<<
>>

Оценка риска при инвестировании

На рис. 2.1 показан документ с данными по акциям трех типов. Для каждой из акций приведен набор возможных значений ставки доходности и вероятности ее реализации. По этим данным вычисляются математическое ожидание для ставки доходности и стандартное отклонение (корень квадратный из дисперсии).

Рис.<div class=

2.1. Анализ рисков" />

Рис. 2.1. Анализ рисков

Так, например, в ячейку B7 вводится формула ^УММПРОИЗВ^:^^:^) для вычисления ожидаемой ставки доходности (в ячейках B5:H5 представлен набор возможных значений ставки доходности, а в ячейках B6:H6 — вероятность их реализации). Как известно, если случайная величина Е может принимать значения Ек с вероятностями Р(Е = Ек), (к = 1,2,... ,N), то математическое ожи-

N

дание ME случайной величины Е дается суммой: ME = ^Ек^(Е = Еk). Именно

k=i

такая сумма реализуется указанной выше формулой. Поскольку стандартное отклонение вычисляется как корень квадратный из дисперсии, необходимо вычислить и ее. Дисперсия D определяется как математическое ожидание квадратов отклонений случайной величины от ее математического ожидания, то есть DE = М(Е - МЕ)2. В случае дискретно распределенной случайной вели-

N

чины имеем Dh, = ^ (hk - М^)2Р(Ъ, = Ъ,k). Это выражение для рассматриваемого k=i

случая в Excel может быть реализовано с помощью формулы =КОРЕНЬ(СУММ- ПРОИЗВ((В5:Н5-$В$7)л2;В6:Н6)), которая вводится в ячейку B8 как формула массива (комбинация клавиш Ctrl+Shift+Enter). Это нужно для того, чтобы командой (В5:Н5-$В$7)Л2 формировался массив данных, получающихся возведением в квадрат отклонений значений ячеек диапазона B5:H5 от математического ожидания (ячейка $В$7).

Значение в ячейке I5 дает представление о среднеарифметической ставке доходности (формула =СРЗНАЧ(В5:Н5)), а формула =СУММ(В6:Н6) в ячейке I6 позволяет контролировать корректность введенных данных для закона распределения случайной величины — сумма всех вероятностей должна равняться единице.

Для двух оставшихся типов акций характеристики распределения вычисляются абсолютно аналогично.

Для удобства основные формулы с указанием ячеек, в которые они вводятся, приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1. Значения ячеек таблицы Ячейка или диапазон Формула или значение В12^12 Набор возможных значений В13^13 Вероятности реализации значений H12 =СРЗНАЧ(В12^12) H13 =СУММ(В13^13) В14 =СУММПРОИЗВ(В12^12;В13^13) В15 =КОРЕНЬ(СУММПРОИЗВ((В12^12-$В$14)л2;В13^13)) (формула массива) В19:Е19 Набор возможных значений В20:Е20 Вероятности реализации значений F19 =СРЗНАЧ(В19:Е19) F20 =СУММ(В20:Е20) В21 =СУММПРОИЗВ(В19:Е19;В20:Е20) В22 =К0РЕНЬ(СУММПР0ИЗВ((В19:Е19-$В$21)Л2;В20:Е20)) (формула массива)

Вывод относительно выбора нужного типа акций предстоит сделать по значениям математических ожиданий и стандартных отклонений. Общий качественный критерий состоит в том, что математическое ожидание должно быть по возможности больше, а стандартное отклонение как можно меньше. Отсюда можно выработать два практических правила.

1. Если для двух проектов математические ожидания ставок доходности одинаковы, то выбрать следует тот, для которого меньше стандартное отклонение (дисперсия) ожидаемой ставки доходности.

2. Если стандартные отклонения (дисперсии) ожидаемых ставок доходности для двух проектов одинаковы, то выбрать следует проект с большим математическим ожиданием ставки доходности.

