<<
>>

Задача максимизация выручки V (T) Организатора финансовой пирамиды по цене - параметру cg

В этом разделе рассматривается задача оптимизации по цене - параметру cg е [0,1].

В этом разделе в качестве функции спроса, удовлетворяющей всем перечисленным требованиям, будем использовать функцию (1 - c)n

®(c) =              , n gt; 1, 0 lt; m lt; 1.

cm

В качестве функции роста f (t) рассмотрим следующие варианты, аналогичные рассмотренным в разделе 3:

  1. постоянная функция f (t) = 1;
  2. линейная функция f (t) = t;
  3. степенная функция f (t) = t13, p є ? ;
  4. экспоненциальная функция f (t) = ext, Л gt; 0.

Для каждой из них решена задача:

V(T) ^ max

cg Ч°Л]

V (0) = 0 0 lt;t lt;p,t gt; ф dV              ,

—=cgg a) -g (t -ф)

g(0) ^ 0,t є [-ф,0)

(1 - c )n g(t) = go —m—f (t)’t ^ 0

cg

n gt; 1,0 lt; m lt; 1 cg - const є [0,1]

Схема решения задачи. Эта задача решалась в несколько этапов. Сначала в аналитическом виде выражалась d^) как явная (хотя и кусочно-заданная) функция времени, исследовался ее знак и находился нуль. Это позволило в аналитическом виде найти значение момента времени T, дающего максимум функции V (t) с учетом условия T lt; Тх.

После в формульном виде вычислялось экстремальное значение V(Т), которое затем максимизировалось по цене cg е [0,1].

Замечание. Так как в алгоритме расчета c* есть этап максимизации V (t), то фактически в качестве условия окончания финансовой пира-

dV л              ~

миды использовалось условие — = 0, т.к. предполагалось, что Орга-

dt

низатор использует в каждый момент времени для выполнения своих обязательств только средства, полученные в тот же момент времени, но не ранее.

Решения задач. В Приложениях 1 и 2 приводятся решения двух вспомогательных задач.

  1. Постоянная функция f (t) = 1. В этом пункте приводится решение задачи максимизации выручки Организатора V (T) по цене-параметру при функции роста f (t) = 1.

Задача.

V(T) ^ max

cg

V (0) = 0 0 lt; t lt; % T gt; 9 dV

—-cgg (t) -g (t -9)

g(0) - °, t є [-9,0)

g (t) = go              .              t              a              0

cg

n gt; 1,0 lt; m lt; 1 cg - const є [0,1]

Решение.

0lt;tlt; v:              =g0(1 _cjcg- gt;0.

t gt; V : A-dK = g0 (1 - cB)"c'gm - g (1 - c,)nc-m = -g0(1 - cB)"¦ cgm lt; 0.

Итак, T = (p.

V (T) = g0(1 - c ) nFgmy ^ max. Согласно Приложению 1 решение этой

c, є[0,1]

задачи имеет вид .              1 - m

c =              є              (0,1), т.к.              n gt; 1,0 lt; m lt; 1.

n +1 - m

Ответ: cg = 1 m .

n +1 - m

  1. Линейная функция f (t) = t.

В этом пункте приводится решение задачи максимизации выручки Организатора V (Т) по цене-параметру при функции роста f (t) = t. Задача.

V(Т) ^ max

cg

V (0) = 0

0 lt; t lt; р, т gt; ф dV , ,              ,

и=c«g (t) -g (t - ф )

g(0) - °, t е [-ф,0)

(1 - cg )n

g(t) = g

o rm g

n gt; 1,0 lt; m lt; 1 ,cg = const е [0,1]

Решение.

0 lt; t lt; 9:              =g0(1 - cjc'-t gt; 0.

t gt; ф

dV (t) dt

dt

= g0(1 -cg)4“^ -g0(1 -cg)"cgm(t - Ф) = g0(1 -cg)"c~gm [-(1 - cg)t + Ф]

Ф

Отметим, что c = 1 не дает максимум.

