РАСЧЕТЫ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ В УСЛОВИЯХ ИНФЛЯЦИИ

При начислении процентов может быть учтена инфляция — снижение покупательной способности денег. Инфляцию характеризуют два показателя: уровень инфляции и индекс инфляции.

Уровень инфляции и индекс инфляции за один и тот же период связаны соотношением

Дт) = 1-1-7 или і = Дт) - 1,              (1-8)

где Дт) — индекс инфляции; х — уровень инфляции (десятичная дробь).

Ясно, что покупательная способность наращенной суммы с учетом инфляции S(x) должна быть равна покупательной способности суммы S при отсутствии инфляции. Поэтому можно записать:

S( т) = S + AS,

где AS — сумма, которая должна быть добавлена к сумме S для сохранения ее покупательной способности. При этом x=AS/S.

Рассмотрим случай, когда ссуда в условиях инфляции выдается в начале года с последующим погашением в конце года. Предположим, что планируется реальная доходность ссудной операции в виде простой ставки процентов (г). За год (п = 1) наращенную сумму можно определить по формуле

sr - Р( 1 + г).

Предположим, что задан годовой уровень инфляции тг . Тогда

AS =S XT.

Г              г              г

Отсюда

S(т) = S + S х тг = Sr (1 + тг ) = Sr х Цт).              (1.9)

В условиях инфляции погашаемая сумма за год должна составить

S(т) = S (1 + тг ) = Р(1 + г)( 1 + тг ).              (1.10а)

В то же время

5(т) = Р[1 + ?(т)] = Р х \ (т),              (1.106)

где і(т) — простая ставка процентов при выдаче ссуды, учитывающая инфляцию; kR (т) — множитель наращения в условиях инфляции.

В результате имеем

Р(1 + г)(1 + тг) = Р[1 + і(т)],              (1.11)

кл (т) = 1 + ?(т) = (1 + г)(1 + ТГ ),              (1.12)

К Є) = КХ ТЬ),

где ks — множитель наращения по реальной доходности операции.

i(x) = г + т, + г хтг .              (1-13)

Оно носит название эффекта Фишера. Ставка процентов по кредитам со сроком менее года (п lt; 1) может быть определена по формуле

i(x) =              r              +              xt              +              nxrxxr = r + xt+ ~~ х              г              х хг              .              (1-14)

На практике часто              используют рассчитанное по              этой форму

ле приближенное значение ставки процентов по кредиту в условиях инфляции при заданных значениях реальной годовой ставки процентов и годового уровня инфляции:

i(x)=r + xr.              (1.15)

Пример 10. Определите точное и приближенное значения ставки процентов по кредиту, выданному на год в условиях инфляции, если ожидаемый уровень инфляции составит 6% , а реальная доходность кредитной операции должна составить 8% годовых.

¦ ¦ ¦

1. Точное значение ставки процентов по кредиту

:(т) = 0,08 + 0,06 + 1-0,08-0,06 = 0,1448.

2. Приближенное значение ставки процентов по кредиту

і(т) = 0,08 + 0,06 = 0,14.

Таким образом, точное значение ставки процентов по кредиту составит 14,48%, а приближенное 14%.

Погашаемую сумма с учетом инфляции при п lt; 1 можно определить по формуле

S(x) = Р [1 + п х i(x)] = Р [1 +              i(x)].              (1.16)

Другой способ расчета процентов по краткосрочным ссудам (т.е. при п lt; 1) в условиях инфляции заключается в задании уровня инфляции за интервал, меньший срока службы (например, месяц). В этом случае индекс инфляции за срок, включающий несколько таких периодов (например, квартал, полугодие, год), определяется по формуле

Цт) = (1 + Тг Г ,              (1-17)

где Т( — уровень инфляции за период t; т — количество периодов в течение рассматриваемого срока.

Пример 11.

¦ ¦ ¦

Рассчитаем индекс инфляции за год:

7(т) = (1 + 0,06)12 = 2,01.

Ожидаемый годовой уровень инфляции составит т= 2,01 - 1 = 1,01 (101%).

Учитывая формулу (1.17), можно получить выражение для расчета погашаемой суммы с учетом инфляции [6]:

S(т) = S Цт);

Р [1 + § Ш “ Р (1 + ^ г)(1 + т( Г ,              (1.18)

где N — число интервалов в году, для которых задан уровень инфляции; т — ожидаемый уровень инфляции за рассматриваемый интервал времени; т — интервалы по срокам выдачи ссуды. Отсюда

N_

т

(1.19)

і(т) =

1 + 2%|(1 + т(Г -1

При выдаче ссуды на год и заданном годовом уровне инфляции (т = 1; N = 1) выражение (1.19) сводится к выражению (1.13).

Пример 12. Определите ставку процентов при выдаче ссуды с учетом уровня инфляции 20% в месяц и погашаемую сумму для ссуды в размере 10 тыс. руб., выдаваемой на три месяца при требуемой реальной доходности операции 8% годовых.

¦ ¦ ¦

1. Индекс инфляции к концу года составит

1(т) - (1 + 0,2)12 = 8,916 (891,6%).