К сожалению, обычно приходится выбирать между проектами с абсолютно разными характеристиками и сформулированными правилами воспользоваться удается редко. Многое в этом случае зависит от личных предпочтений инвестора и его склонности к риску. Рассматриваемый случай достаточно простой и можно провести некоторый анализ. Так, для акций второго и третьего типа (см. рис. 2.1) математические ожидания ставок доходности одинаковы, но в третьем случае стандартное отклонение меньше. Это означает, что третий вариант предпочтительнее второго. Теперь сравним третий и первый варианты. Математическое ожидание ставки доходности для акций первого типа несколько (но не очень сильно) меньше математического ожидания ставки доходности для акций третьего типа.

Однако стандартное отклонение в первом случае почти вдвое меньше стандартного отклонения для третьего варианта. Кроме того, это стандартное отклонение в случае акций первого типа практически не превышает математическое ожидание, что означает достаточно достоверную неубыточность инвестиций в соответствующий проект. Этого нельзя сказать о третьем проекте. Для него стандартное отклонение более чем вдвое превышает математическое ожидание, то есть возможность оказаться в убытке представляется весьма актуальной. С другой стороны, максимально возможные ставки доходности по обоим проектам практически одинаковы: 8 % для первого проекта и 9 % для третьего, но вероятность получить максимальный процент в третьем проекте почти в шесть раз больше, чем в первом! Из всего сказанного можно сделать заключение, что осторожный инвестор, скорее всего, будет вкладывать средства в акции первого типа, а склонный к риску — не исключено, что в акции третьего типа. Разумеется, можно часть средств вложить в первый проект, а часть — в третий (так обычно и делают). В этом случае речь идет о версификации активов. Эта процедура также может выполняться по-разному. На ней мы еще остановимся.

Выше выбор осуществлялся между проектами с разной степенью рискованности и доходности. В некотором смысле граничной является ситуация, когда есть два проекта: один безрисковый (или почти безрисковый), а другой рискованный, но ожидаемая ставка доходности по нему выше, чем у безрискового проекта. Разницу между ожидаемой ставкой доходности рискованного проекта и ставкой доходности безрискового проекта обычно называют премией за риск. Обозначим через Е ставку доходности рискованного проекта (это случайная величина), а ставку доходности безрискового проекта будем обозначать как п (это постоянная детерминированная величина). Ожидаемая ставка доходности рискованного проекта тогда равна МЕ, а стандартное отклонение о = ^[ШE,. Через x обозначим долю средств, которые инвестируются в рискованный проект (соответственно, в безрисковый проект вкладывается (1 - x) часть средств). Если общая сумма инвестируемых средств равна q, то доход равен Aq = щЕ + (1 - х)ЯП , а ставка дохода в этом случае равна v = Aq/q = хЕ + (1 - х)п . Поскольку Е есть случайная величина, то и v также является величиной случайной. Мы не можем однозначно указать ее будущее значение, но можем определить ожидаемое значение этой случайной величины, то есть определить ее математическое ожидание. Чтобы определить ожидаемую ставку доходности воспользуемся тем, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, постоянные величины можно выносить за знак математического ожидания, а математическое ожидание детерминированной величины равно самой этой величине. Получим следующее: Мv = М[xh, + (1 - x)n] = xMh + (1 - x)n . Чтобы вычислить стандартное отклонение, предварительно найдем дисперсию случайной величины v . Поскольку для независимых величин, каковыми и являются h и п, дисперсия суммы равна сумме дисперсий, постоянный множитель из под знака дисперсии можно выносить с возведением его в квадрат (а дисперсия детерминированной величины равна нулю),

то получаем Dv = D[xh + (1 - х)п] = D[xh] + D[(1 - х)п] = х2Dh,. Таким образом, стандартное отклонение ov = VDv = xo . Следовательно, ожидаемая ставка доходности от инвестирования в рассматриваемый проект является линейной функцией параметра x , то есть части средств, инвестированных в рискованные активы. Изменяя x в пределах от 0 до 1, можем изменять ожидаемую ставку доходности от значения п до значения Mh, (в отличие от случайной величины h значение Mh, есть величина постоянная!). При этом стандартное отклонение, характеризующее степень возможного отклонения ставки доходности от ожидаемого значения, изменяется от 0 до o .