При c є [0,1) Т =

1 - c„

c t_ - (t - 9)2

g 2 2

t              t-у

V(t) = cg Jg(? W - j ge)d? = g,(1 - cg )"

+ 2              ,_2

= g 0(1 - % ) "c~-

at              9

-(1 - c« )Y+9'-T

Ф

Ф Ф

V (T) = g0(1 - cg )nc-

2(1 -cg)              1              -              cg              2

a\n-1 1-m

- cg) cg Ф max

2              g              g              cg e[0,1]

Согласно Приложению 1 решение этой задачи имеет вид

1 — m

c = є (0,1), т.к. n gt; 1,0 lt; m lt; 1.

g

n — m

Еще необходимо проверить условие T lt; T

9 _ n—m _              n-m л

-d—lt;T1,              -9 lt;T1, где              -gt; 1.

1 - cg              n — 1              n -1

* 1 — m              n - m

Ответ: c =              ,              если T1              «достаточно велико», т.е. T1 gt;              9.

n—m              n-1

  1. Степенная функция f (t) = tPP є ? .

В этом пункте приводится решение задачи максимизации выручки Организатора V(T) по цене-параметру при функции роста f (t) = tp. Задача.

V(T) ^ max

V (0) - 0 0 lt; t lt; T1, T gt; 9 dV ґ ,              ,

—-cgg (t) -g (t -9)

S(0) - 0t є [-9,0)

(1 - c )n

g(t) - So—mHt 13, t ^ 0

cg

n gt; 1,0 lt; m lt; 1, P є ? cg - const є [0,1]

Решение.

t gt; 9: dV (t)

0lt;tlt;9: PA=g0(1—c,rc'g"tf gt;0.

= g0 (1 - c, )"E"tf - g0(1 - О "c~m (t - 9 )* =

dt

+0(1 - c,)"cy [cgtf - (t - 9)" ] .

Отметим, что cg = 1 не дает максимум.

При c, є [0,1) T = ~JLV

1 - cjp

t              t-lt;p

p +1 p +1

V(t)=c, Jgam - j,$m=g0(1 - c,)"

g0(1 ~c)V«m [c tд*' -(t-p)'’*¦ 1 . p+1 L g              1

,0(1 - c, ) ”c,

V (T) =

p+1

p+1

9 p+              c,              p 9 p+'

p+1

  • (T)              (1              - c, )ncg 3
  • (T) - ~—:—;              ——gt; max .

cg e[0,1]

P +1

1 - c* J

(1 - c)nc

Обозначим f (c) =                              ——. Эта функция имеет особенность в точке

(і- А)

c = 1. Для ее исследования сделаем замену и = 1 - c.

un (1 - u)1

un (1 - u)1

p

/a

1 - (1 - u)

1 - (1 -—u)

p .

: ppun“p (1 - u)1“m : ppun“p .

Здесь знак : означает эквивалентность при u ^ 0 +. Если n gt; р, то f (c) ^ 0 при c ^ 1 -.

Если n = р, то f (c) ^ const є (0, +го) при c ^ 1 -.

Если n lt; р, то f (c) ^ при c ^ 1 -.

Исследуем эти случаи последовательно.

а)              n lt; р .

При n lt; р так как f (c) ^ +да при c ^ 1 -, то c*g = 1. При n = р:

f (c) = МІ = c"m|Z

1 - c'

,k=0              У

Таким образом, f (c) - монотонно возрастающая функция. Поэтому опять же cg = 1.

1 - c. Ур

Но при cg ^ 1 - Т = —^ +да, а должно быть Тlt;р; значит, Т = р.

Тогда

g0(1 - cg ) ”cg

cT *1 - (Т - 9)""

V (Т) -

р+1

р+1

Т1-ф T

V 11              /

р+1

g0T1

¦(1 - cg)4

c -

р+1

m.

Согласно Приложению 2 решение этой задачи имеет вид (а =

с              \Р+1

b = n, к =

):

1 - 7L

v Т;

cs =

(1 - m) + (n - m) к + ^ (-m - mk + nk +1)2 + 4mk (n - m +1)

2(n - m +1)

(1 - cg )Ч

б) n gt; p. f (0) = 0, f (1-) ^ 0. Максимум находится на интервале (0,1).

-» max , n gt; P,0 lt; m lt; 1, P e ? .

cg e[0,1]

1/

Обозначим u = cgp

,p) n/p up-m

(1 - u )nup(-l-m)              (1 - u/V

-—~b              > max, или эквивалентно: ^ -l              gt; max

/1 — u j              ue[0,1]              1 — u              ue[0,1]

n

Обозначим a = 1 - m, 0 lt; a lt; 1, b = — gt; 1,

p

ua (1 -u13 f f1(u) =              :              gt; max .

