет до 80 руб., портфель будет стоить:
КО-0,5акции-40 = 0 руб.
Таким образом, результаты портфеля полностью копируют выплаты по трехмесячному европейскому опциону колл на акцию с ценой исполнения 100 руб. Стоимость портфеля и опциона колл через три месяца одинаковы, Следовательно, они должны быть равны и в начале периода. Стоимость портфеля инвестора с учетом заемных средств в начале периода составляет:
50-39,02 = 10,98/туб.
Поэтому премия опциона также равна 10,98 руб. Если она будет выше или ниже найденной величины, можно совершить арбитражную операцию, Рассмотрим возможные варианты.
а) Цена опциона занижена и равна 10 руб. Тогда арбитражер берет взаймы 0,5 акции и продает ее за 50 руб., покупает опцион за 10 руб. и размещает оставшиеся 40 руб. на трехмесячном депозите под 10% годовых. Если через три месяца курс акции 120 руб., он продает опцион в последний день его действия и получает 20 руб. (Цена опциона перед моментом истечения контракта равна его внутренней стоимости). По депозиту ему выплачивают:
ч
= 41 руб.
40
1 + 0,1 — 12
Из полученных сумм он уплачивает 60 руб. за половину акции и возвращает ее владельцу.
Прибыль арбитражера равна:20 + 41 - 60 = 1руб.
Если курс бумаги через три месяца 80 руб., он не исполняет опцион. По депозиту арбитражер получает 41 руб. За 40 руб. он покупает половину акции и возвращает ее владельцу. Прибыль равна:
41-40= 1 руб.
б) Цена опциона завышена и составляет 11 руб. Тогда арбитражер продает опцион, занимает 39 руб. под 10% годовых на три месяца и покупает половину акции за 50 руб.? Если цена акции через три месяца 120 руб., арбитражер продает 0,5 акции за 60 руб., выкупает колл в последний день действия кон- тракта за 20 руб., возвращает сумму кредита в размере:
39
( з ^ 1 + 0,1 — \2
39,98 руб.
Его прибыль равна:
60 -20 -39,98 = 0,02 руб.
Если курс акции 80 руб., опцион не исполняется, арбитражер продает половину акции за 40 руб., возвращает кредит в сумме 39,98 руб. Его прибыль составляет:
40 - 39,98 = 0,02 руб.
Таким образом, опцион должен стоить 10,98 руб., чтобы исключить возможность получить арбитражную прибыль.
В данном примере следует обратить внимание на следующие важные моменты. Определяя премию опциона, мы не использовали ни одной переменной, которая бы говорила об отношении инвестора к риску. Нам не потребовалось знания ставки дисконтирования, которая бы соответствовала риску инвестирования средств в опционный контракт. Также не потребовалось знания вероятности, с которой курс акции мог пойти вверх или вниз. Для вычисления величины премии опциона инвестору было безразлично, будет ли курс акции высоким (120 руб.) или низким (80 руб.), будет ли он расти или падать. Это означает, что инвестор не принимал во внимание величину ожидаемой доходности акции. Размер премии зависел только от выполнения условия невозможности совершить арбитражную операцию. Поэтому ожидания инвестора в отношении роста или падения курса акции не имели значения. Отсюда можно сделать вывод: при оценке премии опциона мы не должны принимать во внимание отношение инвесторов к риску.
Всех инвесторов можно разделить на три группы: склонных к риску, не склонных к риску и нейтральных к риску.2 Согласно трем группам инвесторов можно представить и три типа экономик, в которых действуют только или склонные, или не склонные, или нейтральные к риску инвесторы.
Поскольку при оценке стоимости оп циона отношение инвесторов к риску не учитывается, то цена одного и того же опциона должна быть одинаковой в любой из этих экономик. Поэтому неважно, в какой из них определять премию опциона. В то же время, наиболее просто найти ее в экономике, где инвесторы нейтральны к риску. Такие инвесторы не требуют вознаграждения в соответствии с риском финансовых активов. Нейтральный к риску инвестор безразличен в выборе между активом, который гарантированно приносит ему доходность равную ставке без риска, и активом, ожидаемая доходность которого равна ставке без риска.3 В нейтральной к риску экономике инвесторы обращают внимание только на ожидаемую доходность актива и не принимают в расчет его риск. Так как риск не учитывается, то не требуется и адекватное ему вознаграждение. Поскольку не требуется вознаграждения за риск, то все активы должны оцениваться таким образом, чтобы их ожидаемая доходность была одинаковой и равной ставке без риска. Соответственно цена любого актива в такой экономике будет равняться ожидаемым по нему выплатам, дисконтированным под ставку без риска.При оценке премии опциона не играет роли вероятностное распределение курса акции и величина ее ожидаемой доходности, но имеет значение стандартное отклонение доходности акции. Так, если известно, что возможные значения цены акции к моменту истечения опциона составят не 120 руб. и 80 руб., а 140 руб. и 60 руб., т.е. акция характеризуется большим стандартным отклонением, то премия опциона в примере составит уже не 10,98 руб., а 20,74 руб.
Отмеченные особенности оценки премии опциона могут показаться несколько нелогичными, так как опцион - это довольно рискованный финансовый актив. Однако нелогичность исчезнет, если подчеркнуть следующую особенность представленного подхода. Стоимость опционного контракта определяется не само-стоятельно, а опосредованно через оценку стоимости безрисково-го портфеля, который инвестор может сформировать из опционов и базисных активов. Поэтому рассмотрим концепцию формирова-ния портфеля без риска.
* Нейтральный к риску инвестор - это инвестор, который не принимает во внимание риск по инвестициям, Он безразличен в выборе меаду активом с гарантированным уровнем доходности и активом с неопределенной доходностью, ожидаемое значение которой равно доходности первого актива, Такой инвестор одинаково отнесется к ценной бумаге, по которой будет точно выплачено 50 руб. и бумаге, по которой суще- ивует 50% вероятность получить 100 руб, и 50% вероятность ничего не получить.