ПОСТОЯННАЯ ФИНАНСОВАЯ РЕНТА ПРЕНУМЕРАНДО
Рассмотрим ренту, в соответствии с которой платежи проводятся в начале каждого периода (ренты пренумерандо).
Расчет наращенной суммы. Каждый платеж ренты пренумерандо «работает» на один период больше, чем в обычной ренте.
Например, первый взнос ренты постнумерандо, равный 1 ден. ед., обратится к концу ренты в величину (1 + і)"-1, а первый взнос ренты пренумерандо с процентами к концу срока равен (1 + і)п . В свою очередь последний взнос ренты постнумерандо, равный 1, не приносит процент, а у ренты пренумерандо к концу срока он вырастает до (1 + і).Так как к концу срока ренты каждый платеж ренты пренумерандо с начисленными процентами больше соответствующего показателя ренты постнумерандо в (1 + і) раз, то наращенную сумму для годовой ренты пренумерандо можно определить по формуле
= R х кнп »
t~Tl
где к = Z*1 + = d + iJ + lt;-1 + D2 +••• + (! + У" •
t= 1
Легко заметить, что между коэффициентами наращения для ренты постнумерандо (amp;н) и ренты пренумерандо (km ) есть связь:
k = k X (1 + і ).
нп ж ' сл'
Следовательно, наращенная сумма для годовой ренты пренумерандо
Sn = S(l + ?J = i?xftH(l + ?M), (5.28)
где S — наращенная сумма для ренты постнумерандо, определяемая выражением (5.1).
При начислении процентов тп раз в году наращенная сумма ренты пренумерандо
Sn = S(1 + і / m)m ¦ (5-29gt;
Для р-срочной ренты пренумерандо при начислении процентов один раз в году наращенная сумма составит
Sn =5(1 + ісл)1/% (5.30)
а при начислении процентов тп раз в году
Sa=S(l + j / m)n,p . (5.31)
Рассмотрим пример расчета показателей.
Пример 67. Взносы в фонд предприятия будут производиться на протяжении 3 лет ежегодно по 10 тыс.
руб. На взносы начисляются проценты по ставке 8% годовых. Определите наращенную сумму, если платежи будут производиться:а) в конце года; б) в начале года.
¦ ¦ ¦
В нервом случае для расчета используем формулу (5.1);
„ (1 + 0,08)3 - 1 5 = IQ 1 -?—- = 32,464 тыс. руб.
0,08
Во втором случае расчет осуществляется по формуле (6.28):
S = 32,464(1 + 0,08) - 35,061 тыс. руб.
Таким образом, наращенная сумма с платежами в конце года равна 32,464 тыс. руб., а в начале года 35,061 тыс. руб.
Определение современной величины ренты. Приведенную величину годовой ренты пренумерандо можно вычислить по формуле
Ап = А(1 + ij, (5.32)
где А — современная величина годовой ренты с платежами в конце периодов.
Ниже приведены формулы современной величины ренты пренумерандо для различных случаев ее расчета:
• при начислении процентов т раз в году:
Ап = А( 1 + ] / т)т gt; (5-33gt;
• для р-срочной ренты при начислении процентов раз в году
An=A(l + iai)1,p-gt; (5-34)
* для р-срочной ренты при начислении процентов т раз в
году:
Ап = А(1 + j /т)т/р . (5.35)
Приведем примеры расчета современной величины ренты пре
нумерандо.
Пример 68. Определите современную величину финансовой ренты, ежегодные выплаты по которой в размере 2 тыс. руб. осуществляются в течение 3 лет по сложной ставке 60% годовых при следующих условях:
а) выплаты ежегодные, начисление процентов поквартальное;
б) выплаты и начисление процентов поквартальные.
В первом случае расчет производим по формулам (5.15) и (5.33):
1-а*ад/4)-/1(1,м/4). ,2№3a!«
(1 + 0,6 / 4)4 - 1 °gt;749
Во втором случае (п = 3, р = т = 4) расчеты производятся по формулам (5.14) и (5.35):
.2Щ0±М/1г!1а*„/4)4(4 .2одацш _зпвиб
Таким образом, при расчетах выгоднее оказалось условие с ежегодными выплатами и поквартальным начислением процентов. Сравнивая результаты расчета современных величин пренумерандо и постнумерандо, отметим, что лучшим является вариант выплат и начисления процентов поквартально.