2. Годовой уровень инфляции

х- 8,916 - 1 = 7,916 (791,6%).

3. Ставка процентов при выдаче ссуды с учетом инфляции

= 3,05 (305%).

v ч 12

= ~3~

(l + JLo,08)(l + 0,2)3-l

4. Погашаемая сумма при ставке процентов с учетом инфляции 305% годовых составит, млн руб.:

S(T) = 10(1 + -4.3.05) = 17,625.

Рассмотрим случай, когда при заданном годовом уровне инфляции ссуда выдается на срок больше года (га gt; 1).

Если га — целое число, то

S(i) = S(l + Tr)",              (1.20)

где (1 + хг )“ = /(х). Отсюда

Р [1 + га X ?(х)] = Р(1 + га X /•)(! + х )* ,

Если срок ссуды в годах га не является целым числом, то значение -S(x) можно также определить по формуле (1.20), а ставку процентов при выдаче ссуды — по формуле (1.21) либо, задав, как и при га lt; 1, уровень инфляции для интервалов времени, меньших срока ссуды, использовать выражение (1.19).

Пример 1 3 . Ссуда в размере 20 тыс. руб. выдана на 2,5 года. Прогнозируемый годовой уровень инфляции в течение этого срока оценивается в 9%. Определите ставку процентов при выдаче ссуды с учетом инфляции и погашаемую сумму, если требуемая реальная доходность операции составляет 10% годовых.

¦ ¦ ¦

1. Ставка процентов при выдаче ссуды с учетом инфляции, рассчитанной по формуле (1.21):

_ (1 + 2,5.0,1)(1 + 0,09)^-1 _ 1,25-1,2404-1 = «5505 _

2,5              2,5              2,5

2. Ставка процентов при выдаче ссуды с учетом инфляции, рассчитанная по формуле (1.19):

i(t) =

2,5

= 0,22 (22%).

(1 + —j— 0,1)(1 + 0,09)2,5 — 1

3. Погашаемая сумма через 2,5 года с учетом инфляции составит, млн руб.: S(r) = 20(1 + 2,5-0,22) = ЗІ.

Предположим, что при выдаче ссуды задается ожидаемый индекс инфляции за весь срок ссуды. Тогда

д

Р [1 + п х ?(т)] = Р(1 + п х г) х Дт) = Р( 1 + — г) х Дт).

К

Отсюда множитель наращения

кж(т) = 1 + п х і(т) = (1 + п х г) х Дт) = (1 + г) х 7(т). (1.22)

Из выражения (1.22) получим формулу для расчета простой ставки процентов при выдаче ссуды, если задан индекс инфляции за весь срок ссуды:

...              *„lt;*)-1.              (1 + П х г) X Дт) - 1              0-+              г)х Дт) 1

1(т) ___ =    _     •

(1.23)

Формула (1.23) является универсальной для любых сроков ссуды и при ее использовании не требуется предположения о том, каким образом будет изменяться уровень инфляции в течение срока ссуды.

Пример 14. Ссуда в размере 40 тыс. руб. выдана на 320 дней. Реальная доходность операции по простой ставке процентов составит 8% годовых. Ожидается, что значение индекса инфляции за срок ссуды составит 1,5. Определите множитель наращения, ставку процентов при выдаче ссуды с учетом инфляции и погашаемую сумму, если К = 360 дней.

¦ ¦ ¦

1. Коэффициент наращения

320

k (т) = (1 +               0,08)              1,5              =              1,607.

'              360

2. Ставка процентов с учетом инфляции

их) = 1,607 -1 360 = 0,683 (68,3%).

320

3. Погашаемая сумма, млн руб., рассчитанная по формуле (1.16),

320

S(t) = 40(1 +               0,683)              =              64,28

360

или по формуле (1.10)

S(x) = 40-1,607 = 64,28.

Ясно, что инфляция влияет на реальную (с точки зрения покупательной способности) доходность вкладных и кредитных операций. Реальное значение суммы с начисленными процентами за некоторый срок, пересчитанное (приведенное) к моменту предоставления денег в долг,

Р(Т) =              .

Цт)

При использовании простых ставок процентов и одном периоде их начисления

Р(Т) =              +              ”.*              9              .              (1.24)

Цт)

Пример 15. Банк принимает депозиты на полгода по ставке 9% годовых. Определите реальные результаты вкладной операции для вклада размером 500 тыс. руб. при месячном уровне инфляции 8%.

¦ ¦ ¦

1. Сумма вклада с процентами на полгода (1/2года), тыс. руб.:

S « 500(1 + 0,5 • 0,9) = 522,5.

2. Индекс инфляции за весь срок хранения депозита (6 месяцев):

1(т) = (1 + 0,08)9 = 1,59 (159%).

3. Сумма вклада с начисленными процентами по своей покупательной способности с учетом инфляции будет соответствовать сумме, руб:

Р(т) = 522500 : 1,59 = 328 616.

Таким образом, с учетом покупательной способности рубля наращенная сумма составит 328 616 руб.