ФИНАНСОВАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПЛАТЕЖЕЙ Общие сведения
В банковской практике нередко возникают ситуации, когда необходимо заменить одно финансовое обязательство другим (например, с более отдаленным сроком платежа) или объединить несколько обязательств в одно (консолидировать платежи).
При этом возникает вопрос о принципе, согласно которому должны проводиться изменения условий соглашения. Подобным принципом является финансовая эквивалентность обязательств, которая предполагает неизменность финансовых отношений сторон до и после изменений условий платежей. Эквивалентными считают такие платежи, которые, будучи приведенными к одному и тому же моменту времени, окажутся равными. Принцип финансовой эквивалентности позволяет решать задачи по изменению условий сделок — объединению нескольких платежей в один, замене одного количества платежей другим, изменению сроков платежей, их размеров и т.д.Общий метод решения подобных задач заключается в разработке так называемого уравнения эквивалентности, в котором сумма платежей, предусмотренных старым обязательством и приведенных к какому-либо моменту времени, приравнена к сумме платежа по новому обязательству, также приведенному к этому моменту времени.
- Объединение нескольких платежей в один
Пусть необходимо объединить платежи с суммами , S„,..., -S и сроками п, , п„ в один объединенный
г. т і і j т
платеж с суммой So и сроком пв на основе простой ставки процентов.
Сумма объединенного платежа будет равна:
S = Jgt;oj, (1.25)
/=і
где s — сумма j-ro платежа, приведенного к моменту времени по; so. = sj х KBj; KRj — коэффициент приведения.
Рассмотрим следующие случаи:
- по gt; nj, где по — срок объединенного платежа; п. — срок /-го платежа.
Коэффициент приведения будет представлять собой множитель наращения и рассчитываться по формуле
r=l + t.xi, (1.26)
где t.
= по - п.= ———; до — дата объединения платежа; dj —дата j-то платежа;
- па lt; nj. Коэффициент приведения будет представлять собой коэффициент дисконтирования, определяемый по формуле
№,= gt; (1-27)
д; ~ д,
где t = п. - п —
і і О К »
Пример 16. Платежи суммами в размере 150, 130, 120 тыс. руб. со сроками погашения 200, 250 и 100 дней от некоторой выбранной даты заменяются одним со сроком 300 дней от той же даты. Определите сумму нового объединенного платежа при простой ставке процентов 8% годовых и К = 360 дней.
Так как па gt; nj , то да - lt;9, = 100, - дг = 50 и lt;?а - Д3 = 200 дней.
Рассчитаем значения коэффициентов приведения:
100
К , = 1 + 0,08 = 1,0222;
360
50
К. = 1 + 0,08 = 1,0111;
360
К , = 1 + 222 0,08 = 1,0444.
360
Сумма нового объединенного платежа, тыс. руб.:
Ss = 150-1,0222 + 130-1,0111 + 120-1,0444 =
= 153,33 + 131,443 + 125,328 = 410,101.
Пример 17. Объединяются четыре платежа с суммами размером 20, 15, 10, 25 тыс. руб. со сроками 31.03, 15.05, 15.07 и 30.09. Срок объединения платежа 15.08 при простой ставке процентов 7% годовых и К = 365. Рассчитайте сумму объединенного платежа.
¦ ¦ ¦
Рассчитаем число дней от срока первоначального платежа до объединенного: да- д, = 137 (дней) (л0 gt; п1?, Д. - д3 = 31 (день) (п0 gt; п3);
До ~ дг = 92 (дня) (п0 gt; п2); Д» - Д„ = 46 (дней) (па lt; п4).
Рассчитаем значения коэффициентов приведения:
137 31
К = 1 + 0,07 - 1,0263; К , = 1 + 0,07 = 1,0059;
111 365 “[20] 365
Если число платежей по новым условиям больше одного, необходимо записать общее уравнение эквивалентности, в котором сумма платежей по старым условиям, приведенных по заданным процентной ставке и дате, приравнивается к сумме платежей по новым условиям, приведенных по тем же процентной ставке и дате.
Ъ= 1
Уравнение имеет вид:
у S , ,хК , .
/ j а (ст) па (ст)
а = 1
где Sa(ст) (а = 1,2,...,ЛГст) — суммы платежей по старым условиям; -ЙГиа(ст) — коэффициенты приведения платежей по старым условиям к заданной дате; Sb{K)(b = 1,2,...,ЛГж) — суммы платежей по новым условиям; КпЬ — коэффициенты приведения платежей по новым условиям к той же заданной дате.
В качестве одной величины, характеризующей новые условия платежей при заданных прочих условиях, целесообразно принять сумму последнего платежа.
Представим уравнение (1.28) в следующем виде:
a=N„ b=Nm
где SK (н) — сумма последнего платежа; КпЩя) — коэффициент приведения последнего платежа к заданной дате.
Из (1.29) имеем
S
В частном случае одного объединенного платежа выражение (1.30) сводится к (1.25).
Пример 18. В примере 17 определены следующие новые условия платежей: 1.08 выплачиваются 50 тыс. руб., оставшийся долг выплачивается 15.10. Определите сумму последнего платежа для дат приведения 1.09 и 15.10.
Случай 1. Рассчитаем число дней от срока первоначального платежа до объединенного:
lt;?о - Аст) = 154 (дня); Аст) - lt;?„ = 29 (дней);
Э0 - Аст) = 109 (дней); д„ - д1ы = 31 (день);
lt;?„ - Ао = 48 (дней); д2ыgt; - д0 = 44 (дня);
Определим значения коэффициентов приведения:
К., , = 1 + —0,07 = 1,0295; К , = (1 + — 0,07)-1 = 0,9945;
к») 365 4('т) 365
109 31
к„ = 1 + 0,07 = 1,0209; К„ , = 1 + 0,07 = 1,0059;
2(о,) 365 l(s) 365
Кз(о,) “ 1 + 4кб 0,07 = 1,00925 = (1 + Ш 0’07)_1 = °’"1а'
Рассчитаем сумму последнего платежа, тыс.
руб.:S,, , = Ї (20 • 1,0295 + 15 • 1,0209 + 10 • 1,0092 + 25 • 0,9945 - 50 • 1,0059)=
2(1) 0,9916
= 20,737.
Случай 2. Рассчитаем число дней от срока первоначального платежа до объединенного:
до ~ Аст) = 198 (дней); да - дм„\ = 15 (дней);
до - Act) = 153 (дня); lt;?0 - дШ\ = 75 (дней);
до - Act) = 92 (дня); да ~ Ан) = 0 (дней).
Определим значения коэффициентов приведения:
К., . = 1 + 155-0,07 = 1,038; К., = 1 + 45-0,07 = 1,0029;
К») 365 4(е,) 365
Рассчитаем сумму последнего платежа, тыс. руб.:
52(ж) = 20-1,038 + 15-1,0293 + 10-1,0176 + 25-1,0029 - 50-1,0144 » 20,729.
Из расчетов видно, что изменение даты приведения приводит к некоторому изменению суммы последнего платежа (в первом случае он равен 20,737 тыс. руб., а во втором случае — 20,729 тыс. руб.).