ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЗНАЧЕНИЙ ЭФФЕКТИВНОЙ И НОМИНАЛЬНОЙ ГОДОВЫХ СТАВОК СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

Рассмотрим, какое соотношение существует между номинальной и соответствующей ей эффективной годовой процентной ставками.

Исходя из определений эффективной [см.

Р(1 + i)n = P(l + j/т)тхп .              (4.18)

Отсюда получим:

і = (1 + / / т)т - 1; j / ш = VT+7 - 1. (4.19); (4.20)

Ставка (j/m) называется релятивной процентной, рассчитываемой за полгода, за квартал, за месяц и т.д. Номинальную ставку рассчитаем по формуле

j = т('5(/Г+7-і).              (4.21)

Отметим, что замена в договоре номинальной ставки j при условии, что она начисляется т раз в год, на эффективную і не изменяет финансовых результатов.

Пример 6 5. Облигация достоинством 100 тыс. руб. выпущена на 5 лет при номинальной ставке 50%. Определите:

1. наращенную стоимость облигации в конце срока займа, если наращение процентов производится один раз в год, в полугодие, в квартал. Проанализируйте доходность при различных вариантах наращения с позиций держателя и эмитента облигации;
2. эффективные процентные ставки по вариантам начисления;
3. наращенные стоимости облигации по эффективным процентным ставкам при различных вариантах начисления.

¦ ¦ ¦

1. Наращенные стоимости облигации при начислении процентов:

а) ежегодном [см. формулу (2.1)]

Sj = 100 (1 + 0,5)’ = 100-7,594 = 759,4 тыс. руб.;

б) полугодовом [см. формулу (2.9)]:

S2 = 100 (1 + 0,5 / 2)2 S = 100 • 9,298 = 929,8 тыс. руб.;

в) квартальном [см. формулу (2.9)];

S3= 100 (1 + 0,5 / 4)lt; б= 100-10,55 = 1055 тыс. руб.

Как видно, для кредиторов (держателей облигаций) выгоднее наращение стоимости по процентной ставке с квартальным начислением процентов, а для заемщика (эмитента облигации) — по годовой процентной ставке.

2. Эффективные процентные ставки при начислении процентов:

а) ежегодном

і, = 0,50 (50% годовых);

б) полугодовом [см. формулу (4.19)]:

г3 = (1 + 0,5 / 2)2 - 1 = 0,562 (56,2% годовых);

в) квартальном [см. формулу (4.19)];

i3 = (1 + 0,5 / 4)* - 1 = 0,602 (60,2% годовых).

3. Наращенные стоимости облигации по эффективным процентным ставкам при начислении процентов:

а) ежегодном [см. формулу (2.1)]:

Sl = 100 (1 + 0,5)5 = 759,4 тыс. руб.;

б) полугодовом [см. формулу (2.1)]:

S2 = 100 (1 + 0,562)s = 100 • 9,298 = 929,8 тыс. руб.;

в) квартальном [см. формулу (2.1)]:

s3 = 100 (1 + 0,б02)6 = 100-10,55 = 1055 тыс. руб.

Сравните результаты пунктов 1 и 3 и сделайте самостоятельно соответствующие выводы об эквивалентности номинальных и эффективных процентных ставок.

Пример 56. Банк принимает срочные вклады на 3 месяца с выплатой дохода за срок в размере 15%. Определите эффективную годовую ставку процентов при вложении средств на 9 месяцев с переоформлением вклада и начислением процентов через каждые 3 месяца.

¦ ¦ ф

1. Так как 15% — это релятивная ставка процентов за 3 месяца, то годовая номинальная ставка составит

где от — число начислений в год (от = 4).

2. Годовую эффективную ставку определим по формуле: (1 + / / т)тхп - 1= = 1 + п х ?. Поскольку л = 1, то (1 + / / от)”1 = 1 + і . Отсюда

ij, = (1 + / / от)"* - 1 = (1 + 0,6 / 4)4 = 0,749 (74,9% ).

3. Эффективную ставку при вложении средств на 9 месяцев (3/4 года) определим из формулы

(1 + //от)8т/4 = 1 + 3/4хі,;

(1 + 0,6 / 4)3'4/4 - 1              (1              +              0,15)3 - 1

= 0,695 (69,5%).

3/4              0,75

Введем в пример 56 дополнительное условие: пусть величина вклада составит 100 тыс. руб. Рассчитаем эффективные и номинальные процентные ставки через каждые 3 месяца. Результаты расчета приведены в таблице.

Рассчитаем, например, наращенную сумму по номинальной (а) и эффективной (б) процентным ставкам через 9 месяцев после вложения средств. Сравним результаты расчетов.

1. Sj = 100(1 + 0Д5)9'4/12 = 100(1 + 0,15) 3 = 152,09 тыс. руб.

б)              Ss = 100 (1 + 0,749)270/36° - 100 (1 + 0,749)3/4 = 100 ^(1 + 0,749)3              =

= 100 • 1,5209 = 152,09 тыс. руб.

Как видим, наращенная сумма по обоим вариантам расчета составила 152,09 тыс. руб.