ПОСТОЯННАЯ ФИНАНСОВАЯ РЕНТА ПОСТНУМЕРАНДО Определение наращенной суммы

Рассмотрим методы определения наращенной суммы для постоянных годовых и р-срочных рент, а также ее современной величины.

Годовые постоянные ренты. Пусть в конце каждого года в течение п лет в банк вносятся суммы, равные R.

концу срока составит Д(1 + і)"-1; В(1 + і)" 2 ;•••; -R(l + 0; R-

Перепишем этот ряд в обратном порядке. Он будет представлять собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1 + і) и первым членом R. Найдем сумму п членов этой прогрессии. Искомая сумма S составит

й+їо,) -1              (1              +              Ісл)              —              1

s = В . 1              -              = Д                                            =RxkK, (5.1)

(1 + іет)-1

где кж — множитель наращения, представляющий собой наращенную сумму ренты, член которой равен 1, т.е.

кК = (1 + і)п + (1 + І)п 2-к..+ (1 + і)2 4* (1 + І) +1

Приведем примеры расчета наращенной суммы.

Пример 60. Срок ренты 5 лет, выплата заемщиком раз в конце года по 400 ден. ед., ставка равна 5%. Определите накопленную сумму.

¦ ¦ ¦

Используя формулу (5.1), находим накопленную сумму:

S = 400              )              1              = 400 • 5,526 = 2210 ден. ед.

0,05

Постоянная р-срочная рента. Рассмотрим случай, когда платежи осуществляются р раз в году. Общее число платежей при сроке ренты га лет будет равно га х р. Соотношение для сумм платежей R с начисленными на них процентами будет иметь вид R (1 + і t'Ixp_1^p ;...; іі (1 + і )l/p',R . Коэффициент наращения

„ (l + i^r-i kp = Д .              (5.2)

(1 + *сл) - 1

Наращенная сумма

a + im)n-i 5 = (5-3)

В случае, если сумма платежей в течение года задана (R = pxRp), наращенная сумма

S = R (1 + 1сд) 1 =Rxku.              (5.4)

Md +icJI)1/Jgt; -1]

Общий случай.

.              (5.5)

р[(1 + j / т)т/р - 1]

С помощью выражения (5.5) можно получить формулы для частных случаев:

а)              если р = т, то

а =              -У              (5.6)

б) если р = т = 1, то получаем выражение (5.1);

в) если т = 1, то приходим к выражению (5.4);

г) если р = 1, то имеем

S^O+UjnTZzl.              (5.7)

(1 + j /т)т -1

Пример 61. В страховой фонд средств предприятием ежегодно перечисляется 1 тыс. руб. На эти средства начисляются сложные проценты по годовой ставке 7%. Определите сумму через 5 лет для следующих условий:

1. поступление взноса в конце года, начисление процентов раз в год;
2. поступление взноса в конце года, начисление процентов поквартально;
3. поступление взносов ежеквартально, начисление процентов по полугодиям;
4. поступление взносов по полугодиям, начисление процентов поквартально;
5. поступление взносов и начисление процентов ежеквартально.

Наращенную сумму для первого условия (р = т. = 1) рассчитаем по формуле (5.1):

(1 + 0,07)5 - 1 S (Го7  = 5,751 ТЫС' Ру6'

Наращенную сумму для второго условия (р — 1,т = 4) определяем по формуле (5.7):

(1 + 0,07 / 4)4'5 - 1              0,4148

5 = 1              7              —"              =              5,769 тыс. руб.

б Л.Г. Батракова

(1 + 0,07 /4) - 1              °gt;0719

(1 + 0,07/ 2)2'5 - 1              0,4116

S = 1              577                            - ¦              ” 5,916 тыс. руб.

4[(1 + 0,07 / 2) / - 1]              0,0694

Для четвертого условия (р = 2, т = 4)

(1 + 0,07 /4)4'5 - 1              0,4148

S = 1              туз              = - ¦¦ - — 5,875 тыс. руб.

2 [(1 + 0,07 / 4) / - 1]              0,0706

В пятом случае (р = m = 4) наращенную сумму определяем по формуле (5.6):

. , (1 + 0,07/4)4'5-1              0,4148

5 "1              5^              =              ~W = ’ тысgt; ру

Как видим из расчетов, значения наращенных сумм зависят от условий поступления взноса и начисления процента. Самая большая сумма получается при поступлении платежей и начислении процентов ежеквартально.