Поскольку ожидаемая ставка и стандартное отклонение зависят от параметра x , можем рассматривать параметрическую зависимость ожидаемой ставки от стандартного отклонения. Эта зависимость, очевидно, также является линейной (в силу линейной зависимости ожидаемой ставки и стандартного отклонения от параметра x ). Если изобразить зависимость ожидаемой ставки от стандартного отклонения графически, получим линию (точнее, линейный отрезок, поскольку параметр x принимает значения в конечном диапазоне от 0 до 1). Таким образом, выбор точки на соответствующей прямой соответствует выбору определенной инвестиционной стратегии. Критерии выбора точки могут быть самыми разными. В данном случае рассмотрим одну достаточно интересную ситуацию. Будем предполагать, что существует некая, оптимальная с точки зрения инвестора, комбинация значений ожидаемой ставки и стандартного отклонения. При графической интерпретации это точка в координатной плоскости значений отклонения и ожидаемой ставки. Задача сводится к тому, чтобы найти на линии зависимости ожидаемой ставки от стандартного отклонения такую точку, которая наименее удалена от точки оптимальных значений ожидаемой ставки и стандартного отклонения. Здесь в «дебри» графического анализа углубляться не будем, а прибегнем к алгебраической интерпретации. В общем случае задача формулируется как поиск минимума функции L = k(Mv - a)2 + p(ov - b)2, где k и p есть феноменологические коэффициенты, а a и b — оптимальные значения ожидаемой ставки и стандартного отклонения соответственно. Задача эта может быть решена аналитически. Для этого достаточно вычислить производную по параметру x и приравнять ее к нулю. В результате получим, что в рискованный проект следует

вложить x = (pah + k(a - n)(M^ - n)}/('k(M?, - n)2 + Pa2 } часть средств. Это достаточно громоздкая формула, и она не учитывает одно немаловажное обстоятельство, а именно, то, что параметр x не может превышать 1 (если, конечно, речь не идет о займе средств для инвестирования). Кроме того, когда есть такое эффективное приложение, как Excel, необходимость в аналитических расчетах отпадает. Рассмотрим документ, представленный на рис. 2.2.

fx | =В9*(В12-Вб)л2-ЬВ10*(В13-В7)л2 А В С ? Е 1 Распределение рисков 2 Ожидаемая ставка 3 рискованного проекта 12% Стандартное отклонение 4 для рискованного проекта 13% Ставка доходности 5 безрискового проекта 6% Оптимальная ставка 6 доходности 7% Оптимальное 7 стандартное отклонение 3% Часть инвестиций в В рискованный проект 60% 22% 9 Коэффициент к 1 10 Коэффициент р 1 11 Минимизируемая функция 1.ЄЗЕ-ОЗІ 12 Ожидаемая доходность 9% 13 Ожидаемое отклонение 7% 14 Премия за риск 3% 15 Рис. 2.2. Распределение активов между рискованным и безрисковым проектами

Назначение ячеек этого документа с указанием формул, которые в них вводятся, приведено в табл. 2.2.

Таблица 2.2. Назначение ячеек на рис. 2.2 Ячейка Описание и формула B3 Ожидаемая ставка рискованного проекта B4 Стандартное отклонение для рискованного проекта B5 Ставка доходности безрискового проекта B6 Оптимальная ставка доходности B7 Оптимальное стандартное отклонение B8 Часть инвестиций в рискованный проект

