СУЩНОСТЬ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ И ПРИМЕРЫ ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ В БАНКОВСКОЙ ПРАКТИКЕ Общие сведения

В краткосрочных финансовых операциях обычно рассматривают простые проценты. Долгосрочные же операции, как правило, базируются на сложных процентах. В отличие от простых процентов, когда процентный платеж вычисляется с одной и той же величины капитала в течение всего времени расчетов, при сложных процентах он в каждом расчетном периоде добавляется к капиталу предыдущего периода, а в последующем периоде процентный платеж вычисляется уже с этой наращенной величины первоначального капитала.

Если процентный платеж начисляется и добавляется к величине капитала в конце каждого года, то говорят, что капитализация (начисление процентного платежа) является годовой и обозначается Ра — per anum. Если процентный платеж начисляется и добавляется к величине капитала каждые шесть месяцев, то это называется полугодовой капитализацией и обозначается Ps — per semestre. Начисление сложных процентов и их капитализация каждые три месяца обозначается Pq — per quatrure, а каждый месяц Pm — per mensem.

2 Л.Г. Батракова

Существует два способа начисления сложных процентов: антисипативный (предварительный) и декурсивный (последующий). Начисление процентного платежа в начале каждого расчетного периода называется антисипативным, а в конце каждого расчетного периода — декурсивным. Именно декур- сивное начисление процентов наиболее распространено в мировой практике.

В финансовых расчетах применяют так называемые дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые зафиксированные одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.).

2. Декурсивный расчет сложных процентов

Рассмотрим различные условия определения наращенной суммы с использованием декурсивного расчета.

Условие 1. Проценты начисляются и капитализируются один раз в год (годовые проценты). Величину первоначального капитала, на которую рассчитывают процент, называют первоначальной (текущей) стоимостью и обозначают Р. Ставку сложных процентов обозначают і, а число лет наращения — п. Стоимость, полученную в результате увеличения первоначального капитала, вложенного под сложные проценты, называют конечной (наращенной) и обозначают S. В конце первого года наращенная сумма составит величину:

S1 = Р + Р х і = Р(1 + і).

К концу второго года она достигнет величины: s2 = Р(і + і) + Р(1+ і) і = Р(і + о2.

Таким образом, рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся по геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а знаменатель — (1 + і). В конце га-го года наращенная сумма (последний член прогрессии)

S = Р(1 + і)” ,              (2.1)

где (1 + і) — сложный декурсивный коэффициент; (1 + і)" — множитель наращения.

Так как в финансовых вычислениях конечным результатом является денежная сумма, то можно сказать, что экономический смысл сложного декурсивного коэффициента заключается в том, что он равен стоимости одной денежной единицы, увеличенной на процентный платеж в конце одного расчетного периода при ставке сложных процентов і. Множитель наращения показывает конечную стоимость одной денежной единицы, вложенной под сложные проценты декурсивно.

При большом числе периодов рост по сложным процентам приводит к «устрашающим» результатам. Например, сумма 1000 ден.

Условие 2. Если срок ссуды в годах п не является целым числом, то множитель наращения может быть определен двумя способами. При первом способе используется формула (2.1) с соответствующим целым показателем, при втором способе (смешанный метод) множитель наращения может быть определен по формуле

S = Р(1 + 0',(а) [1 + п(Ъ) X і],              (2.2)

где п = п(а) + п(Ь); п(а) — целое число лет; п(Ь) — оставшаяся дробная часть года.

С точки зрения сущности начисления процентов смешанный метод является точным, а первый — приближенным, дающим меньшую величину множителя наращения.

Пример 2 0. Первоначальная сумма долга равна 10 тыс. руб. Определите сумму долга через 2,5 года, используя два способа расчета начисления сложных процентов по ставке 10% годовых.

¦ ¦ ¦

1. При расчете первым способом по формуле (2.1)

S, = 10 (1 + 0,1)2б= 12,691.

2. При расчете вторым способом по формуле (2.2)

S2 = 10 (1 + 0,1)2(1 + 0,5-0,1) = 12,705.

Как видим, наращенная сумма, исчисленная смешанным способом, на 0,014 тыс. руб. выше, так как множитель наращения в ней больше.

Условие 3. Предположим, что уровень ставки сложных процентов изменяется в течение срока ссуды. Наращенная сумма в конце первого периода начисления

= Р(1 + n1xi1 ),

где пх — величина первого периода начисления в годах; і — годовая ставка процентов в первом периоде начисления.

В конце второго периода начисления наращенная сумма

S2 = Sj (1 + п2 х i2)= Р(1 + пх х it)(l + пг х i2).

Если в течение срока ссуды будет N периодов начисления, то наращенная сумма в конечном итоге составит

^• = РПlt;1 + гаЛ) =рх\gt;              (2-3)

г=1

t = N

где кж = П(1 + nt xit) — множитель наращения.

t=i

Заметим, что если все периоды начисления одинаковы и наращение производится по одной и той же ставке сложных процентов, то формула (2.3) примет вид:

SN = Р(1 + п X i)N .              (2.4)

Условие 4.              Если в качестве периода начисления берется год

(п=1), то формула (2.4) сводится к рассматриваемой ранее формуле (2.1).

