СУЩНОСТЬ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ и ПРИМЕРЫ ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ В БАНКОВСКОЙ ПРАКТИКЕ

Большая часть активных операций банка связана с выдачей ссуд, по которым он получает доход в виде процентов. Однако для осуществления таких операций сначала необходимо привлечь свободные денежные средства населения, предприятий, организаций, а также получить займы в других кредитных учреждениях.

Практически все финансово-экономические расчеты связаны с увеличением количества денег. Сумма доходов от предоставления денег в долг в различных формах (выдача ссуды, покупка облигаций, сдача оборудования в аренду и пр.) называется процентными деньгами (процентами) и обозначается I. Интервал времени между начислениями процента называют периодом начисления процентов и обозначают п. Процесс увеличения суммы денег в связи с начислением процентов называют наращением, или ростом, первоначальной суммы. Проценты за соответствующие периоды времени выплачиваются кредитору по мере начисления или присоединяются к сумме долга.

Простые проценты — это метод расчета дохода кредитора от предоставления денег в долг заемщику. Сущность простых процентов заключается в том, что они начисляются на одну и ту же величину капитала в течение всего срока ссуды. В банковской практике этот метод обычно применяется в том случае, если срок ссуды меньше года.

Рассмотрим, каким образом начисляются простые проценты. Для этого выясним, какие показатели влияют на изменение суммы процентных денег.

Сумма процентных денег зависит от суммы долга (Р), срока его выплаты, выражаемого в годах, (га) и процентной ставки (і), показывающей, сколько денежных единиц должен заплатить заемщик за пользование 100 единицами капитала в определенном периоде времени (за год).

Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами описывается арифметической прогрессией:

Р;Р + Рхі;Р + 2Рхіи т.д.

Первый член прогрессии — Р, а ее разность равна Р х і.

Сумма S, образовавшаяся к концу года, состоит из двух элементов — первоначальной суммы долга и процентов:

S = Р + 1.

Отсюда

S = Р (1 + га X і),              (1.1)

где га — срок долга в годах; і — годовая ставка простых процентов (десятичная дробь). При этом начисленные проценты можно рассчитать: I = Р х га х і.

Величину S называют наращенной суммой долга. Отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга S : Р = называют множителем (коэффициентом) наращения:

feH = (1 + га X і).

По формуле (1.1) можно определить наращенную сумму при использовании простой годовой ставки процентов. Формула позволяет рассчитать как сумму вклада с процентами, так и сумму кредита с процентами при его погашении единовременным платежом. Простые проценты используются также при помещении валютных средств на краткосрочные депозиты.

Пример 1. Ссуда в размере 10 тыс. ден. ед. выдана на год по простой ставке процентов, равной 8% годовых. Определить погашаемую сумму.

¦ ¦ ¦

Погашаемая сумма составит

S = Р(1 + п х і) = 10000(1 + 1 • 0,08) = 10000 • 1,08 = 10800 ден. ед.

Пример 2. Определить проценты и сумму накопленного долга, если известно, что ссуда, равная 7 тыс, ден. ед., выдана на срок 2 года по ставке простого процента 10% годовых.

¦ ¦ ¦

Проценты составят

I = Р х п х і = 7000 -2-0,1 = 1400 ден. ед., а сумма накопленного долга

S = Р + I = 7000 + 1400 = 8400 ден. ед.

Пример 3. Разница между двумя капиталами составляет 200 ден. ед. Капитал большего размера вложен на 3 года при ставке 8% годовых, а капитал меньшего размера — на 2 года при ставке 9% годовых. Сумма процентов за первый капитал в 4 раза больше суммы процентов за второй капитал.

¦ ¦ ¦

Пусть первый капитал равен К, тогда второй капитал равен (К - 200). Так как 11 — 412 , получаем равенство:

К х 0,08 х 3 - 4(К - 200) х 0,09 х 2,

0,24 хК = 0,72 хК - 144,

0,48 ХК = 144.