1 — u              ue[0,1]

I 1 М I              Г ,              ,

Л~--г [а (l - u 2 )lt;1 - u) - fib„ u (1 - „) + „ fl - „ 2)

Легко проверить, что единица является корнем выражения в квадратных скобках. Соответственно выражение для f[ (и) можно упростить.

Обозначим f2 (и) = -(а + р b - 1)иp + и p_1 + K + и + а.

f2(0) = а gt; 0, f2(1) = р(1 - b) lt; 0. Это еще раз подтверждает, что cg и и* лежат на интервале (0,1) .

Случай Р —1. f2(n) --(а + b - 1)и + а.

1 - m

и = cg

n - m

є (0,1). Этот результат был получен в предыдущем

пункте.

Случай р = 2. р(и) = -(а + 2b- 1)и2 + и + а. Уравнение при заданных условиях всегда имеет два корня. Кроме того, из теоремы Виета следует, что этот квадратных трехчлен имеет два корня разных знаков, причем положительный корень больше по модулю.

„              1              +              ^1 + 4а(а + 2b -1)

и

2(а + 2b -1)

Можно показать, что и" є (0,1).

2

Т1 ,              1+ J1 + 4(1 - m)(n - m)

Итак, c* = —^              2              -              -

I              2(n - m)              .

В случае р gt; 2 аналитические вычисления очень сложны. Численные эксперименты показывают, что на (0,1) имеется ровно 1 корень производной, дающий искомый максимум.

Еще необходимо проверить условие T lt; T:

^              ¦lt;T1,              -2lt;t1.

Vp              11 1 - u *

1 - (c

Ответ: а) n lt; р

(1 - m) + (n - m) к + ^ (-m - mk + nk +1)2 + 4mk (n - m +1)

2(n - m +1)

С              \P+1

1 - 2L

v T J

c

g

где к =

v~, то:

Ф

б) n gt; р. Если T «достаточно велико», т.е. T1 gt;

р = 1:

1 - m

c, =

n - m

р = 2:

c, =

1 + ^1 + 4(1 - m)(n - m) 2(n - m)

В случае р gt; 2 аналитические вычисления очень сложны. Численные эксперименты показывают, что на (0,1) имеется ровно 1 корень производной, дающий искомый максимум.

  1. Экспоненциальная функция f (t) = e , ^ gt; 0.

В этом пункте приводится решение задачи максимизации выручки Организатора V (T) по цене-параметру при функции роста f (t) = ext.

Задача.

V(T) ^ max

cg

V (0) - 0

0 lt; t lt; T1, T gt; 9 dV

—-c,g (t) -g (t -9)

S(0) - 0,t є [-9,0)

e",tgt;0

g

n gt; 1,0 lt; m lt; 1, X gt; 0 cg - const є [0,1]

Решение.

0 lt; t lt; 9: dV(tl = S0(1 - cYcTmeXt gt; 0.

dt

t gt; 9:

dV(t)   ^ /1              ^              \n ^ 1-m „Xt              „              ^              )"c-"є^є-Х^

= S0(1 - c,)n cg-meXt - S0(1 - c,)n c-meXte^ =

dt

= g0(1 - Cg) 'СУ [Cg - e              ].

  1. c gt;e 44, Xqgt; ln-T.              )              gt;              0              при              t              gt;              0. Значит,              T = TB

cg              dt

eXt -1 eXte~X9 -1

X              X

t              t-lt;p

V(t) = с. Jg(f )df - j g(f )df = S0(1 - с. )

= S0-(1 - Cg ) "c~s m [cg (eXt -1)-(eVл9 -1)

X

eAT‘ e~l9 -1

c. -

g              pXT1

eAj1 -1

V(T) = S0 ^^ ^ (1 - Cg)"c.

A

Согласно Приложению 2 решение этой задачи имеет вид (а = m.

elT1 e-19 -1

b = n , к = ¦

к є (0,1), т.к. T є (9, +да)):

eXTl -1

(1 - m) + (n - m) к + ^ (-m - mk + nk +1)2 + 4mk (n - m +1)

c              .

g              2(n - m +1)

Дальнейший анализ этого решения см. в пункте 3.

