РАСЧЕТЫ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ В УСЛОВИЯХ ИНФЛЯЦИИ

Уровень процентных ставок по банковским ссудам определяется в зависимости от колебаний денежного рынка: изменения соотношения спроса на деньги и предложения денег.

В проведенном выше анализе, связанном с наращением процентов, не учитывается такой фактор, как инфляция. Все денежные суммы измерялись по номиналу, и реальная покупательная способность денег не принималась во внимание. Вместе с тем инфляция стала неотъемлемым элементом экономики нашей страны и с этим нельзя не считаться при проведении долгосрочных финансовых операций. Учет инфляции необходим по крайней мере в двух случаях: при расчете наращенной суммы денег и определении реальной ставки процентов.

Если наращенная за п лет сумма денег составляет величину S, а динамика цен характеризуется общим индексом цен 1р , то реальная наращенная сумма денег будет S*, т.е. при сохранении покупательной способности денег наращенная сумма

S* = S / I .

' р

Пусть ожидаемый уровень инфляции (темп прироста) равен т, тогда индекс цен за год составит (1 + т), а индекс покупательной способности денег (1 + т)'[21] . За п лет при сохранении предполагаемого темпа инфляции индекс покупательной способности денег будет равен (1 + т)“" .

Таким образом, реальную покупательную способность денег можно рассчитать по формуле

S* = S(1 + т)~" .

Отсюда

Пример 29. Во что превратится сумма 10 тыс. ден. ед. через 4 года при условии, что на нее начисляют 60% годовых? Какова будет ее реальная покупательная способность, если прирост цен предположительно будет в среднем равен 30% (первый вариант) и 80% (второй вариант) в год?

(2.15)

4

= 10 • 2,2946 = 22,946 тыс. ден. ед.;

22,946 тыс. ден. ед. gt; 10 тыс. ден. ед., т.е. Si gt; Р.

4

= 10 • 0,6243 = 6,243 тыс. ден. ед.;

6,243 тыс. ден. ед. lt; 10 тыс. ден. ед., т.е. S2 lt; Р.

Из результатов расчетов наглядно видно, что покупательная способность денег в результате роста инфляции снижается. Причем чем выше инфляция, тем больше обесценение денег.

Очевидно, что если темп инфляции равен ставке процентов, по которой производится наращение, то роста реальной суммы не произойдет: наращение полностью поглощается инфляцией, и, следовательно, S* = Р. Если т gt; і, то происходит «эрозия» капитала, т.е. инфляция поглощает даже часть первоначальной суммы денег и, следовательно, S* lt; Р.

Возникает вопрос: как же учесть в наращенной сумме денег уровень инфляции и предотвратить обесценение денег?

В условиях инфляции погашаемая сумма может быть определена следующим образом:

S(x) = Р(1 + г)" 1(т) = Р(1 + r)n (1 + %У,              (2.16)

где г — ставка, обеспечивающая реальную доходность операции. В то же время (см. разд. 1.2) можно записать:

S(x) = Р(1 + г(т))п,

где г(т) — ставка сложных процентов при выдаче ссуды с учетом инфляции.

Приравнивая приведенные выше формулы, получаем уравнение эквивалентности для рассматриваемой финансовой операции — выдачи ссуды по сложной ставке процентов в условиях инфляции при заданном индексе инфляции за срок ссуды:

Р(1 + і(т))л = Р(1 + г)п Дт).

Отсюда получаем выражение для множителя наращения с учетом инфляции:

(2.17)

?н= [1 + Цт)]л ,

кж = (1 + г)" Цт),

(2.18)

кж= (1 + r)n (I + х)\              (2.19)

Следовательно, [1 + г(т)]п = (1 + г)п Цг).

Таким образом, при выдаче ссуды с учетом инфляции ставка сложных процентов составит:

Их) = (1 + г) Д(х) - 1.              (2.20)

Если п = 1, то

г(т) == (1 + г)(1 +т)-1 = г + т+ гхт. (2.21)

Рассмотрим пример расчета показателей в условиях инфляции.

Пример 30. Ссуда в размере 600 тыс. руб. выдана на 2 года. Реальная доходность операции 30% годовых по сложной ставке процентов. Ожидается, что индекс инфляции за срок ссуды будет равен 2,5. Определите множитель наращения, ставку процентов при выдаче ссуды с учетом инфляции, погашаемую сумму с учетом инфляции и покупательную способность первоначальной суммы денег через 2 года.

¦ ¦ ¦

1. Определим множитель наращения по формуле (2.18):

кж= (1 + 0,3)2 -2,5 = 4,226.

2. Рассчитаем годовую ставку процентов (с учетом инфляции) по формуле (2.20):

i(x) = (1 + 0,3) Д? - 1 = 1,0555 (105,55%).