Ячейка Описание и формула C8 Проверка оптимального значения параметра, определяющего часть инвестиций в рискованный проект. Вычисляется по формуле =(B10*B4*B7+B9*(B6-B5)*(B3-B5))/(B9*(B3-B5)A2+B10*B4A2) B9 Коэффициент k B10 Коэффициент p B11 Минимизируемая функция. Вычисляется по формуле =B9*(B12- B6)A2+B10*(B13-B7)A2 B12 Ожидаемая доходность. Вычисляется по формуле =B8*B3+(100%- B8)*B5 B13 Ожидаемое отклонение, вычисляемое по формуле =B8*B4 B14 Премия за риск. Дается формулой =B12-B5

В ячейки диапазона B3:B7 вводятся численные значения (в процентном формате), определяющие основные параметры модели, такие как ставка для безрискового проекта, ожидаемая ставка доходности рискованного проекта и т. д. (см. табл. 2.1). Значение в ячейке B8 следует выбрать исходя из условия минимальности определяемой далее функции. Однако, поскольку для этого оптимального значения существует аналитическое выражение, в соседнюю ячейку C8 введена соответствующая формула для вычисления этого значения. После выполнения оптимизации значения в ячейках B8 и C8 должны совпадать.

В ячейки B9 и B10 вводятся численные значения для коэффициентов модели k и p. Наконец, минимизируемая функция вводится в ячейку B11. Формула (см. табл. 2.1) содержит ссылки на ячейки B12 и B13 — значения ожидаемой доходности и ожидаемого отклонения. Эти значения зависят от части инвестированных в рискованный проект средств. Таким образом, минимизируемая функция также зависит от этого параметра. Премия за риск отображается в ячейке B14.

Перед поиском оптимального значения части инвестиций в рискованный проект в ячейку B8 нужно ввести некоторое пробное значении (на рис. 2.2 это значение равно 50%). Решение задачи будем искать с помощью надстройки Excel Поиск решения, которую нужно сначала загрузить (загрузка и работа с данной надстройкой подробно излагаются в разд. «Надстройка Поиск решения» и «Задачи оптимизации» гл. 5). После этого запускаем надстройку Поиск решения. Особенность настройки параметров диалогового окна Поиск решения состоит в том, что в качестве дополнительных условий нужно указать, что значение изменяемой ячейки B8 должно лежать в пределах от 0 до 1. Минимизируем, как несложно догадаться, значение в ячейке B11 (рис. 2.3).

Результат вполне приемлем — во всяком случае, он совпадает с проверочным значением в ячейке C8 (рис. 2.4).

^_|=B9:,(B12-B6)"Z+B10*(B13-B7j»2

В

1 Распределение рисков 2 Ожидаемая ставка 3 рискованного проекта Стандартное отклонение 12% 4 для рискованного проекта Ставка доходности 13% 5 безрискового проекта Оптимальная ставка 6% Є доходности Оптимальное 7% 7 стандартное отклонение 3% Часть инвестиций в и рискованный проект 50% т 9

Коэффициент к Коэффициент р 1 1 11

12 Минимизируемая функции Ожидаемая доходность 1.63Е-03І

9% 13 Ожидаемое отклонение 7% 14 Премия за риск 3% 15 16 17 Установить целевую ячейку: |$В$ Равной: С максимальному значению

(* минимальному значению гИзменяя ячейки:

XJ

Г

Закрыть |

значению:

Предположить |

Параметры |

* I Добавить | Изменить | т| Удалить |

Восстановить

Справка |

Рис. 2.3. Поиск оптимального значения части инвестиций в рискованный проект

Рис. 2.4. Результат оптимизации

Рис. 2.4. Результат оптимизации

Однако, как отмечалось ранее, может возникнуть ситуация, когда оптимальным (если рассчитывать по приведенной выше аналитической формуле) является значение части инвестиций в рискованный проект, большее единицы (или 100 %). Такая ситуация проиллюстрирована рис. 2.5.