  1. c lt; e~19 , Хф lt; ln—.

cg

dV (t) Л

0 lt; t lt; ф: —— gt; 0 t gt; 0. dt

dV (t) Л

t gt;ф: ——lt;0 tgt;0. dt

Значит, T = ф.

g0 (el9 - 1)

V(T) = —                 (1              - c )"c1 m ^ max . Согласно Приложению 1 решение

X              cg є[0,1]

этой задачи имеет вид 1 — m

c =              є              (0,1), т.к.              n gt; 1,0 lt; m lt; 1.

n +1 — m

Дальнейший анализ этого решения см. в пункте 3.

  1. Теперь необходимо выяснить, какой из рассмотренных случаев имеет место, и какое cg дает искомый максимум поставленной задачи.

еят1 e-n _ 1

Отметим, что k = ———— из первого случая є (0,e ^), т.к.

(ф , ).

Можно показать, что cg (k) из первого случая монотонно возрастает по k при k е (0,1), и cg (k) gt; k.

а) 1 m gt; e~l9. Второй случай не имеет места, а первый - имеет,

n +1 - m

1 m

т.к. c* (k) gt; c* (0) =              gt;              e~X9. Ответом является ответ первого случая.

g g              n +1 — m

1-m

б)               lt;              e~. Второй случай имеет место. При «достаточно

n +1 - m

єщ e-1lt;р _1

больших» Т k = —1Т7—— из первого случая ^ e 9 при Т, ^ да и

k lt; e~X9. Но т.к. cg(k) gt; k, то и первый случай может иметь место. Необходимо сравнение значений V (Т). Итого можно выписать ответ.

Ответ: а) Если

1 - m n +1 - m

gt; e 19, то ответ (1) (см. ниже).

б)              Если 1 m lt; e 19, то:

n +1 - m

б1) если c (T) из (1) (см. ниже) gt; e~l9 и

+1 -i9 -1

cg (T1) - -ртлт

К1 - Л1 - cg (?1) )n % m)'

(n - m +1)'

n

г-m+1 5

то ответ (1) (см. ниже).

б2) иначе c =

gt;

gt;

1 - m n +1 - m

Упоминаемый выше ответ (1) имеет вид:

cl(k)=

(1 - m) + (n - m)к + yj(-m - mk + nk +1)2 + 4mk(n - m +1)

2(n - m +1)

+1              -ilt;p _1

где к(T1) =              Ят,              , , а              cg (T1) = c* (к)

к=к (T1)

єЯТ1 _ 1

Полученные решения. Снова приведем полученные результаты.

  1. постоянная функция f (t) = 1:

*              1              -              m

c =

g n +1 - m

  1. линейная функция f(t) t;

1 - m

n - m

n - m

если T «достаточно велико», т.е. T1 gt;              9.

n -1

f(t) = tgt; p є ? .

  1. степенная функция

а) n lt; p

(1 - m) + (n - m) k ^ 2J(-m—mk+nk+V)p+m+T)

2(n - m +1)

r              \P+l

1 - ?

V T У

g

c

где k =

lt; Д, то:

lt;P

б) n gt; p. Если T «достаточно велико», т.е.

P -1:

1 - m

cg =

n - m

P = 2

cg =

1 + 21 + 4(1 - m)(n - m) 2(n - m)

f (t) - e" я gt; 0

В случае p gt; 2 аналитические вычисления очень сложны. Численные эксперименты показывают, что на (0,1) имеется ровно 1 корень производной, дающий искомый максимум.

  1. экспоненциальная функция

а) Если

б) Если

1 - m n +1 - m 1-m

gt; e 19, то ответ (1) (см. ниже).

lt; e"19, то

n +1 - m

б1)              если c (Д) из (1) (см. ниже) gt; e~l9 и

eZT e~X9 -1 єщ -1

lt; (т1) -

gt;

К'-i)C - c; «)) ( Т))

n

n-m+1 5

gt; (e* -

(n - m +1)

то ответ (1) (см. ниже).