3. Определим погашаемую сумму с учетом инфляции по формуле (2.16):

S(T) = 500(1 + О,З)2 -2,5 = 500-4,225 = 2112,5 тыс. руб.

4. Рассчитаем покупательную способность первоначальной суммы денег, используя формулу (2.15):

(1 + 0 3f2

S* = 500 +-—= 500-0,27 = 135,2 тыс. руб.

1 +1,5

Пример 31. Ссуда 200 тыс. руб. выдана на 3 года. Реальная доходность операции должна составить 40% годовых ио сложной ставке процентов. Ожидаемый уровень инфляции составляет 60% в год. Определите множитель наращения, ставку процентов при выдаче ссуды с учетом инфляции и погашаемую сумму.

¦ ¦ ¦

= (1 + 0,4)3 (1 + 0,6)3 = 2,744-4,096 = 11,2394.

2. Ставка процентов при выдаче ссуды с учетом инфляции [см.
   формулу

(2.21)]

І(х)іад= 0,4 + 0,6 + 0,4 -0,6 = 1,24 (124%).

3. Погашаемая сумма с учетом инфляции при расчете первым способом [см. формулу (2.16)]:

S(T) = 200(1 + 0,4)3 (1 + 0,6)3 = 2247,9 тыс. руб.,

вторым способом

S(x) = 200(1 + 1,24)3 = 2247,9 тыс. руб.

Рассмотрим начисление сложных процентов несколько раз в году с учетом инфляции. Используя (2.9), определим наращенную сумму в конце срока ссуды, определяемую требуемой реальной доходностью операции rj :

С учетом инфляции возвращаемая сумма должна составить

/              \тхп

(2.22)

S(t) = Sx/(t) = P 1 + 3- Дт) -

В то же время S(x) может быть рассчитана по формуле

(2.23)

где Дт) — номинальная ставка процентов при выдаче ссуды с учетом инфляции.

Приравнивая (2.22) и (2.23), получим уравнение эквивалентности для рассматриваемой финансовой операции при заданном индексе инфляции за весь срок ссуды:

P|l+ —I              Дт) = р(і + —

ml              \              m

Отсюда получаем выражение для множителя наращения:

/              \т              хп

1 + 4-

т)

/              Х\7ЦХП

= (-6 ¦

(2.24)

Дт)

kn

Выражение для номинальной ставки сложных процентов при их начислении т раз в году, обеспечивающей требуемую реальную доходность операции г. при заданном индексе инфляции за срок ссуды, определяется следующим образом:

1 + -

(2.25)

Я т) = т

(2.26)

ИЛИ

Дт) = т Величина наращенной суммы

/              \              т*п

1+И

1+мУ

(2.27)

Дт) « Р

S(t) = Р х k =Р

)

т

т

Приведем пример расчетов по приведенным выше формулам.

Пример 32. Первоначальная сумма ссуды равна 10 тыс. руб. Срок ссуды составляет 2 года, проценты начисляются по полугодиям по номинальной ставке сложных процентов, равной 30% годовых. Определите множитель наращения, номинальную ставку сложных процентов и погашаемую сумму, если ожидаемый индекс инфляции за весь срок ссуды равен 2.

1. Множитель наращения [см. формулу (2.24)]

2-2

0,3

А„=|1 + -^-|              -2              =              3,498.

2. Номинальная ставка сложных процентов с учетом инфляции [см. формулу (2.25)]

= 0,7352 (73,52%).

№ = 2

(1 + М) 4/7-1 0,2

3. Погашаемая сумма с учетом инфляции [см. формулу (2.27)], рассчитанная двумя способами, составит:

S(t) = 1011 +              •              2              =              34,98              тыс.              руб.;

S(t) = Ю | 1 + -?’¦?!521              =              10-3,498=              34,98              тыс.              руб.

Пример 33. Банком выдана ссуда 2 тыс. руб. Срок ссуды 2 года. Проценты погашаются ежеквартально по номинальной ставке 40% годовых. Определите множитель наращения, номинальную ставку процентов с учетом инфляции и погашаемую сумму, если ожидаемый годовой уровень инфляции составляет 50% .

1. Множитель наращения [см. формулу (2.24)]

А. = | 1 + М] (1 + 0,5)2 = 4,823.

2. Номинальная ставка процентов с учетом инфляции [см. формулу (2.26)]

= 0,8694 (86,94%).

/(т) = 4

l + ^dj^/l + 0,5 -1

3. Погашаемая сумма с учетом инфляции [см. формулу (2.27)], рассчитанная двумя способами, составит:

4-2

S(T) = 2|l + M| (1 + 0,5)2 = 2-4,823 = 9,646 тыс. руб.;

4-2

S(t) = 2 [l + °’8|94j              =              2              ¦              4,823              =              9,646              тыс.              руб.