Рис. 2.5. Все средства инвестированы в рискованный проект

Рис. 2.5. Все средства инвестированы в рискованный проект

Для ее реализации достаточно установить существенно большое значение для оптимальной ставки доходности и стандартного отклонения. В частности, на рис. 2.5 видим, что аналитически рассчитанное значение в ячейке равно 120%, в то время как в результате оптимизации получаем 100% (при этом ожидаемая доходность и стандартное отклонение совпадают с ожидаемой ставкой доходности и стандартным отклонением для рискованного проекта соответственно). Дело в том, что аналитическая формула получена без каких бы то ни было предположений относительно значения части инвестиций в рискованный проект, а оптимизация выполняется с учетом этого ограничения. Поэтому здесь как раз та ситуация, когда Excel проявляет свои преимущества. С другой стороны, значение в ячейке C8 автоматически меняется при изменении исходных данных, а чтобы получить коррект-ное значение в ячейке B8 нужно каждый раз выполнять оптимизацию. Разумный выход может быть в том, чтобы прибегать к оптимизации только в тех случаях, когда значение в ячейке C8 выходит за допустимые пределы.

Пример со значением части инвестиций в рискованный проект, большей 100 %, наводит на некоторые размышления. Действительно, если ожидаемая ставка до-ходности достаточно высока, можно занять в долг дополнительные средства и вложить их в проект. Деньги (во всяком случае, большие) в долг дают, как правило, под проценты. Причем ставка процента в этом случае превышает ставку дохода по безрисковым активам (иначе тому, кто дает в долг, было бы выгоднее вложить средства в безрисковые активы).

Если средства занимаются под проценты, большие ставки процента по безрисковым активам, эти средства имеет смысл вкладывать только в рискованный про- ект. Действительно, какой смысл проводить финансовую операцию, потенциальная прибыль от которой не покроет расходов на оплату процентов по займам?

Таким образом, можем рассмотреть более общую, по сравнению с предыдущей, задачу: распределение активов между безрисковым и рискованным проектами с учетом возможности привлечения дополнительных средств. Причем сразу оговоримся, что если в рассмотренной выше модели снять ограничение на значение доли инвестиций в рискованный проект, то она адекватно будет описывать ситуацию, когда заем средств осуществляется под ставку процента, равную ставке доходности безрискового актива. Если это так, можно также использовать аналитическое выражение для доли рискованных инвестиций, причем без всяких ограничений.

В общем случае, когда процент на заем превышает ставку доходности безрискового актива, существует две принципиальные ситуации. Первая имеет место, когда инвестирование осуществляется без привлечения дополнительных средств. Она может быть описана в рамках рассмотренной выше модели. А вот если окажется, что доля рискованных инвестиций должна быть больше 100 %, придется учесть механизм выплат по процентам.

Обозначим ставку заемного процента через а. Тогда ставку доходности можно представить в виде v = + (1 - x)[0(1 - x)n + а0(x - 1)], где 0(z) есть функция Хэ- висайда, равная единице при положительном аргументе и нулю в противном случае. Ожидаемая ставка доходности равна Mv = xM? + (1 - x)[0(1 - x)n + а0(x - 1)], а стандартное отклонение, как и ранее, ov = хо. Из всего вышеописанного видим, что, внеся минимальные изменения в исходную модель, можем учесть эффект при-влечения заемных средств. На рис. 2.6 показан документ с реализацией этой новой модели.

Рис. 2.6. Инвестирование с привлечением дополнительных средств

Рис. 2.6. Инвестирование с привлечением дополнительных средств

По большому счету, пришлось изменить только одну формулу для ожидаемой ставки доходности (ячейка B13). В эту ячейку вводится формула =B9*B3+(100%- В9)*ЕСЛИ(В9<100%;В5;В6), в которой использована условная функция ЕСЛИ(). В зависимости от значения части инвестируемых в рискованный проект средств функцией возвращается либо ставка доходности безрискового проекта, либо ставка по займу. Кроме того, необходимо учесть, что, поскольку в список параметров включена строка для ставки по займу, во всех прочих формулах в соответствии с этим несколько изменились ссылки.

