НОМИНАЛЬНАЯ И ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКИ ПРОЦЕНТОВ
В современных условиях проценты, как правило, капитализируются не один, а несколько раз в год — по полугодиям, кварталам, месяцам и т.д. Число раз начисления процентов в году обязательно фиксируется в условиях договора.
Кроме того, обычно указывается и годовая ставка процентов, называемая номинальной (}). Номинальная ставка — это основа для определения той ставки, которая действительно начисляется в каждом периоде. Если номинальная ставка равна j, то в каждом из периодов начисляются проценты по ставке j : т, где т — число раз начисления процентов в году. Например, при / = 1,8 (180% годовых) и начислении процентов по полугодиям ставка в каждом полугодии равна 0,9 (1,8 : 2), т.е. 90%, а в каждом квартале 0,45 (1,8 : 4), т.е. 45% годовых. Такая ставка в мировой практике называется релятивной (относительной).Случай 1. При декурсивном способе расчета сложных процентов наращенная сумма вычисляется по формуле
S = Р(1 + Цпф1 хп . (2.9)
Пример 27. Первоначальная сумма ссуды равна 200 тыс. руб. Срок ссуды 2 года, проценты начисляются в конце каждого квартала по номинальной ставке сложных процентов, равной 8% годовых. Определите множитель наращения и погашаемую сумму.
¦ ¦ ¦
По формуле (2.9) рассчитываем наращенную сумму:
S = 200(1+ 0,08/4) = 200 • 1,02 8 = 200 • 1,1262 = 225,24 тыс. руб.
Множитель наращения равен 1,1262, погашаемая сумма составит 225,24 тыс. руб.
Таким образом, начисление сложных процентов более одного раза в год дает дополнительное увеличение наращенной суммы.
Случай 2. При антисипативном методе расчета сложных процентов наращенная сумма вычисляется по формуле
ґ \т*п
S = Р -У— . (2.10)
\т - і)
Решение примера 27 антисипативным методом будет следующим:
/ . n.4-2
5 = 200 5 = 200-1,0204 8 = 200-1,1288 =
U-0,08j
= 225,76 тыс.
руб.Здесь уже множитель наращения равен 1,1288, а погашаемая сумма составит 225,76 тыс. руб.
Введем понятие эффективной (эквивалентной) ставки процентов (і), под которой будем понимать ту реальную прибыль, которую получают от одной денежной единицы в целом за год. Иначе говоря, эффективная ставка эквивалентна номинальной при начислении процентов т раз в год. Она показывает, какая годовая ставка дает тот же эффект, что и т — разовое наращение в год по ставке }: т. Связь эффективной и номинальной ставок будет рассмотрена в разд. 4.5.
В практике встречаются случаи, когда общий срок ссуды измеряется не целым числом. При такой ситуации наращенная сумма может быть определена либо по формуле (2.9), ли- бо смешанным методом. В первом случае необходимо общую протяженность срока ссуды (га*) представить в виде суммы числа полных периодов начисления процентов (гаї X I) и дробной части одного периода начисления (а), т.е. га* = I X гаї + а, где I — число полных лет. Теперь наращенную сумму легко определить:
/ .\п* / ,\amp;
s — р[ 1 +—] =Р1 + 1 [1 + —] . (2.11)
V гаї/ V гаї/ V гаї/
При начислении годовых процентов га* = 1 + а (гаі = 1) наращенная сумма составит
S = Р(1 + і)1 (1 + i)“. (2.12)
Рассмотренный прием начисления процентов применяется в основном тогда, когда расчет представляет некоторое промежуточное звено в общей цепи расчетов, т.е. лишь один этап в более сложных построениях (например, в страховых расчетах, при анализе капитальных вложений и т.д.). В практике, если конечной целью расчета является только получение наращенной суммы S, применяют смешанный метод. Суть его состоит в том, что наращенная сумма для целого числа периодов определяется по формуле сложных процентов, а для дробной части периодов применяется формула простых процентов, т.е.
S= pj'i + XpJi + tfE). -(2.13)
Если проценты начислены в конце года, т.е.
гаї = 1, тогдаS = Р(1 + і)1 (1 + ocxi). (2.14)
Расчеты по формулам (2.13) и (2.14) дают несколько больший результат, чем по формулам (2.11) и (2.12). Можно доказать, что разница между ними будет наибольшей при а = 0,5.
Рассмотрим пример расчета наращенной суммы двумя методами.
Пример 28. Ссуда 2 тыс. руб. выдана на 27 месяцев по номинальной ставке 7% годовых. Начисление процентов производится по полугодиям. Определите наращенную сумму (двумя методами расчета).
¦ ¦ ¦
Так как т = 2; I = 2; п* = 27 : 6 = 4,5, то а = 0,5. При расчете по формуле (2.9) получаем
S = 2(1 + MI)4.5 = 2(1 + MJ)4 (1 + MZ.)0-5 = 2-1,1475-1,0173 = 2-1,1674 =
*« 2,335 тыс. руб.
При расчете смешанным методом имеем
S = 2(1 + М1)4 (1 + 0,5 Ml) = 2-1,1475-1,0175 = 2-1,1676 = 2,3352 тыс. руб. 2 2
Таким образом, наращенная сумма, рассчитанная смешанным методом, имеет большее значение. Разница в возможных ответах является наибольшей, так как а = 0,5.