б2)              иначе с =

1 - m n +1 - m

Упоминаемый выше ответ (1) имеет вид:

(1 - m) + (n - m)к + yj(-m - mk + nk +1)2 + 4mk(n - m +1)

2(n - m +1)

її; -xlt;p _1

k=k (T1)

где k(T) = ^ _ 1 , а c;(T1) - c;(k)

Численный пример. Для иллюстрации полученных результатов найдем численные значения с* для конкретного примера.

Положим m = 0,5 (среднее значение), а в качестве n возьмем 2, 5 и 10. Время будем измерять в месяцах, примем период q за 3 месяца: q = 3. В Таблице 3 сведены значения полученных cg.

Выводы. Из приведенной Таблицы 3 легко выделить следующую закономерность: чем меньше выбранное ограничение на время существования финансовой пирамиды T1, тем меньшие значения с* дают

искомый оптимум.

Использование на практике. Как уже было отмечено, рассмотренная в данном разделе модель с постоянной ценой достаточна груба, т. к. не позволяет Организатору менять цену в течение всей жизни финансовой пирамиды, что ограничивает его свободу действий и сильно уменьшает полученную им итоговую выручку.

И все же: для практического применения выводов рассматриваемой модели необходимо определиться в выборе нескольких используемых параметров, а именно: функции спроса Ф(с) и функции роста числа участников финансовой пирамиды f (t).

Функция f (t), время

T, мес.

m — 0,5

n = 2

n = 5 n = 10
1

0, 200

0, 091 0, 048
t

0, 333

0, 111 0, 053

t2

T - 3 0, 200

0, 214

0, 083

T - 6 0, 347
T -12 0, 595
T - 24 0, 775

t3

T - 3 0, 200

T - 6 0, 282
T -12 0, 513
T - 24 0, 716

e2t ,

1 - m .

T - 3 0, 200 0, 091 0, 048
T - 6 0, 204 0, 095 0, 052

              gt; e

1 - m + n

T -12 0, 204 0, 095 0, 052
T - 24 0, 204 0, 095 0,052

e05t 1 - m s

T - 3 0, 200 0, 091 0, 048
T - 6 0, 401 0, 296 0, 048

              s e

1 - m + n

T -12 0, 435 0, 332 0, 285
T - 24 0, 436 0, 334 0, 287

Функцию спроса можно оценить, используя статистику продаж рыночных ценных бумаг, аналогичных тем, которые предполагает выпускать Организатор.

Функцию роста f (t) оценить гораздо сложнее. Для грубого использования модели достаточно понять, какой «степенью» описывается ожидаемый рост числа вкладчиков: линейной, квадратичной, кубической, экспоненциальной функцией и т.п. Такую оценку можно провести по информации о существовавших ранее финансовых пирамидах. Основная трудность состоит в том, что такая информация не является общедоступной.

В следующем разделе будет описана более гибкая модель, которая позволяет варьировать цену бумаг Организатора с течением времени.

<< | >>
Источник: Г. Г. Димитриади. Модели финансовых пирамид: детерминированный подход. - М.: Едиториал УРСС, 2002. 2002

Еще по теме Задача максимизация выручки V (T) Организатора финансовой пирамиды по цене - параметру cg:

  1. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
  2. 2.2. Российская практика управления реструктуризацией предприятий
  3. Принципы деятельности финансовых пирамид
  4. Основные этапы деятельности финансовых пирамид
  5. 5.5. Практикум: решение задачи максимизации роста активов
  6. Цель и задачи прогнозирования деятельности компании. Бизнес - план. Финансовый план в составе бизнес - плана
  7. Кредитные союзы и финансовые пирамиды
  8. МОДЕЛИ ФИНАНСОВЫХ ПИРАМИД: ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ПОДХОД
  9. Модель финансовой пирамиды
  10. Финансовая пирамида с заданной функцией g (t) и фиксированной ценой cg = fix
  11. Постановки задачи максимизация выручки V (T) Организатора финансовой пирамиды по цене cg
  12. Задача максимизация выручки V (T) Организатора финансовой пирамиды по цене - параметру cg
  13. Задача максимизация выручки V (T) Организатора финансовой пирамиды при помощи вариации цены - управления cg (t)
  14. Заключение
  15. Задачи, объекты и методы внутри фирменного Финансового планирования
  16. Схема финансовой “пирамиды” ГКО
  17. Задачи к теме 2: Методический инструментарий финансового менеджмента