Чтобы получить результат, как на рис. 2.6, нужно выполнить оптимизацию. Входные данные подобраны так, что доля инвестиций в рискованный актив больше 100 %. Однако эта доля меньше того значения, которое было получено в рамках старой модели при расчете по аналитической формуле (см. рис. 2.5). Но так и должно быть, поскольку в данном случае мы учли разницу ставки по займу и ставки доходности безрисковых активов.

Если подобрать другие значения входных данных, можно получить результат, при котором часть средств, вложенных в рискованный проект, меньше 100 %. Желающие могут сравнить документ на рис. 2.7 с документом на рис. 2.4. В12 А =В 10* (В13 - В 7) Л24-В11* (В14- В 8 ) л2 А в С D Е F 1 Распределение рисков 2 Ожидаемая ставка 3 рискованного проекта 12% Стандартное отклонение 4 для рискованного проекта 13% Ставка доходности 5 безрискового проекта 6% В Процентная ставка займа 8% Оптимальная ставка 7 доходности 7% Оптимальное 8 стандартное отклонение 3% Часть инвестиций в 9 рискованный проект 22% 10 Коэффициент к 1 11 Коэффициент р 1 12 Минимизируемая функция 1.22Е-ОБ 13 Ожидаемая доходность 7% 14 Ожидаемое отклонение 3% 15 Премия за риск 1% 16 Рис. 2.7. Этот результат уже был получен ранее для более простой модели

Данная усложненная модель имеет одну особенность, которую хочется отметить. Дело в том, что в принципе можно так подобрать оптимальные значения ставки доходности и стандартного отклонения, что у модели будет существовать не одно, а два оптимальных решения. В зависимости от начального приближения для доли рискованных инвестиций можно получить либо одно, либо другое решение.

Это характерная особенность самой модели, и она никак не связана со спецификой приложения Excel. При желании можно проанализировать и такую ситуацию, но в данном случае это кажется не очень актуальным.

<< | >>
Источник: Васильев А. Н.. Финансовое моделирование и оптимизация средствами Excel 2007 (+CD). — СПб.: Питер,2009. — 320 е.. 2009

Еще по теме Оценка риска при инвестировании:

  1. § 3.2. Оценка риска принятия решений при реализации стратегии слияний/поглощений
  2. 2.4. АНАЛИЗ СИСТЕМЫ РИСК- МЕНЕДЖМЕНТА ПРИ ОСУЩЕСТВЛЕНИИ ИНВЕСТИЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НА ОСНОВЕ ЛИЗИНГА
  3. Оценка риска при инвестировании
  4. 9.2. рейтинговая система оценки надежности camel
  5. 5.3. Сущность, основные виды рисков, оценка рисков.
  6. 13Оценка инвестиционного проекта в условиях неопределенности и риска
  7. Тема 2. Предпринимательские риски: понятие, сущность, виды.
  8. 5.10. Оценка риска финансовых активов
  9. 3.8. Учет большего/меньшего риска инвестирования относительно среднего на рынке: фондовый, учетный и восходящий бета-коэффициент
  10. Модели оценки инвестиционных рисков
  11. 16.3. Оценка рисков инвестиционных проектов [3. C. 281–284]
  12. 8.7.Понятие, принципы формирования и оценка риска инвестиционного портфеля
  13. Понятие риска в деятельности предприятия
- Биржи - Валютная система - Государственные и муниципальные финансы в России - Государственный и муниципальный заказ - Государственный финансовый контроль - Державні і муніципальні фінанси в Україні - Инвестиционное право - Лизинг - Основы финансов - Рынок ценных бумаг - Таможенные платежи - Управление капиталом - Финансовое право - Финансовые пирамиды - Финансовые расчеты - Финансовые риски - Финансовые рынки - Финансовый анализ - Финансовый кризис - Финансовый учет - Финансы и кредит - Финансы предприятий - Финансы, денежное обращение и кредит -
- Аудиторская деятельность - Банки - Бизнес - Бухгалтерский учет - Кредит - Маркетинг - Менеджмент - Философия - Финансы - Экономика -