Пример 21. Ссуда 2 тыс. руб. выдана на 2,5 года. Ставка сложных процентов в течение срока ссуды определяется следующим образом: за первые полгода она составляет 8% годовых, затем через каждые полгода увеличивается на 1 % годовых. Определите множитель наращения и наращенную сумму.

¦ ¦ ¦

1. Найдем коэффициент наращения по формуле (2.3):

= (1 + 0,5x0,08)(1 + 0,5х0,09)(1 + 0,5х0,1)(1 + 0,5х0,11)(1 + 0,5x0,12) =

= 1,2761.

S = P xkt = 2 • 1,2761 = 2,552. ден. ед.

S --

р

о оУб Ї Б?

-1—>

2 п, лет

Проведем сравнительный анализ графиков роста вклада по простым и сложным процентам.

Сопоставление результа

тов наращения сумм ПО про- Рис. 1. Определение наращенной суммы по СТЫМ И СЛОЖНЫМ процентам простым (кривая 1) и сложным (кривая 2)

процентам

позволяет сделать важные в практическом отношении выводы:

1. Если п              gt;              1,              то              (1              +              п              X і)              lt;              (1              +              г)" . Отсюда 5пр lt; Sa              .
2. Если п              =              1,              то              (1              +              п              X І)              =              (1              +              г)" . Отсюда Snp =              .
3. Если п              lt;              1,              то              (1              +              п              х г)              gt;              (1              +              i)n. Отсюда Sop gt;              .

Здесь п — число              периодов начисления процентов. Докажем

правильность сделанных выводов на конкретном примере.

Пример 22. Первоначальная сумма долга равна 2 тыс. руб. Определите сумму долга через 2 года при использовании простой и сложной ставок процентов в размере 7% годовых.

1. При использовании простой ставки процентов [см. формулу (1.1)] наращенная сумма составит, тыс. руб.:

S = 2(1 + 2-0,07) = 2,28.

2. При использовании сложной ставки процентов наращенная сумма [см. формулу (2.1)] составит, тыс. руб.:

S = 2(1 + 0,07)2 = 2,29.

Как видим, наращенная сумма при начислении сложных процентов для срока более 1 года выше, чем при простых процентах на 0,01 тыс. руб.

3. Расчеты срока и процентной ставки предоставления

ссуды

По основной формуле расчета наращенной суммы с использованием сложных процентов (2.1) можно рассчитать срок и другие входящие в данную формулу показатели.

1. Срок ссуды можно определить по формуле

где a є(0; 1) и (1; оо). Логарифмы могут браться с любыми равными основаниями, например десятичными.

log „(S/Р)

П loge(l + i) *

2. Определение ставки сложных процентов производится по формуле:

і = фГ/Р-1.              (2.6)

Приведем примеры использования в расчетах указанных выше формул.

Пример 23. Байк начисляет на валютные вклады сложные проценты по ставке 12% годовых. Определите срок в годах, за который сумма вклада 25 тыс. руб. вырастет до 40 тыс. руб.

¦ ¦ ¦

По формуле (2.5) находим

WO/25) lg(l + 0,12)              ’

Таким образом, сумма вклада увеличится до 40 тыс. руб. за 4,15 года.

Пример 24. Сумма долга удвоилась за 3 года. Определите использованную при этом ставку сложных процентов.

Для расчета процентной ставки используем формулу (2.6):

і = ^2-1 = 0,25.

При заданных условиях ставка составила 0,25 или 25% годовых.

В практике довольно часто возникает потребность исчисления уровня годовой процентной ставки, которая обеспечивает в рамках заданного периода равнозначность наращенных стоимостей. Этот критерий нормы доходности должен служить экономисту инструментом для оценки того или иного хозяйственного решения в сравнении с другими способами помещения средств в деловой оборот. Поясним сказанное на реальном примере.

Пример 25. Промышленно-финансовая компания Российской продовольственной биржи объявила в 1993 г. о привлечении ею свободных денежных средств населения и юридических лиц на условиях, указанных в таблице.

Не усложняя данную ситуацию возможным финансовым риском от данной операции, поставим вопрос: что с точки зрения уровня доходности выгодней — размещать временно свободные денежные средства сроком на один год или на 10 лет?

¦ ¦ ¦

Чтобы ответить на этот вопрос, рассчитаем годовую процентную ставку [см. формулу (2.6)]. При 10-летнем сроке размещения вклада имеем

. = ЭбООООЧЛН. _1= 1^/щ^ _ ! = 1gt;586 _ j 0)586 (58,6%).

V 50000

При годовом размещении эта ставка составит 250% (см. таблицу). Как видим, норма доходности от годового вложения средств в несколько раз эффективней разового вложения на 10-летний срок, а с учетом факторов финансового риска и инфляции целесообразность долгосрочного размещения средств вообще сомнительна.

Результаты расчетов позволяют экономисту более обоснованно судить о целесообразности совершения хозяйственных операций с точки зрения сохранения финансового капитала и требуемой нормы его наращения.