Если К, — К — 300, то К2 = 300 - 200 = 100.

Первый капитал составляет 300 ден. ед., второй капитал равен 100 ден. ед.

Если срок, на который берутся деньги в долг, задан в днях, то наращенная сумма

S = P + J = P[1 + (д/К) X і],              (1.2)

где д — продолжительность периода в днях; К — расчетное число дней в году; I = Р (д/К) х і.

Величина К называется временной базой для расчета процентов. Она может быть равной фактической продолжительности года — 365 или 366 дней (точные проценты). Однако часто за базу измерения берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней). В этом случае вычисляют обыкновенные или коммерческие проценты. Соотношение между точными и обыкновенными процентами для одного и того же числа дней ссуды будет следующим:

Кв /К, = 365/360 = 1,013889,

где К7 и Ко — число дней для расчета точных и обыкновенных процентов.

Отсюда имеем взаимосвязь в расчетах по точным и приближенным процентам:

I = 0,986301 I; I = 1,013889 I .

Т              7              О7              О              7              т

Число дней в каждом месяце в течение срока долга также может браться точно или приближенно (30 дней). День выдачи и день погашения ссуды в расчетах принимаются за один день.

В мировой банковской системе используют следующие три варианта начисления процентов:

1. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Данный вариант используют в Германии, Дании, Швеции и называют германской практикой.
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант распространен во Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии и называется французской практикой.
3. Точный процент с точным числом дней ссуды.
   Данный вариант применяется в Англии, Португалии, США и называется английской практикой.

В России применяют все три варианта расчетов. Французская практика, как правило, используется в операциях коммерческих банков; германская — когда не требуется большая точность расчетов; английская — обычно применяется ЦБ при расчетах с банками-контрагентами.

Пример 4. Вклад 10 млн руб. был положен в банк 12 марта и востребован 25 декабря того же года. Ставка процентов составила 8% годовых. Определите сумму процентов при различных вариантах их начисления.

¦ ¦ ¦

1. По германской практике расчетное число дней для начисления нроцентов составит:
2. По французской практике расчетное число дней для начисления процентов будет равно:

20 (март) + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 + 25 - 1 = 288.

Сумма начисленных процентов составит, млн руб.:

j=iSogt;o8,io=o’64-

3. По английской практике сумма вачисленных процентов составит, млн руб.:

OQO

I              0,08 • 10 = 0,63124.

360

Как видим, в зависимости от использования конкретной практики начисления процентов сумма их будет различной. С точки зрения вкладчика банка предпочтительным является вариант с ббльшим значением процентных денег, т.е. французская практика, а с позиции банка — вариант германской практики, т.е. с меньшим значением процентных денег.

В банковской практике при расчете процентов используются понятия «процентное число» и «процентный ключ» (дивизор). В формуле (1.2) числитель и знаменатель разделим на і (в процентах) и получим:

j. _Р хі х д _ Р х д              _ Р х Э              ^              gj

~ К х 100 ~ К х 100 / і ~ Dx 100 ’

где              —              процентное              число; D = К/i — процентный ключ,

или дивизор.

Ясно, что процентный платеж, вычисляемый с использованием дивизора 365/І, будет меньше, чем при дивизоре 360/г. Поэтому при обслуживании конкретного заемщика всегда используется только один из дивизоров. В общей финансовой отчетности коммерческих банков записка 5 «Наращенные проценты» дает анализ процентов, накопленных на дату отчетности по ссудам и депозитам. Каждый раз, когда сумма на счете изменяется, рассчитывается процентное число за прошедший период, в течение которого она оставалась неизменной. Для определения суммы процентов за весь срок их начисления все процентные числа складываются и делятся на постоянный делитель — дивизор.

Пример 5. При открытии сберегательного счета по ставке 8% годовых 20 мая 1995 г. на счет была положена сумма 10 млн руб. Затем 5 июля на счет была добавлена сумма 15 млн руб., 10 сентября со счета снята сумма 20 млн руб., а 20 ноября счет был закрыт. Определите сумму начисленных процентов, используя при этом германскую практику.

¦ ¦ ¦

1. Рассчитаем срок хранения сумм:

10 млн руб. — 46 дней [12 (май) + 30 + 5 (июль) - 1].

10 + 15 — 25 млн руб. — 66 дней [27 (июль) + 30 + 10 (сентябрь) - 1].

25 - 20 = 5 млн руб. — 70 дней [21 (сентябрь) + 30 + 20 (ноябрь) - 1].

2. Рассчитаем сумму процентных чисел:

(10-46 + 25-66 + 5-70) / 100 = 24,6.

3. Определим постоянный делитель:

360 : 8,0 = 45.

4. Рассчитаем сумму начисленных процентов, млн руб.:

24,6 : 45 = 0,547.

Данная методика по своей сути является последовательным применением формулы процентных денег на каждом интервале постоянства суммы на счете, т.е. I = 11 + 12 + 13 . Сумма начисленных процентов составит

I = 45- 0,08 • 10 + 45_ 0,08 • 25 + 42- 0,08 • 5 =

360              360              360

= 0,102 + 0,367 + 0,078 = 0,547 млн руб.

Если ставка процентов на разных интервалах начисления в течение срока изменяется, то наращенную сумму можно определить по формуле

S = Р (1 + п1 х + п2 х i2 +...+ nN х iN ),

l+ Z nt

S = P

(1.4)

t=x

где N — число интервалов начисления процентов; га( — длительность t-ro интервала начисления; i( — простая ставка процентов на t-м интервале начисления.

Множитель наращения в данном случае будет иметь вид:

t = N

к = Z"« ***¦'

t=i

Формула (1.1) связывает функциональной зависимостью четыре величины: S, Р, п, і. Поэтому исходя из этой формулы можно определить:

а)              срок долга (в годах или днях соответственно)

S-P              S-Р

п-—              или              а-              К ;              (1-5)

Рхі              Рхі

б)              ставку процентов

. S-P . S-P „

і =              или              і=              -К ;              (1-6)

Р х п              Р              х              д

в)              первоначальную сумму долга

P = S/(l + raxi) цли Р — S / (1 + — і).              (1.7)

К

Последняя операция называется дисконтированием по простой ставке процентов (см. разд. 3.2.1).

Пример 6. На сколько лет должен быть вложен капитал А при 6% годовых, чтобы сумма процентов была равна тройной сумме капитала?

¦ ¦ ¦

Подставим в уравнение ЗА = I имеющиеся данные: ЗА = А х 0,0бп. Отсюда находим, что п = 50.

Таким образом, капитал должен быть положен на 50 лет.

и

Пример 7. За какое время капитал в размере 45 тыс. ден. ед., вложенный под 9% годовых (К = 360), увеличится на такую же сумму, что и капитал в 60 тыс. ден. ед., вложенный с 10.03 по 22.05 под 12% годовых (К = 365).

¦ ¦ ¦

Запишем 1, = 1г . Подставим имеющиеся данные:

45-0,9 хд/ 360 = (60-73-0,12) / 365; 0,1125lt;? = 14,4.

Отсюда lt;7=128, т.е. искомое время составит 128 дней.

Пример 8. Вкладчик положил в банк 15 тыс.ден.ед. под 8% годовых на 9 месяцев. Какой доход он получит?

• ¦ •

9 месяцев — это 3/4 года. Доход вкладчика составит I = 15 -0,08-3/4 ** 0,9 тыс. ден. ед.

Пример 9. Бапк принимает вклады по простой ставке процентов, которая в первый год составляет 40% годовых, а каждый последующий год увеличивается на 10 процентных пунктов. Определите размер вклада 500 тыс. руб. с процентами через 3 года.

¦ ¦ ¦

Используя формулу (1.4), рассчитаем наращенную сумму, тыс. руб.:

S = 500 (1 + 0,4 • 1 + 0,5 • 1 + 0,6 • 1) = 1250.